概率论分布列期望方差习题及答案

圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题

姓名：__________班级：__________学号：__________

1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.

2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13

，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；

(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．

3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.

令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *

∈.

(1)当1

2p q ==

时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =3

2时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率. 4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、

、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：

当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正

确回答123A A A 、

、的概率分别为421

534

、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为1

2

，且各个问题回答正确与否互不影响． （Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率； （Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。每套系统都由三种电子模块T1,T2,T3组成（如图所示已知T1,T2,T3正常工作的概率都是，且T1,T2,T3能否正常工作相互独

立.(注：对每一套系统或每一种电子模块而言,只要有电流通过就能正常工作.)

(I )分别求系统M,N 正常工作的概率；

(II)设该装I 中两套系统正常工作的套数为，求的分布列和期望.

6． 抛一枚均匀的骰子（骰子的六面分别有数字1、2、3、4、5、6）来构造数列

∑=+++=??

?-=n i n n i n n a a a a n n a a 1

1.,)(1

)

(1

},{Λ记次出现偶数时当第次出现奇数时当第使

（1）求

∑==7

1

3i i

a

的概率； （2）若∑∑===≠7

1

2

1

3,0i i i i a a 求的概率.

7．在进行一项掷骰子放球的游戏中规定：若掷出1点或2点，则在甲盒中放一球；否则，在乙盒中放一球。

现在前后一共掷了4次骰子，设x 、y 分别表示甲、乙盒子中球的个数。

（Ⅰ）求13y x ≤-≤的概率；（Ⅱ）若,x y ξ=-求随机变量ξ的分布列和数学期望。 8．现有若干个大小相同的小球，其中m 个小球上标有数字1，3个小球上标有数字3，2个小球上标有数字5，现摇出2个小球，规定所得奖金（元）为这2个小球上的数字之和. （1）若m=4，求此次摇奖获得奖金为6元的概率； （2）若此次摇奖获得奖金为8元的概率是

15

2

，求m ； （3）在（2）的条件下，列出此次摇奖获得奖金数额X 的分布列，并求X 的均值．

9．在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。假设：答对题i （1,2i =），就得到奖金i a 元，且答对题i 的概率为

i p （1,2i =），并且两次作答不会相互影响．

（I ）当1200a =元，10.6p =，2100a =元，20.8p =时，某人选择先回答题1，设获得奖金为ξ，求ξ的分布列和E ξ；

（II ）若122a a =，121p p +=，试问：选择先回答哪个问题时可能得到的奖金更多？

10．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列如下图所示，商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. η表示经销一件该商品的利润.

（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； （Ⅱ）求η的分布列及期望.

ηE

▍参考答案或解析(仅供参考)

1、2011年山东省普通高等学校招生统一考试理科数学

所以ξ的分布列

为 0 1 2 3 P

数学期望E ξ=0×+1×+2×+3×=.

2、2010年三峡高中高二下学期期末考试（理科）数学卷

(1) 13

1

3=?=ξE （次）

(2) =ηE 3（次）

（3）27

11

)32(32312)3

2(1)(21

2

4=

???--=C A P 3、湖北省黄冈中学2009届高三2月月考数学试题

(Ⅰ) 4964

(Ⅱ) 218780

4、2011届云南省昆明市高三5月适应性检测理科数学试题

解： （Ⅰ） 记“

1A 回答正确2A 回答错误”为事件A ；“1A 、2A 回答正确3A 回答错误”为事件B ；“1A 回答正确但所得奖金为

零”为事件C ，事件A 、B 互斥，则

()()()()P C P A B P A P B =+=+ 41241211217(1)(1)52352324151030=??-+????-=+=

. …………6分

（Ⅱ）ξ的取值分别为0、1000、3000、6000，

412

(1000)(1)525P ξ==?-=

，

41212

(3000)(1)523215P ξ==???-=

，

412111

(6000)5232430P ξ==????=

，

22113

(0)1()5153030P ξ==-++=

， ξ的分布列为：

∴

1322101000300060003051530E ξ=?

+?+?+?

04004002001000=+++=（元）． ……………………………12分

5、2011届河北省邯郸市高三第二次模拟考试理科数学卷

解：（Ⅰ）

123,,T T T 正常工作的概率都是

2

3p =

，且 123,,T T T 能否正常工作相互独立．

∴系统M 正常工作的概率为

[]

2716

)1(1)(2=

?--=p p M p ， -----------------3分

系统N 正常工作的概率为

222

()1(1)(1)27p N p p =---=

. ----------------6分

（Ⅱ）该装置中两套系统正常工作的套数为ξ，显然ξ=0，1，2．

72955)27221)(27161()0(=--

==ξp ，

729322)27161(2722)27221(2716)1(=-?+-?=

=ξp ，

1622352(2)2727729p ξ==

?=

． -----------------10分

所以ξ的分布列为

0 1 2

2738

7291026=

=

ξE ． -----------------12分

6、广州增城中学2010届高三综合测试数学（理科）试卷

（Ⅰ） 21()128

P A = （Ⅱ）11

.128P =

7、2011届广西省桂林中学高三高考模拟考试理数

解：依题意知，掷一次骰子，球被放入甲盒、乙盒的概率分别为

12

,.33

…………2分

（Ⅰ）若13,y x ≤-≤则只能有1,3,x y ==即在4次掷骰子中，有1次在甲盒中放球，有3次在乙盒中放球，因此所

求概率3

14

1232

.3381

P C ??=??= ???…………5分

（Ⅱ）由于,x y ξ=-所以ξ的可能取值有0，2，4…………6分

()44

0444111743381P C C ξ????==+= ? ?????

…………9分 所以随机变量ξ的分布列为：

故随机变量ξ的数学期望为244017148

024.81818181

E ξ

=?

+?+?=…………12分 8、学年浙江省嘉兴市学年第一学期期末检测高二理科数学

略

9、2011届浙江省杭州市萧山九中高三寒假作业数学卷三

(1) 分布列：

(2) 111p <<时，211210p p +->，12E E ξξ>，先答题1可能得到的奖金更高；…12分

当11p =时，211210p p +-=，12E E ξξ=，先答题1或题2可能得到的奖金一样多;

当101p <<时，211210p p +-<，12E E ξξ<，先答题2可能得到的奖金更多

10、2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（山西）

（Ⅰ）784.0216.01)(1)(=-=-=A P A P ； （Ⅱ）E η=200×+250×+300× =240（元）.