古典概型1

“古典概型”教学设计（3）

绍兴柯桥中学余继光

1．内容和内容解析

本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些简单事件的概率，有利于解释生活中的一些现象与问题。

根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

2．目标和目标解析

（1）了解基本事件的意义

（2）理解古典概型及其概率计算公式，

（3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率

（4）会初步应用概率计算公式解决简单的古典概型问题

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现化归的重要思想，掌握列举法，学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题。树立从具体到抽象、从特殊到一般的哲学观点，鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

3.重点落实难点突破

重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

落实的途径：

（1）通过举实例的方法，理解古典概型的两个重要的特征：结果的有限性与等可能性

除了教材中掷硬币与掷骰子外，还可以举学生身边的事件，如班级里选班长等

（2）通过画树形图和列表的方法，落实古典概型中随机事件的概率的求解

（3）通过变式训练的方法，提升学生掌握古典概型中随机事件的概率计算的分析方法

难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

突破的方法：

（1）在概率的计算上，鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑；

（2）通过正、反两方面的例子，特别是举一些破坏了古典概型两个重要特征的例子，以突破古典概型识别的难点，

（3）举一些数学分支中的古典概型例子，如表面涂色正方体分割成等体积的27个小正方体，从中任取一个，则一面涂色、二面涂色、三面涂色的概率分别为多少？

4．教学问题诊断分析

在古典概型的概念理解与古典概型的计算中，一是学生不能正确理解等可能性；二是学生不能完整的列举出基本事件总数和事件A所包含的基本事件数，因此需要用直观地、描述性的语言暴露老师的思维过程，给学生以具体的指导。

初学者对基本事件与随机事件的联系与区别存在理解困难，对于基本事件的互斥性比较容易理解，但对于任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和这一特点不知所措，为了突破这一点，教学中可以用类比思想来解决，将集合的“单元素子集”比作基本事件，那么任一其他子集都可以是单元素子集的并集（和）；例3的教学中学生对为什么要把两个骰子标上记号理解不透，关键是不能从实质上把握古典概型中“每个基本事件出现是等可能的”，或者说缺少判断这一等可能性的意识，为了突破这一点，可以设计一个模拟方式来验证每个基本事件是否具有等可能性。

5．教学支持条件分析

学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现学生的主体地位，培养学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度；在教学中利用直观图形、计算机

模拟、列表、画树形图、用Excel软件等工具来支持对概率古典定义的理解与运用

6．教学过程设计

[创设问题情境]

问题1：

（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，会有哪几种可能结果？这些结果具有哪些特点？

（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，会有哪几种可能结果？这些结果具有哪些特点？事件“出现质数点”可以用这些结果表示吗？

教学设计方式：

Ⅰ、传统教学设计：教师手持一枚硬币，抛掷，显示结果，写出结果，说明结果特点；

教师手持一枚骰子，抛掷，显示结果，写出结果，说明结果特点；

这一问题创设情境方式，简单、直观、教学条件与设备要求低，有利于教学资源与条件差的地区，教学理念是以教师引导和传授为主；

Ⅱ、以学生为本的教学设计：学生分小组进行实验：各小组课前用一枚硬币或一枚骰子，抛掷n次，记录试验结果，在课堂上交流试验情况，教师汇总结果，并与学生一起讨论试验结果特点；

这一问题创设情境方式，简单、直观、教学条件与设备要求低，有利于教学资源与条件差的地区，教学理念是以学生自主学习为主，但要利用课余时间，组织工作较多；

Ⅲ、以多媒体为手段的教学设计：教师或学生中的“计算机专家”设计一个掷硬币或掷骰子的软件，由学生代表操作，显示结果，写出结果，说明结果特点；

这一问题创设情境方式，需要有现代教学媒介，对于经济发达地区是可行的，

师生互动：抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种可能结果：正面向上，反面向上；这两个结果不可能同时发生，即“正面向上”“反面向上”是互斥事件；而且这两个结果的出现是等可能的；

抛掷一枚质地均匀的骰子，会有6种可能结果：出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，这6个结果不可能同时发生，即它们是互斥事件，而且这6个结果的出现是等可能的；事件“出现质数点”可以用“出现2点”“出现3点”“出现5点”的和来表示

我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。

基本事件有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

例1、从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来。

解：基本事件为A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}

（1）问题1中两个试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）问题1中两个试验中每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

概念辨析：

问题2、向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？

因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。

问题3、从一个男女生人数差异性较大的班中随机地抽取一位学生代表，出现两个可能结果“男同学代表”“女同学代表”，你认为这是古典概型吗？为什么？

不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有2个，而“男同学代表”“女同学代表”出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。

我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法中的一种基本方法。

例2 、某人射击5枪，命中了3枪，试写出所有的基本事件

方法一：列举法：⊙表示命中，X表示未命中

方法二：树形图

问题4、在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？

问题1（1）中，出现正面朝上概率与反面朝上概率相等，即P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）由概率的加法公式，得P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1

因此 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝0.5

即P（“正面朝上”）=

问题1（2）中，出现1—6各个点的概率相等，即

P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）

反复利用概率的加法公式，我们有P（“1点”）＋P（“2点”）＋P（“3点”）＋P（“4点”）＋P（“5点”）＋P（“6点”）＝P（必然事件）＝1

∴P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）＝

进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P

（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4点”）＋P（“6点”）＝ +

+ =

根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

P（A）==

提问：（1）在例1的实验中，出现字母“d”的概率是多少？

P（出现字母d）==

（2）在例2中，所命中的三枪中，恰好有2枪连中的概率为多少？

P（三枪中两枪连中）=

在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么？

注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；

（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

例3、单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？

分析：解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型。

解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的。从而由古典概型的概率计算公式得：P（答对）

==

问题5、在标准化考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D 四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？

答：这是因为多选题选对的可能性比单选题选对的可能性要小；事实上，在多选题中，基本事件有15个，（A）（B）（C）（D）（A，B）（A，C）（A，D）（B，C）（B，D）（C，D）（A，B，C）（A，B，D）（A，C，D）（B，C，D）（A，B，C，D），假定考生不会做，在他随机选择任何答案是等可能的情

况下，他答对的概率为＜

例4、同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是5的概率是多少？

分析：如果我们只关注两个骰子出现的点数和，则有2，3，4，…，11，12这11种结果；

如果我们关注两个不加识别骰子出现的点数，则有下表中的21种结果

如果我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果（如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。

值得关注的是第一、二种情形中的结果不是等可能的，不能直接运用古典概型公式计算事件的概率；

（2）上面结果中，向上的点数之和为5的结果有4种：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）

（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得

P（A）==

问题6：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？

答：如果不标上记号，类似于（1，2）和（2，1）的结果将没有区别。这时，所有可能的结果为21种：和是5的结果有2个：（1，4）（2，3），所求

的概率为P（A）=

以上两种答案都是利用古典概型的概率计算公式得到的，为什么不同呢？这里关键是第二种解法中的基本事件不是等可能发生的，它不能利用古典概型公式来计算。

小结：

1．古典概型：我们将具有：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=

3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数常用的方法是列举法（画树状图和列表），注意做到不重不漏。

7．目标检测设计

（1）从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率 ( )

A 、 B、 C、 D、

（2）盒中有十个铁钉，其中八个合格，两个不合格，从中任取一个恰为合格铁钉的概率（）

A、 B、 C、 D、

（3）将一个边长为3的正方体木块表面涂上红色，将其切成大小相等的27块，从中任取一块，恰有两个面红色的概率，至少有两个面红色的概率 .

（4）若抛掷一次骰子得到的点数m为点M的坐标，则点M落在区间[0，4]外的概率是__

变式一：若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的坐标，则点

落在直线下方的概率是

变式二：若以连续掷三次骰子分别得到的点数,p作为点Q的坐标，则点Q落在以原点为球心，2为半径的球面内的概率是_____

（1.）C.（2）.C.（3.）27个小块中三面有红色的有8个顶点；二面有色

=，的有12棱中点；一面红色的有6个面中心；0面红色的有1个体中心，∴p

1

p

=4．；；

2

两个班教学目标检测结果分析（古典概型）

教学时间：2007年9月17日（校内公开课）

测试时间：2007年9月17日下午4：00-4：20

现象分析：

2007年9月17日在必修3第三章古典概型第一节课教学中，设计了两种教学手段，一种是传统的一只粉笔打天下的方式，一种是利用多媒体，将备课素材做成PPT，再利用黑板书写分析过程；两节课教下来的感觉是，对于数学应用问题的教学，由于教学过程中要使用大量的辅助手段才能讲明白一些数学概念，仅运用粉笔教学，书写量较大，忙于书写，学生的思维时间较多，教学容量较小，但在数学应用问题中，数学思维量较小，因此课堂容量显得不够，检测结果也说明这一点。

认知结构发展反思表