初一数学绝对值知识点与经典例题
绝对值的性质及化简
【绝对值的几何意义】一个数G 的绝对值就是数轴上表示数4的点与原点的距离.数
的绝对值记作同.（距离具有非负性）
【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是”1丨"，求一个数的绝对值，就是根
据性质去掉绝对值符号.
② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数;o 的绝对值是0.
③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：-5符号是负
号，绝对值足5.
【求字母d 的绝对值】
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性:|a|>0
如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如：若 |a| + |fe| + |c| = 0 ,则 a = O, b = 0 , c = 0
【绝对值的其它重要性质】
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数,
即 2 d ,且 pl
> -a ；
(2) 若 \a\ = \b\,则
a =/?或 a-—b\
(3)
|ab|= a\ -
\b\ ；
Cl b
0工0）；
(4) \a^a 2
\=a 2
■ ■
(5)
||a|~|b|| W | a±b| W |a|+|b
d|的几何意义：在数轴上，衣示这个数的点离开原点的距离.
\a-b\的几何意义：在数轴上，表示数b 对应数轴上两点间的距离.
【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。 【绝对值不等式】
（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数
式类型来解;
a(a > 0)
①问二 < 0(d = 0)
-a(a < 0)
a(a > 0) -a(a < 0)
J a(a > 0) \-a(a < 0)
（2）证明绝对值不等式主要有两种方法:
A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法:
B）利用不等式：|a|-|b| W|a+b| W|a| + |b|,用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与己知的式子联系起来。
【绝对值必考题型】
例1：已知|x—2| + |y—3| =0,求x+y 的值。
解：由绝对值的非负性可知x-2= 0, y-3 = 0；即：x二2, y =3；所以x+y二5 _ 判断必知点：① 相反数等于它本身的是0
②倒数等于它本身的是±1
③绝对值尊于它本身的是非负数
【例题精讲】
（一）绝对值的非负性问题
1.非负性：若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0.
2.绝对值的非负性；若|d| + |b| + |c| = 0,则必有d = 0, b = 09 c = 0
【例题】若|x+3| + |y+l| + |z + 5| = 0,则x-y~z=_________________ 。
总结：若干非负数之和为0, _______________________
+ 2 2p-l = 0 ,则 p+2n + 3m
3
【巩固】先化简，再求值：3/b - 2ab 2 - 2（ab -—a 2
b ） +2ab .
其中 G 、b 满足 d + 3b + l+(2d —4)2=0.
（二）绝对值的性质
【例1】若a<0,则4a+71a|等于（
）
【例4】若
B. l+a>a>l-b>-b
B ? yVO, x>0 D ? x=0, y>0 或 y=0,
【例 9】已知：xVOVz, xy>0,且 |y|>|z|>|x|,那么 | x+z I +1 y+z I -1 x-y | 的值(
)
7 - 2
巩
[
A. 11a
B. -11a
D. 3a
【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（
B.正数
C.非正数
D.非负数 |y|=2,且
xy>0,贝！I x-y 的值等于（
B. 7 或 3
A. 1, 0
【例3］已知|x|=5,
A. 7 或一7
C. 3 或-3
D. -7 或-3
A.正数
B.
【例5］已知：a>0, 负数
b<0,
C- 非负数 D.非正数
b|
D. l"b> l +a>*b>a 【例6】已知 a . b 互为相反数，
A. 2
B. 2 或 3
C.
计算b-a+1 【例 7] a<0, ab<0, a-b|=6,则 b-l| 的值为(
)
D. 2 或 4
-1 a-b-51,结果为
A. 6
B. -4
C. -2a+2b+6
D. 2a~2b-6
【例 8]若 |x+y |二y-x, 则有（
A. y>0t x<0 C. y<0? x<0
x<0
A.是正数
B.是负数
C.是零
D.不能确定符号
【例10】给出下面说法：
(1) 互为相反数的两数的绝对值相等；
(2) 一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； (3) 若|m| >m,则 m<0；
(4) 若|a|>|b|,则a>b,其中正确的有(
)
A. (1) (2) (3)
B. (1) (2) (4)
C. (1)
(3)
(4)
D. (2)
(3)
(4)
【例11】已知a, b, c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则
Ic_b _ b~a|-|a~c|- _____________
-I c o alb
【巩固】知a 、b 、c 、d 都是整数,且|a+b| +1b+c | +1c+d| + d+a| =2,求|a+d|的值。
【例 12】若 x<-2,则 l-|l+x| = ___________
若 I a | 二一a,则 | aT | T a~21 = ___
【例 14】若 a|+a=0? | ab | =ab ? | c ~c=0> 化简:|b|-1a+b |-1 c~b | +1 arc \ = ___________
【例15】已知数a 、b 、c 的大小关系如图所示，
, … ,|
b 0 a c
1 ■ 1 1
--1 +
+.... + 2
3- 2
1 1 2007 - 2006
【例13】计
则下列各式:
① b + a + (-c) > 0 ；②(-a) - b + c > 0 ；③纟 + 2 + ￡ =］；④ be - 67 > 0 ；
\a\ |/?| c
⑤ _____________________________________________________ \a-b\-\c + k\ + \a-c\ = -2b-其中正确的有_____________________________________ ?(请填写番号)
\a\ \b\ c
【巩固】已知：abc工0,且M= — 4- — H --- ,当a, b, c取不同值时，M有
a b c
种不同口J能.
当a、b、c都是正数时，M二 _____ ；
当a、b、c中有一个负数时，则M二________
当a、b、c中有2个负数时，则M二_______
当a、b、c都是负数时，M二 ________ ?
c abc ...
【巩固】已知ci,b,c是非零整数，且a + b + c = O,求二+纟+ 同问
(三)绝对值相关化简问题(零点分段法) 零点分段法的一般步骤：找零点?分区间?
定符号?去绝对值符号.
【例题】阅读下列材料并解决相关问题:
x(x> 0)
我们知道|x| = Jo(x = O)，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，-x(x<0)如化简代数式卜+ 1| +卜一2|时，可令x+l = 0和兀一2 = 0,分别求得
x = —l,x = 2 (称一1,2分别为卜+ 1|与卜—2|的零点值)，在有理数范圉内，零点
值x = —1和x = 2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3屮怙况：(i)"ixv—1 时，原式=—(x + 1) —(兀一2) = —2x +1
（四） a -b
表示数轴上表示数数b 的两点间的距离.
(2) 当一1 Wxv2 时，原式= x+l-(x-2) = 3
⑶当 x22 时，原式= x+l + x —2 = 2x —1
—2x + l(x < -1)
综上讨论,原式h3(-lWxv2)
2x- l(x 2 2)
解：（1） |x+2|和丨x-4|的零点值分别为x=-2和x=4? /IJ 1 ? 、▲“ J
L
A 1
x+2| +
y J 罗J J X v y A ?
：
当-2WxV4 时，|x+2
+ X"4 =6； 当 x24 时，|x+21 +1x-41 =2x-2?
2. m + |/7?-1|+ 777-2 的值
变式5.已知x-3 + x + 2的最小值是a , x-3 一 x + 2的最大值为b ,求
a +
b 的值。
（1）求出卜+2|和卜一4|的零点值
(2)化简代数式|x+2| + |x-4|
3.
x+5 + 2x-3
4. (1) |2x —1|:
】化简
【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与一2, 3与5, —2与一6, —4与 3. 并回答下列各题：
（1） _________________________________________________________________ 你能
发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： __________________ ?
（2） 若数轴上的点A 表示的数为拓点B 表示的数为一1,则A 与B 两点间的距离
可以表示为 _________
（3） 结合数轴求得x-2| + |x+3|的最小值为—，取得最小值时左的取值范围为_.
（4） ____________________________________________________ 满足|x + l| + |x + 4|>3
的x 的取值范围为 _________________________________________ ,
（5） 若|x-l| + |x-2| + |x-3| + L +|x-2008|的值为常数,试求x 的取值范围.
（五）、绝对值的最值问」
伙-1|有最小值，这个最小值是多少？
x-ll+3有最小值，这个最小值是多少？ x-l|-3有最小值，这个最小值是多少？ -3+|x-l|有最小值，这个最小值是多少? -|x-l|有最大值，这个最大值是多少？
2） 当x 取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少? 3） 当x 取何值时，-x-1卜3有最大值，这个最大值是多少?
4）当x 取何值时，3-|X -l|有最大值，这个最大值是多少? 若想很好的解决以上2
个例题，我们需要知道如卜知识点：、
1） 非负数：0和正数，有最小值是0 2） 非正数：0和负数，有最大值是0
3） 任意有理数的绝对值都是非负数，UP|a|>0,则-|a|<0 4） x 是任意有理数，m 是常数，则|x+m >0,有最小值是0,
- x+m <0有最大值是0
（可以理解为x 是任意有理数，则x+a 依然是任意有理数，如|x+3|>0, -|x+3|<0 或者|x~l
| >0, -|x~l | <0）
5） x 是任意有理数，m 和n 是常数，则|x+m|+n>n,有最小值是n
-|x+m|+n 例题1: 1) 2) 3) 4) 例题2： 1) 当x 取何值时, 当x 取何值时, 当x 取何值时, 当x 取何值时, 当x 取何值时,