动点问题题型方法归纳

动点问题题型方法归纳

动态几何特点-- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特

殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点

3

1、（ 2009年齐齐哈尔市）直线y = - 3x + 6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒 1 个单位长度，

点P沿路线O→B→ A运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

48

（3）当S = 48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四

个顶点M的坐标．

提示：第（2）问按点P 到拐点 B 所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已

知线段身份不同分类- ①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP

为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（ 2009年衡阳市）如图，AB是⊙O 的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60o．

（1）求⊙O 的直径；

（2）若D 是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点 E 以2cm/s 的速度从 A 点出发沿着AB方向运动，同时动点 F 以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0t2），连结EF，当t为何值时，△BEF 为直角三角形．

注意：第（3）问按直角位置分类讨论

B B

3、（2009 重庆綦江）如图，已知抛物线 y =a （x -1）2+3 3（a 0）经过点 A （-2，0） ，抛 物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点 C ， B 在 x 轴正半轴上，连结 BC ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的 时间为t （s ） ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC = OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单 位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止 运动．设它们的运动的时间为t （s ） ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？ 并求出最小值及此时PQ 的长．

注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°

二、 特殊四边形边上动点

4、（ 2009 年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为 6 厘米，B =60°．从初始时刻开 始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A → C → B 的方向运动，点Q

以 2 厘米/秒的速度沿A → B → C → D 的方向运动，当点Q 运动到D 点时， P 、 Q 两点 同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，△APQ 与△ABC 重．叠．部．分．的面积为 y 平 方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：

（1）点P 、 Q 从出发到相遇所用时间是 秒；

2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当△APQ 是等边三角形时x 的值是

3）求 y 与 x 之间的函数关系式．

秒；

提示：第（3）问按点Q 到拐点时间B、C所有时间分段分类；提醒高相等的两个三角形面积比等于底边的比。

5、（2009 年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3 ，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y 轴于点H．

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2 个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

图（1）

注意：第（2）问按点P 到拐点B 所用时间分段分类；

第（3 ）问发现∠MBC=90 °，∠BCO 与∠ABM 互余，画出点P 运动过程中，

∠ MPB=∠ ABM 的两种情况，求出t 值。

利用OB⊥ AC, 再求OP 与AC 夹角正切值 .

6、（2009 年温州）如图，在平面直角坐标系中，点 A（3 ，0），B（3 3 ，2），C（0，2）．动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为 t 秒．

（1）求∠ABC 的度数；

（2）当t 为何值时，AB∥DF；

（3）设四边形 AEFD 的面积为 S．

①求 S 关于 t 的函数关系式；

②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<2 3时，求m的取值范围（写出答案即可）．

发现特殊性，DE∥OA

注意：

7、（07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是菱形，且

∠AOC=60°，点B 的坐标是（0,8 3），点P从点C 开始以每秒1 个单位长度的速度在线段CB 上向点B 移动，同时，点Q 从点O 开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA 方向移动，设t（0 t 8）秒后，直线PQ交OB于点 D.

（1）求∠AOB 的度数及线段OA 的长；

（2）求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式；

4

（3）当a =3, OD =3 时，求t 的值及此时直线PQ 的解析式；

（4）当a为何值时，以O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB相似？当a为何值时，以O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明.

8、（08 黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段

BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．

（1）求直线BC的解析式；

（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积2

的？

7

（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．

9、（09 年黄冈市）如图,在平面直角坐标系xoy

14

中,抛物线y=118x2-49x-10与x轴的交点为

点A,与y 轴的交点为点B. 过点B作x轴的平

行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点

P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒 4 个

单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒 1

个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动

时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点

D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE

交x 轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t（单位:秒）

（1）求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

（2）当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;

9

（3）当0

提示：第（3）问用相似比的代换，

得 PF=OA （定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.

三、直线上动点

8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数y =ax2+bx+c（a0 ）的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、

C（0，3），且当x = -4和x = 2时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN 沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点

的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

提示：第（2）问发现

特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°

特殊图形四边形BNPM 为菱形；

第（3）问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的△

BNQ ，再判断是否在对称轴上。

9、（ 2009 眉山）如图，已知直线y = 1x +1与y轴交于点 A，与x轴交于点 D，抛物线y=

1x2+ bx + c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）。

2

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P 在 x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标P。⑶在抛物线的对称轴上

找一点M，使|AM - MC |的值最大，求出点M的坐标。

提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形①P 为直角顶点AE为斜边时，以AE 为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E 为直角顶点时，作法同②；

第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

10、（2009 年兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

注意：第（4）问按点P 分别在AB、BC、CD 边上分类讨论；求t 值时，灵活运用等腰三

角形“三线合一”。

11、（2009 年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（-6,0），B（6,0），C（0,4 3），延长AC 到点D,使CD=1AC,过点D 作DE∥AB 交BC的延长线于点E.

（1）求 D 点的坐标；

（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF、EF，若过B 点的直线y =kx+b将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y =kx +b与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达 A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的 2 倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；

第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）

上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQ = AD（如图1所示）．

PC AB

（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图 2 所示），求线段PC的长；

3

（2）在图 8 中，联结AP．当AD = 3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，

S

△APQ = y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数

S

△PBC

解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大

小．注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当

PC⊥BD时，点Q 、 B 重合，x 获得最小值；当P 与 D 重合时，x 获得最大值。

第（3 ）问，灵活运用SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP，得B、Q、C、P 四点共圆也可求解。

13、（08宜昌）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC

的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．

（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；

（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；

（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

S

P

A

提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使T 与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。

14、（2009年河北）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q 从点A出发沿AB以每秒 1 个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立的情形，

ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；

（４）按点P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形，ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t 时，

ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．

15、（2009年包头）已知二次函数y = ax2+bx+c（a0）的图象经过点A（1，0），

B（2，0），

C（0，- 2），直线x = m（m 2 ）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x = m（m 2 ）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

提示：

第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；

第（3）问，四边形ABEF 为平行四边形时，E、F 两点纵坐标相等，且AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。

四、抛物线上动点

16、（2009 年湖北十堰市）如图①，已知抛物线y = ax2+ bx + 3（a≠0）与x轴交于点

A（1，

0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标①C 为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M 为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P 为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

17、（2009年黄石市）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE =1，抛物线

y = ax2+ bx - 4 过A、D、F三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所

3

在直线于N，若S四边形AFQM = 3S△FQN，则判断四边形AFQM的形状；

（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且

AP=PH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

注意：第（2）问，发现并利用好NM∥FA且NM＝FA;

第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画

出合适的图形，再证明。

近三年黄冈中考数学

坐标几何题”（动点问题）分析

马铁汉）

三年共同点：

①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题 ( 相似、等腰三角形、面积

函数关系式)；

④求直线、抛物线解析式；

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形

性质探究答案。

大趋势：