数学建模知识

某教学和办公大楼有十一层高,教室安排在1到7层,办公室都安排在

8,9,10,11层上,假设学生上课每层有300人,办公人员都乘电梯上楼,每层有60人办公,现有二台电梯A、B可利用,每层楼之间电梯的运行时间是3秒,最底层(一层)停留时间是20秒,其他各层若停留,则停留时间是10秒,每层电梯的最大的容量是10人。为简单起见,假设早晨7:30-8: 00以前学生和办公人员已陆续到达一层,能保证每部电梯在底层的等待时间内(20秒)能达到电梯的最大容量,电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯,当无人使用电梯时,电梯应在底层待命。问:

1:把这些人都送到相应的办公楼层,要用多少时间?

2:怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少?

为简单起见,现作如下假设:

1.早晨8点以前办公人员已陆续到达最底层。

2.每部电梯在底层的等待时间内(20秒)能达到电梯的最大容量,电梯在各层的相应的停留时间内(10秒)办公人员能完成出入电梯。其余时间,如电梯开关门的时间则忽略不记。

3.当电梯下降时,没有人员在其中,电梯直接从原目标层回到最底层。

4.电梯是匀速运行的,启动、停止时的加速度忽略不记。

5.当无人使用电梯时,电梯应在底层待命。

6.电梯只能运送目标层在工作区间内的员工,而不能运送其他员工,即使它已经处在待命状态。

2. 变量说明

Tk 电梯在一种模式下完成工作的耗时(k=1, (6)

a 电梯在底层停顿的时间

b 电梯在每层(除底层)停靠所需要的时间

p 电梯运行的最高目标层

m 各层需要运送的人数

n 电梯的单位运输能力

v 电梯的运行速度

3. 对问题的枚举式分析3.1.1 先假设只有一台电梯在工作。

CASE 1 如果在电梯一次运行过程中,每一层的人员均含两名,那么,电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间:

Ta=30*(20+2*3*10+5*10)=3900秒=65分钟

CASE 2 如果在电梯一次运行过程中,电梯中的人员均在同一层办公,那么,电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间:

Tb=∑6*[20+2*3*(n-1)+10]=2340秒=39分钟

3.1.2 假设三台电梯工作模式完全相同(即A、B、C三台同升同降,同开同关)。

那么,在3.1.1的CASE 1下,Tc=3900/3=1300秒=21.67分钟;在3.1.1的CASE 2下, Td=2340/3=780秒=13分钟。

3.1.3 假设A电梯只在1、7、8层工作,B只在1、9、10层工作,C只在1、11层工作,三台电梯同时运行,但各自任务完成后在底层待命,不运送不在工作区间的员工。

CASE 1 假设在电梯A、B一次运行过程中,每一层的人员均含五名,那么,电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间:

Te=12*(20+2*3*9+20)=1128秒=18.8分钟

说明:由于电梯并行,事实上,A在此情况下运行时间为984秒(16.4分钟),C

运行的时间是540秒(9分钟),这里的T5指的是电梯群在该工作模式下的最长耗时。

CASE 2 假设在电梯一次运行过程中,电梯中的人员均在同一层办公,那么,电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间:

Tf=6*[(20+2*3*8+10)+(20+2*3*9+10)]=972秒=16.2分钟

说明:同样,这是算的B的最大耗时,A、C在此种模式下分别工作828秒(13.8分钟)和540秒(9分钟)。4.对问题的总结

用户对电梯运行的满意度包括生理和心理两方面的满意[2]。生理满意一般包括:电梯在启动和暂停时的加速度不致让人感到不适,在电梯运行途中尽量少的停顿次数。心理满意包括:尽量短的等待时间,尽量短的乘电梯的时间。因此,需要在用户的生理满意和心理满意找到平衡点,得到最佳满意度。

而原问题中已经给出了电梯运行的速度,且本文已经忽略了电梯启动、暂停时的加速度,所以本文只需要关心电梯的运行方案,使用户在底层等待时间尽量少、在乘电梯途中尽量少暂停即符合要求。

在上述第三部分中,通过比较,我们可以发现在三台电梯同时运行时,分层停靠综合起来要比层层停靠综合起来节省时间(将一种工作模式下CASE 1与CASE 2所需要的时间相加后比较)。文献[1]给出了分组停靠节省时间的完整证明。由此可知:当每一组电梯所停的站连在一起时,能够得到最短等待时间,即为最优方案。

由此我们得到电梯在分组运行过程中将每一层的员工完全运送完毕所需时间

的表达式:

Tk=m *[a+2v*(p-1)+b*(p-6)]/n

由此,我们可以知道问题1“把这些人送到相应办公楼层,要用多少时间”的

答案就是第三部分的任意结果。

问题2“怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少”的答案是

3.1.2的Td=13分钟或者3.1.3的Tf=16.2分钟。

问题3“给出一种具体实用的电梯运行方案”的方案是3.1.3的方案:A电梯

只在1、7、8层工作,B只在1、9、10层工作,C只在1、11层工作,三台电梯同时运行,但各自任务完成后在底层待命,不运送不在工作区间的员工,且在电梯一次运行过程中,电梯中的人员均在同一层办公。

4. 5.对问题的反思

在求解问题时,本文做了太多的约束,使得问题趋于简单。但实际生活中,不可能在电梯的一趟运行过程中,所有人员都是同一目标层;在某电梯将特定组的人员运送完毕以后,其可以继续协同运送其他层的员工。这也就是为什么本文对第2问存在两个答案的原因。

因为笔者认为:从严格的按制运行过程中,本题的正确答案确实是13分钟,确

实是只要求三台电梯同升同降且电梯里的员工都在同一层办公即可。但如果当层数增加、电梯内人员不在同一层工作、电梯组数也增加时,相应的3.1.3的方法才是更加可行的。

1、两个男孩各骑一辆自行车,从相距2O英里(1英里合1.6093千米)的两个

地方,开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间,一辆自行车车把上的一只苍蝇,开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把,就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返,在两辆自行车的车把之间来回飞行,直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时

1O英里的等速前进,苍蝇以每小时15英里的等速飞行,那么,苍蝇总共飞行了多少英里?答案

每辆自行车运动的速度是每小时10英里,两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里,因此在1小时中,它总共飞行了15英里。

许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之

间的第一次路程,然后是返回的路程,依此类推,算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和,这是非常复杂的高等数学。据说,在一次鸡尾酒会上,有人向约翰?冯·诺伊曼(John von Neumann, 1903~1957,20世纪最伟大的数学家之一。)提出这个问题,他思索片刻便给出正确答案。提问者显得有点沮丧,他解释说,绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法,而去采用无穷级数求和的复杂方法。

冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是,我用的是无穷级数求和的方法.”

他解释道

2、有位渔夫,头戴一顶大草帽,坐在划艇上在一条河中钓鱼。河水的流动速度是每小时3英里,他的划艇以同样的速度顺流而下。“我得向上游划行几英里,”他自言自语道,“这里的鱼儿不愿上钩!”

正当他开始向上游划行的时候,一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中。但是,我们这位渔夫并没有注意到他的草帽丢了,仍然向上游划行。直到他划行到船与草帽相距5英里的时候,他才发觉这一点。于是他立即掉转船头,向下游划去,终于追上了他那顶在水中漂流的草帽。在静水中,渔夫划行的速度总是每小时5英里。在他向上游或下游划行时,一直保持这个速度不变。当然,这并不是他相对于河岸的速度。例如,当他以每小时5英里的速度向上游划行时,河水将以每小时3英里的速度把他向下游拖去,因此,他相对于河岸的速度仅是每小时2英里;当他向下游划行时,他的划行速度与河水的流动速度将共同作用,使得他相对于河岸的速度为每小时8英里。

如果渔夫是在下午2时丢失草帽的,那么他找回草帽是在什么时候?

答案

由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响,所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑。虽然是河水在流动而河岸保持不动,但是我们可以设想是河水完全静止而河岸在移动。就我们所关心的划艇与草帽来说,这种设想和上述情况毫无无差别。既然渔夫离开草帽后划行了5英里,那么,他当然是又向回划行了5英里,回到草帽那儿。因此,相对于河水来说,他总共划行了10英里。渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里,所以他一定是总共花了2小时划完这10英里。于是,他在下午4时找回了他那顶落水的草帽。

这种情况同计算地球表面上物体的速度和距离的情况相类似。地球虽然旋转着穿越太空,但是这种运动对它表面上的一切物体产生同样的效应,因此对于绝大多数速度和距离的问题,地球的这种运动可以完全不予考虑.

3、一架飞机从A城飞往B城,然后返回A城。在无风的情况下,它整个往返飞行的平均地速(相对于地面的速度)为每小时100英里。假设沿着从A城到B城的方向笔直地刮着一股持续的大风。如果在飞机往返飞行的整个过程中发动机的速度同往常完全一样,这股风将对飞机往返飞行的平均地速有何影响?

怀特先生论证道:“这股风根本不会影响平均地速。在飞机从A城飞往B城的过程中,大风将加快飞机的速度,但在返回的过程中大风将以相等的数量减缓飞机的速度。”“这似乎言之有理,”布朗先生表示赞同,“但是,假如风速是每小时l00英里。飞机将以每小时200英里的速度从A城飞往B城,但它返回时的速度将是零!飞机根本不能飞回来!”你能解释这似乎矛盾的现象吗?

答案

怀特先生说,这股风在一个方向上给飞机速度的增加量等于在另一个方向上给飞机速度的减少量。这是对的。但是,他说这股风对飞机整个往返飞行的平均地速不发生影响,这就错了。怀特先生的失误在于:他没有考虑飞机分别在这两种速度下所用的时间。

逆风的回程飞行所用的时间,要比顺风的去程飞行所用的时间长得多。其结果是,地速被减缓了的飞行过程要花费更多的时间,因而往返飞行的平均地速要低于无风时的情况。

风越大,平均地速降低得越厉害。当风速等于或超过飞机的速度时,往返飞行的平均地速变为零,因为飞机不能往回飞了。

4、《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一,共三卷,上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则,中卷举例说明筹算分数法和开平方法,都是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题,“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题如下:令有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。

问雄、兔各几何?

原书的解法是;设头数是a,足数是b。则b/2-a是兔数,a-(b/2-a)是雉数。这个解法确实是奇妙的。原书在解这个问题时,很可能是采用了方程的方法。

设x为雉数,y为兔数,则有

x+y=b,2x+4y=a

解之得

y=b/2-a,

x=a-(b/2-a)

根据这组公式很容易得出原题的答案:兔12只,雉22只。

5、我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆,看看知识如何转化为财富。

经调查得知,若我们把每日租金定价为160元,则可客满;而租金每涨20元,就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。

问题:我们该如何定价才能赚最多的钱?

答案:日租金360元。

虽然比客满价高出200元,因此失去30位客人,但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入;扣除50间房的支出40*50=2000元,每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元。

当然,所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰,据此入市,风险自

小学生趣味数学题及答案

一、有一个人带着猫、鸡、米过河,船除需要人划外,至少能载猫、鸡、米三者之一,而当人不在场时猫要吃鸡,鸡要吃米。试设计一个安全过河方案,并使渡船次数尽量减少。

答案:

1 带鸡过去空手回来

2 带猫过去带鸡回来

3 带米过去空手回来

4 带鸡过去

二.甲乙两个长方形,它们的周长相等,甲的长与宽的比是3:2,乙的长与宽的比是3:5,那么甲乙的面积是多少?

答案:甲长为24宽为16,乙长为15,宽为25。

甲面积为384,乙面积为375。答案不唯一。

三.一块合金中铜和锌的比是3:2,现在加6克锌,共得锌的合金36克,新的合金中铜和锌的比是多少?答案:

铜锌是1:1

4有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆,猴子家离香蕉堆50米,猴子打算把香蕉背会家,每次最多能背50根,可是猴子嘴馋,每走一米要吃一根香蕉,问猴子最多能背回家几根香

蕉?

25根。

先背50根到25米处,这时,吃了25根,还有25根,放下。回头再背剩下的50根,走到25米处时,又吃了25根,还有25根。再拿起地上的25根,一共50根,继续往家走,一共25米.

1、小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。他在5分钟内可以剪好几只自己的指甲?

2、小华带50元钱去商店买一个价值38元的小汽车,但售货员只找给他2元钱,这是为什么?

3、小军说:“我昨天去钓鱼,钓了一条无尾鱼,两条无头的鱼,三条半截的鱼。你猜我一共钓了几条鱼?”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼?

4、6匹马拉着一架大车跑了6里,每匹马跑了多少里?6匹马一共跑了多少里?

5、一只绑在树干上的小狗,贪吃地上的一根骨头,但绳子不够长,差了5厘

米。你能教小狗用什么办法抓着骨头呢?

6、王某从甲地去乙地,1分钟后,李某从乙地去甲地。当王某和李某在途中相

遇时,哪一位离甲地较远一些?

7、时钟刚敲了13下,你现在应该怎么做?

8、在广阔的草地上,有一头牛在吃草。这头牛一年才吃了草地上一半的草。问,它要把草地上的草全部吃光,需要几年?

9、妈妈有7块糖,想平均分给三个孩子,但又不愿把余下的糖切开,妈妈怎么

办好呢?

10、公园的路旁有一排树,每棵树之间相隔3米,请问第一棵树和第六棵树之间相隔多少米?

11、把8按下面方法分成两半,每半各是多少?算术法平均分是____,从中间横着分是____,从中间竖着分是____。

12、一个房子4个角,一个角有一只猫,每只猫前面有3只猫,请问房里共有几只猫?

13、一个房子4个角,一个角有一只猫,每只猫前面有4只猫,请问房里共有几只猫?

14、小军、小红、小平3个人下棋,总共下了3盘。问他们各下了几盘棋? (每盘棋是两个人下的)

15、小明和小华每人有一包糖,但是不知道每包里有几块。只知道小明给了小华8块后,小华又给了小明14块,这时两人包里的糖的块数正好同样多。同学们,你说原来谁的糖多?多几块?

答案:

1、20只,包括手指甲和脚指甲

2、因为他付给售货员40元,所以只找给他2元;

3、0条,因为他钓的鱼是不存在的;

4、6里,36里;

5、只要教小狗转过身子用后脚抓骨头,就行了。

6、他们相遇时,是在同一地方,所以两人离甲地同样远;

7、应该修理时钟;

8、它永远不会把草吃光,因为草会不断生长;

9、妈妈先吃一块,再分给每个孩子两块;

10、15米;11、4,0,3。12、4只;13、5只;14、2盘;

15、原来小华糖多;14-8=6块,因为多给了6块两人糖的块数正好同样多,所

以原来小华比小明多12块。

1.妹妹今年6岁,哥哥今年11岁,当哥哥16岁时,妹妹几岁?

2.小明从学校步行到少年宫要25分钟,如果每人的步行速度相同,那么小明、小丽、小刚、小红4个人一起从学校步行到少年宫,需要多少分钟?

3.一张长方形彩纸有四个角,沿直线剪去一个角后,还剩几个角?(画图表示)

4.晚上停电,小文在家点了8支蜡烛,先被风吹灭了1支蜡烛,后来又被风吹灭了2支。最后还剩多少支蜡烛?

5.有16个小朋友在操场上玩捉迷藏游戏,已经捉住了9人,藏着的还有几人?

6.19名战士要过一条河,只有一条小船,船上每次只能坐4名战士,至少要渡

几次,才能使全体战士过河?

7.布袋里有两只红袜子和两只黑袜子,至少拿出几只,才能保证配成一双同样颜色的袜子?

8.布袋里有形状大小完全一样的篮球和黄球各4个,要保证一次拿出两种颜色不相同的球,至少必须摸出几个球?

9.跷跷板的两边各有四个铁球,这时跷跷板保持平衡。如果拿掉一个铁球,跷跷板上还有几个铁球?

10.一根电线,对折再对折,最后从中间剪开,剪开的电线一共有几段?

答案

1.16-11+6=11(岁)

2 、4个人一起到从学校步行到少年宫所用的时间等于小明1个人从学校步行到少年宫所用的时间,需要25分钟。

3.根据不同的剪法,可以剩下5个角、4个角或3个角

4.1+2=3(支)

5.16-9 -1=6(人)

6.19-4=15(名)4-1=3(名)15÷3=5(次)5+1=6(次)

7.如果一次摸出2只恰好是不同颜色,再摸1只一定和其中1只颜色相同。所以一次至少要摸出3只才能保证配成一双颜色相同的袜子。

8.如果一次摸出的4个是同一种颜色的球,再摸一个一定是另一种颜色的球,所以一次至少摸出5个球才能保证得到两种颜色不同的球。

9.如果拿掉一个铁球,翘翘板上一个铁球也没有了。

10.对折后再对折,从中间剪开,有三头是连着的,所以一共有8-3=5(段)