简单的线性规划说课稿
简单的线性规划说课稿
说课内容：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第7.4节
一、教材
1、地位与重要性
线性规划是高二直线与圆单元中的一个难点。本节内容抽象，题型灵活，学习中不易捉住重点，又能与其它章节有比较密切的联系。高考题型虽然主要是选择题，但却是学生思维的盲点，不容易想到是用线性规划知识解决问题。
2、教学目的
（1）、使学生理解二元一次不等式表示的平面区域
（2）、掌握线性规划解题的基本思路
（3）、能将题型转换为线性规划解决。
（4）锻炼学生发现问题、思考问题。解决问题的能力。
（5）培养学生数形结合解决问题的能力。
3、教学重难点
重点是二元一次不等式表示的平面区域和线性规划解题的基本思路。其中理解二元一次不等式表示的平面区域是解题的关键，是正确做出可行域基本条件。
难点是对线性规划目标函数的几何意义的理解，只有正确理解了目标函数代表的几何意义才能正确找到关键点，解出最优解。
二、教法
根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。
引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”
和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”。通过课前的大量准备，把课堂上的时间留给学生，通过少讲多练的方式，通过学生的表演来发现问题和解决问题。以达到突破难点，让学生轻松中自我思考与学习的目的。
电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现。另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。
三、学法
“授人以鱼，不如授人以渔”，在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。整个过程贯穿“怀疑”
——“思索”——“发现”——“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。
四、说过程
在新课导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求发挥学生自我发现的能力，突出学生的教学主体地位，以启发、引导为教师的责任。
（一）、导入
作为复习课导入以知识点的复习开始，首先提问如何利用特殊点法判断二元一次不等式表示的平面区域，对学生的回答加以总结——一般特殊点选择原点。给出一般方程，斜截式方程，过原点的直线方程三种不同形式让学生加以判断。并说明一般性的规律——直线Ax+By+C=0(A>0)的右侧平面区域为正。给出两道比较简单的题型让学生初步会判断平面区域。
１、用不等式表示直线x-y+1=0,3x+2y-6=0,x+2y+2=0所围成的三角形的平面区域（包括边界）
２、画出IxI+IyI=1所围成的平面区域。
（二）、新授
引例：利用练习１中画出的平面区域，求z=x+y的最小值
１、概念复习，提出如下问题
1)线性约束条件
2)可行域
3)目标函数
4)最优解
利用图形，形象讲解这几个比较抽象的概念
２、线性规划解题的主要思路
１）确定可行域
２）搞清目标函数的几何意义
３）根据几何意义确定关键点
４）求关键点和目标函数最值
其中思路的第二点，也是整节课的难点，通过课件加黑板的演示，能更好的让学生理解几何意义的重要性。
３、变式练习：给出四种不同的变形让学生利用所学知识，加以解决，关键是强调数形结合中的几何意义。
４、知识的拓展：这一节准备和其它章节的内容加以联系，利用线性规划的知识解决其它的问题。根据由难到易的原则，我选择了两个例题，一个是线性规划解决向量问题，一个是线性规划和集合解析几何的联系。让学生自已发现思路，只做提示，让学生动手完成解答。
５、课后练习，布置两道适中的题让学生分析思路，而后课后完成。
（三）小结：
对本节所学知识归纳小结，给出板书让学生对本节内容加以记忆。
板书
１、二元一次不等式所表示的平面区域——特殊点法
直线Ax+By+C=0（A>0）的右侧平面区域为正
３、线性规划解题的基本思路
１）确定可行域
２）搞清目标函数的几何意义
３）根据几何意义确定关键点
４）求关键点和目标函数最值
本节充分体现了数形结合思想
板书设计：
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
简单的线性规划 习题含答案
线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
简单的线性规划练习-附答案详解
简单的线性规划练习 附答案详解 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1) 2.若2m ＋2n <4，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 3．不等式组???? ? x ≥0x ＋3y ≥4 3x ＋y ≤4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3 4 4.不等式组???? ? x ＋y ≥22x －y ≤4 x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2 B ．6 2 C ．6 D ．3 5.设变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤x x ＋y ≥2 y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6.已知A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1 D ．3,1 7.在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A ．95 B ．91
C ．88 D ．75 8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元 9.已知实数x ，y 满足???? ? x －y ＋6≥0x ＋y ≥0 x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥1 B ．a ≤－1 C ．－1≤a ≤1 D ．a ≥1或a ≤－1 10.已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0 x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数 z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 11.当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,1) 12.已知x 、y 满足不等式组???? ? y ≥x x ＋y ≤2 x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )
简单的线性规划问题附答案
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ， 当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，
可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
二元一次方程简单的线性规划要点
§3.3.1二元一次不等式（组）与 平面区域（1） 1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力. 一、课前准备 复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________ 复习2：解下列不等式： （1）210x -+>； （2）22320 41590 x x x x ?+-≥??-+>?? . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，30 40x x +>??-
并思考： 当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？ 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<. 因此，在平面直角坐标系中，不等式6x y -<表示直线x-y=6左上 方的平面区域；如图: 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图: 直线叫做这两个区域的边界 结论： 1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号. ※ 典型例题 例1画出不等式44x y +<表示的平面区域. 分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出． 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点. 变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域. 例2用平面区域表示不等式组312 2y x x y <-+??
简单的线性规划
简单的线性规划 一、本章节的地位及作用 1．“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视，体现了数学的工具性、应用性． 2．本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材. 3．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力． 二、教学目标 1．知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答． 2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力． 3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新． 三、教学重点与难点 1．教学重点：建立线性规划模型 2．教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答． 解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化． 四、教学方法与手段 1．教学方法 为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质． 2．教学手段 新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形的动态变化情况． 3．学生课前准备 坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔 五、教学过程设计 教学流程图
简单的线性规划教学设计(二) 人教课标版(优秀教案)
《简单的线性规划》教学设计（二） 【教学目标】 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域,能用此来求目标函数的最值． 【重点难点】 理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点． 如何扰实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是教学难点． 【教学步骤】 一、新课引入 我们知道,二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域,在这里开始,教学又翻开了新的一页,在今后的学习中,我们可以逐步看到它的运用． 线性规划 先讨论下面的问题 设2z x y =+,式中变量x 、y 满足下列条件 4335251x y x y x -≤-??+≤??≥? ① 求z 的最大值和最小值． 我们先画出不等式组①表示的平面区域,如图中 ABC ?内部且包括边界．点(0,0)不在这个三角形区域内,当0,0x y == 时,20z x y =+=,点(0,0)在直线0:20l x y +=上．作一组和0l 平等的直线:2,l x y t t R +=∈ 可知,当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>． 即0t >,而且l 往右平移时,t 随之增大,在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l 的直线中,以经过点(5,2)A 的直线l ,所对应的t 最大,以经过点(1,1)B 的直线1l ,所对应的t 最小,所以 max 25212z =?+=min 2113z =?+= 在上述问题中,不等式组①是一组对变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又称线性约束条件． 2x y +是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫做目标函数,由于2z x y =+又是x 、y 的解析式,所以又叫线性目标函数,上述问题就是求线性目标函数2z x y =+在 =0
最新简单的线性规划基础练习
博文教育专用试题简单的线性规划问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若实数满足约束条件，则的最大值为（） A. -4 B. 0 C. 4 D. 8 2．已知变量x，y满足约束条，则的最大值为 A. 2 B. 6 C. 8 D. 11 3．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 4．已知动点满足，则的最大值是（） A. 50 B. 60 C. 70 D. 90 5．设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值为( ) A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 6．已知实数满足，则的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题 7．若变量、满足约束条件，则的最大值为______________.
8．已知变量满足约束条件，则的最小值为__________．9．已知实数x，y满足，则的最大值为___________．10．若，满足约束条件，则的最小值为__________．11．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为_____________. 12．设整数 ．．满足约束条件，则目标函数的最小值为________． 13．设实数满足约束条件，则的取值范围是______.
参考答案 1．D 【解析】分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采用数形结合求出目标函数的最大值。 详解：作出不等式组所对应的平面区域（阴影部分），令，则，表示经过原点的直线，由有，当此直线的纵截距有最大值时，有最大值，由图知，当直线经过A点时，纵截距有最大值，由有，即，此时，选D. 点睛：本题主要考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题方法，属于中档题。 2．D 【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z=3x+y的最大值即可． 详解：作出变量x，y满足约束条件的可行域如图， 由z=3x+y知，y=﹣3x+z，
简单的线性规划问题附答案
简单的线性规划问题附 答案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ，当z 变 化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小 ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大 ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一 求线性目标函数的最值 例1 已知变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤2，x ＋y ≥1， x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．－1 答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由? ?? ?? y ＝2， x －y ＝1? ?? ?? x ＝3， y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11. 跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0， 2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．． ，则实数a 的值为( ) 或－1 B ．2或1 2
教你如何做出最佳选择——简单线性规划求最优解
教你如何做出最佳选择 ——简单的线性规划求最优解 在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。目标函数),(y x f z =取得最值时，变量y x ,的对应解),(y x 称为最优解。若Z y x ∈,时，z 取得最值，称),(y x 为最优整数解，简称整解。点),(y x 的横、纵坐标都是整数，称为整点。 求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大； （2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最小。因为研究的对象是人、物等个体，故y x ,往往是整数，较y x ,不是整数时求解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两种寻找最优整解的方法与大家探讨。 这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举法)。调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从y x ,中选取系数的绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。 下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。 例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 解析：设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则
高中数学简单的线性规划问题(一)
《简单的线性规划问题(一)》导学案 1．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域； 2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件. 【重点难点】 教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题； 教学难点：准确求得线性规划问题的最优解； 【知识链接】 阅读课本Ｐ８７至Ｐ８８的探究 找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义． 【学习过程】 ※学习探究 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如： 某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组： （2）画出不等式组所表示的平面区域： 注意：在平面区域内的必须是整数点． （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答： （5）获得结果： 新知：线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． ※ 典型例题 例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？ ※ 动手试试 练1. 求2z x y =+的最大值，其中x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤??+≤??≥-?
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题 例1画出不等式组 ? ? ? ? ? ≤ + - ≤ - + ≤ - + - .0 3 3 4 2 y x y x y x ， ， 表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0 = x，0 = y代入2 - + -y x中得0 2 0< - + - ∴不等式0 2≤ - + -y x表示直线0 2= - + -y x下方的区域（包括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 例2 画出3 3 2≤ < -y x表示的区域，并求所有的正整数解),(y x． 分析：原不等式等价于 ? ? ? ≤ - > .3 ,3 2 y x y 而求正整数解则意味着x，y
有限制条件，即求 ? ? ? ? ? ? ? ≤ - > ∈ ∈ > > .3 ,3 2 , , ,0 ,0 y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知3 3 2≤ < -y x表示的区域如下图： 对于3 3 2≤ < -y x的正整数解，先画出不等式组． ? ? ? ? ? ? ? ≤ - > ∈ ∈ > > .3 ,3 2 , , ,0 ,0 y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域找出符合题设要求的整数点来． 例3求不等式组 ?? ? ? ? + - ≤ - + ≥ 1 1 1 x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够
人教版A版高中数学高二版必修五探究简单线性规划问题整点最优解的策略
探究简单线性规划问题整点最优解的策略 高中新课程必修五第三章重点介绍了简单线性规划问题，它是高中学数学教学的一个基 本内容。整点最优解问题又是简单线性规划的重要内容，教材对于具体的验算过程没有作过 多的描述，导致学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。本人根据自己的教 学经验总结了利用平移法来求整点最优解的几种具体的操作方法：交轨法、近似值法以及换 元法。 一交轨法 该方法主要是在平移直线过程中，利用直线间的交点来缩小最优值的存在范围，其数学 思想是联立方程求解交点，然后确定最优解可能的存在范围。 [例1]：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规 格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品，且使用所有钢板数最少。 解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则x、y满足约束条件： 2x+y15 x+2y18 x+3y27 x0,y0,x,y N* ≥ ? ?≥ ? ?≥ ? ?≥≥∈ ? 目标函数为Z x y =+。 可行域如图所示(图1) 作出一组平行直线:x+y=t，当直线经直线x+3y=27和2x+y=15的交点A( 5 39 5 18 ，),z取得最 小值,即：z=x+y= 5 57 。而最优解中x和y必须为整数,故A不是最优解,故将直线x+y= 5 57 向 上平移到x+y=12,最优解可能存在于此直线上，最优解必须在可行域内,故应求出直线 2x+y=15和x+3y=27与x+y=12的交点， 215 12 x y x y += ? ? += ? ， 327 12 x y x y += ? ? += ? ，交点坐标为 B(3,9),D( 2 15 2 9 ，)，故有： 9 3 2 x ≤≤，这样便更进一步的缩小了x的范围，即x=3或4，将 其代入x+y=12 ，可得y=9或8，即（3，9）和（4，8）均为所求的最优解。 可以看到利用平移交轨法解题对于一般的简单线性规划问题都是适用的，步骤如下： 1 设出所求的未知数，列出约束条件,建立目标函数，作出可行域，确定平移直线,寻找非整 最优解；2 联立方程求交点确定x或y的范围；3 对x，y进行整点搜索，并确定整点解。 二换元法 （图1）
简单的线性规划(基础)知识梳理
简单的线性规划 【考纲要求】 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：不等式与不等关系394841 知识要点】 考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 要点诠释： 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）； ②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域。 简称：“直线定界，特殊点定域”方法。 考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧. 要点诠释： 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法： 因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号 简单的线性规划 二元一次不等式（组）表示的区域 简单应用 不等式（组）的应用背景
高二：数学教案-简单的线性规划(参考文本)
( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 高二：数学教案－简单的线性规 划(参考文本) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.
高二：数学教案－简单的线性规划(参考文 本) 教学目标 （1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域； （2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念； （3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； （4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； （5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的
意识，激励学生勇于创新． 教学建议 一、知识结构 教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用． 二、重点、难点分析 本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域． 对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次： （1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚
浅析简单的线性规划的最优解问题
浅析简单的线性规划的最优解问题 云南省普洱市，景谷县景谷一中肖陆秀 引言：线性规划是运筹学的一个基础分枝，其应用及其广泛，其作用也越来越多的人重视，从历年高考涉及可以看出它的重要性。 【摘要】对于两个变量的简单线性规划问题，可以用图解求最优解，即做出约束条件的可行性区域，利用图解的方法求出最优解，特点是图形清晰，过程简洁。近几年高考都有涉及，算一个重点知识点。 线性规划在实际生活中的应用。困难大多是如何把实际问题转化为数学问题（既数学建模），所以把一些生产、生活中的实际问题转化为线性规划问题，在线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解． 一、我们先来看必修5，3.3.2简单的线性规划问题例3: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两 种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h ,1、该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? 2.若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最 大? 把例3的有关数据列表表示如下: 解：设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:线性约束条件，和在坐标系里的可行域
都是有意义的. 求利润z=2x+3y的最大值.当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?
max z ,422322z z 23y ,-y 33=1433 3z x y x ==+=-?+?+P 当点在可允许的取值范围变化时求截距的最大值，即可得z 的最大值。z 把变形成这是斜率为，在轴的截距为的直线， 答：每天生产甲产品4件乙产品2件可获利最大利润14万元， 二、线性规划实际应用问题中常见的错误点： (1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”、“至少”等线性约束条件而出现失误． (2)最优解的找法由于作图不规范而不准确． (3)最大解为“整点时”不会寻找“最优整点解”． （4）处理此类问题时,一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清,二是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线：形如x ＝k 或y ＝k ，k ∈Z)． 三、最后是解线性规划的题目简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解. 总之，有关不等式综合问题，可以转化为线性规划问题，利用数行结合思想解决。 参考文献：《2005年高考总复习优化方案》