高中数学必修正态分布
2.4正态分布
1.问题导航
(1)什么是正态曲线和正态分布?
(2)正态曲线有什么特点?曲线所表示的意义是什么?
(3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率?
2.例题导读
请试做教材P74练习1题.
1.正态曲线
函数φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,φμ,σ(x)的图象为__________________正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.正态分布
一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)d x,则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数________μ和________σ确定,因此正态分布常记作
____________N(μ,σ2),如果随机变量X服从正态分布,则记为________X~N(μ,σ2).
3.正态曲线的性质
正态曲线φμ,σ(x)=e-,x∈R有以下性质:
(1)曲线位于x轴________上方,与x轴________不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线________x=μ对称;
(3)曲线在________x=μ处达到峰值________;
(4)曲线与x轴之间的面积为________1;
(5)当________σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ________越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ________越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②.
4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ-σ<X≤μ+σ)=________0.682_________6;
P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=________0.954_________4;
P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=________0.997_________4.
1.判断(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.()
(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.()
(3)正态曲线可以关于y轴对称.()
答案:(1)×(2)×(3)√
2.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≤C)=P(X>C),则C=() A.0 B.σ
C.-μD.μ
答案:D
3.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),则P(X<3)=()
A. B.
C. D.
答案:D
4.已知正态分布密度函数为f(x)=e-,x∈(-∞,+∞),则该正态分布的均值为________,标准差为________.
答案:0
正态分布的再认识
(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.μ=0,σ=1的正态分布叫做标准正态分布.
(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a,
b]上的概率等于总体密度函数在[a,b]上的定积分值.
(3)从正态曲线可以看出,对于固定的μ而言,随机变量在(μ-σ,μ+σ)上取值的概率随着σ的减小而增大.这说明σ越小,X取值落在区间(μ-σ,μ+σ)的概率越大,即X集中在μ周围的概率越大.对于固定的μ和σ,随机变量X取值区间越大,所对应的概率就越大,即3σ原则.
正态分布密度曲线
如图是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的均值和方差.
[解]从正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值为,
所以μ=20,=,
∴σ=.
于是φμ,σ(x)=·e-,x∈(-∞,+∞),总体随机变量的期望是μ=20,方差是σ2=()2=2.
利用图象求正态密度函数的解析式,应抓住图象的实质,主要有两点:一是对称轴x=μ,另一是最值,这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,代入便可求出相应的解析式.
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正态分布密度曲线
1.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为.求该正态分布的概率密度函数的解析式.
解:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.
由于=,得σ=4,
故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞).
求正态分布下的概率
设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5).
[解]因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.
(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)
=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826.
(2)因为P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1),
所以P(3<X≤5)
=[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)]
=[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)]
=[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)]
=(0.9544-0.6826)=0.1359.
[互动探究]在本例条件下,试求P(X≥5).
解:因为P(X≥5)=P(X≤-3),
所以P(X≥5)=[1-P(-3<X≤5)]
=[1-P(1-4<X≤1+4)]
=[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)]
=(1-0.9544)=0.0228.
(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性,把待求区间的概率转化到已知区间的概率.这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用.
(2)常用结论有
①对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);
②P(X<x0)=1-P(X≥x0);
③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).
2.(1)(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
解析:选B.由正态分布的概率公式知P(-3<ξ<3)=0.6826,P(-6<ξ<6)=0.9544,故P(3<ξ<6)===0.1359=13.59%,故选B.
(2)设随机变量X~N(4,σ2),且P(4<X<8)=0.3,则P(X<0)=________.
解析:概率密度曲线关于直线x=4对称,在4右边的概率为0.5,在0左边的概率等于在8右边的概率,即0.5-0.3=0.2.
答案:0.2
(3)设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1).
①求c的值;②求P(-4<X<8).
解:
①由X~N(2,9)可知,密度函数曲线关于直线x=2对称(如图所示),
又P(X>c+1)=P(X<c-1),
故有2-(c-1)=(c+1)-2,
∴c=2.
②P(-4<X<8)=P(2-2×3<X<2+2×3)=0.9544.
正态分布的实际应用
某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分的学生为不及格学生.
(1)成绩不及格的人数占多少?
(2)成绩在80~90之间的学生占多少?
[解](1)设学生的得分情况为随机变量X,
则X~N(70,102),其中μ=70,σ=10.
在60到80之间的学生占的比为P(70-10 ∴不及格的学生所占的比为 ×(1-0.6826)=0.1587=15.87%. (2)成绩在80到90之间的学生所占的比为 ×[P(70-2×10 正态曲线的应用及求解策略: 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想. 3.(2015·杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间X(单位:分)近似服从正态分布X~N(50,102),求他在(30,60]分内赶到火车站的概率. 解:∵X~N(50,102),∴μ=50,σ=10. ∴P(30<X≤60)=P(30<X≤50)+P(50<X≤60) =P(μ-2σ<X≤μ+2σ)+P(μ-σ<X≤μ+σ) =×0.9544+×0.6826=0.8185. 即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.8185. 数学思想正态分布中的化归与转化思想 已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)=() A.0.1588B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 [解析]由于X服从正态分布N(3,1),故正态分布曲线的对称轴为x=3. 所以P(X>4)=P(X<2), 故P(X>4)== =0.1587. [答案] B [感悟提高]化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一,在解决正态分布的应用问题时,化归与转化思想起着不可忽视的作用. 本小题考查正态分布的有关知识,求解时应根据P(X>4)+P(X<2)+P(2≤X≤4)=1将问题转化. 1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=e-,则这个正态总体的均值与标准差分别是() A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 解析:选B.由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2. 2.(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为() A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附:若X~N(μ,σ2), 则P(μ-σ P(μ-2σ 解析:选C.由P(-1 3.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为________.解析:如图,易得P(0<X<1)=P(1<X<2), 故P(0<X<2)=2P(0<X<1)=2×0.4=0.8.答案:0.8 4.设X~N(5,1),求P(6 解:由已知得P(4 P(3 又∵正态曲线关于直线x=5对称, ∴P(3 =0.2718. 由对称性知P(3 所以P(6 [A.基础达标] 1.设随机变量ξ~N(2,2),则D(ξ)=() A.1B.2 C. D.4 解析:选C.∵ξ~N(2,2),∴D(ξ)=2. ∴D(ξ)=D(ξ)=×2=. 2.下列函数是正态密度函数的是() A.f(x)=e,μ,σ(σ>0)都是实数 B.f(x)=e- C.f(x)=e- D.f(x)=e 解析:选B.对于A:函数的系数部分的二次根式包含σ,而且指数部分的符号是正的,故A错误;对于B:符合正态密度函数的解析式,其中σ=1,μ=0,故B正确;对于C:从系数部分看σ=2,可是从指数部分看σ=,故C不正确;对于D:指数部分缺少一个负号,故D不正确. 3.(2015·高考湖北卷)设X~N(μ1,σ),Y~N(μ2,σ),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是() A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t) D.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) 解析:选D.由图象知,μ1<μ2,σ1<σ2,P(Y≥μ2)=,P(Y≥μ1)>,故P(Y≥μ2) 因为σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错; 对任意正数t,P(X≥t) 对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的,故选D. 4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=() A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析:选C.如图,正态分布的密度函数图象关于直线x=2对称,所以P(ξ<2)=0.5,并且P(0<ξ<2)=P(2<ξ<4),则P(0<ξ<2)=P(ξ<4)-P(ξ<2)=0.8-0.5=0.3. 5.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是,则μ=() A.1 B.4 C.2 D.不能确定 解析:选B.根据题意,函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点时,Δ=16-4ξ<0,即ξ>4,根据正态分布密度曲线的对称性,当函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是时,μ=4. 6.如果ξ~N(μ,σ2),且P(ξ>3)=P(ξ<1)成立,则μ=________.解析:∵ξ~N(μ,σ2),故概率密度函数关于直线x=μ对称,又P(ξ<1)=P(ξ>3),从而μ==2,即μ的值为2. 答案:2 7.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(2,+∞)上取值的概率为 ________. 解析:由正态分布的特征易得P(ξ>2)=×[1-2P(0<ξ<1)]=×(1-0.8)=0.1. 答案:0.1 8.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们 的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为________. 解析:依题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,从而属于正常情况的人数为 1000×0.6826≈683. 答案:683 9.(2015·苏州高二检测)某个工厂的工人月收入服从正态分布 N(2500,202),该工厂共有1200名工人,试估计月收入在2440元以下和2560元以上的工人大约有多少人? 解:设该工厂工人的月收入为ξ,则ξ~N(2500,202), 所以μ=2500,σ=20, 所以月收入在区间(2500-3×20,2500+3×20)内取值的概率是0.9974,该区间即(2440,2560). 因此月收入在2440元以下和2560元以上的工人大约有1200×(1-0.9974)=1200×0.0026≈3(人). 10.(2015·漳州高二检测)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,102);第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60,42). (1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线? (2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线? 解:由已知X~N(50,102),Y~N(60,42).由正态分布的2σ区间性质P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.然后解决问题的关键是:根据上述性质得到如下结果: 对X:μ=50;σ=10,2σ区间为(30,70), 对Y:μ=60;σ=4,2σ区间为(52,68), 要尽量保证用时在X?(30,70),Y?(52,68)才能保证有95%以上的概率准时到达. (1)时间只有70分钟可用,应该走第二条路线. (2)时间只有65分钟可用,两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达,但是走市区平均用时比路线二少了10分钟,应该走第一条路线. [B.能力提升] 1.设随机变量X~N(μ,σ2),则随着σ的增大,P(|X-μ|<3σ)将会() A.单调增加 B.单调减少 C.保持不变D.增减不定 解析:选C.对于服从正态分布的随机变量X,不论μ,σ怎么变化,P(|X-μ|<3σ)总等于0.9974. 2.设正态总体落在区间(-∞,-1)和区间(3,+∞)的概率相等,落在区间(-2,4)内的概率为99.7%,则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为() A.(1,) B.(1,) C.(,1) D.(1,1) 解析:选A.正态总体落在区间(-∞,-1)和(3,+∞)的概率相等,说明正态曲线关于x=1对称,所以μ=1. 又在区间(-2,4)内的概率为99.7%, ∴1-3σ=-2,1+3σ=4,∴σ=1. ∴f(x)=e-,x∈R, ∴最高点的坐标为. 3.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是________. ①P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0); ②P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0); ③P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0); ④P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0). 解析:因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a),所以①不正确; 因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)=P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-(1-P(ξ<a))=2P(ξ<a)-1,所以②正确,③不正确; 因为P(|ξ|<a)+P(|ξ|>a)=1, 所以P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0),所以④正确. 答案:②④ 4.设随机变量X~N(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为________. 解析:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2. 又Y=3X-1,所以E(Y)=3E(X)-1=3μ-1=2, D(Y)=9D(X)=62, 所以Y~N(2,62). 答案:Y~N(2,62) 5.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布,求P(187.8 ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求E(X). 附:≈12.2. 若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ 解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为 x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8 ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以E(X)=100×0.6826=68.26. 6.请仔细阅读下面这段文字,然后解决后面的问题. 在实际生活中,常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格,方法是: (1)提出统计假设:某种指标服从正态分布N(μ,σ2); (2)确定一次试验中的取值a; (3)作出统计推断:若a∈(μ-3σ,μ+3σ),则接受假设,若a?(μ-3σ,μ+3σ),则拒绝假设. 问题: 某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N(30,0.82),质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块,测得它的 抗断强度为27.5kg/cm2,你认为该厂这天生产的这批砖是否合格?为什么? 解:由于在一次试验中ξ落在区间(μ-3σ,μ+3σ)上的概率为0.997,故ξ几乎必然落在上述区间内.把μ=30,σ=0.8代入,得区间(μ-3σ,μ+3σ)=(27.6,32.4),而27.5?(27.6,32.4),∴据此认为这批砖不合格. 正态分布和线性回归高考要求 1.了解正态分布的意义及主要性质 2.了解线性回归的方法和简单应用 知识点归纳 1.正态分布密度函数: 2 2 () 2 () 2 x f x e μ σ πσ - - =,(σ>0,-∞<x<∞) 其中π是圆周率;e是自然对数的底;x是随机变量的取值;μ为正态分布的均值;σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) , (2 σ μ N 2.正态分布) , (2 σ μ N)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 例1、下面给出三个正态总体的函数表示式,请找出其均值μ和标准差σ.(1)2 2 2 1 ) ( x e x f- = π ,(-∞<x<+∞) (2) 2 (1) 8 () 22 x f x e π - - =,(-∞<x<+∞) 解:(1)0,1 (2)1,2 3.正态曲线的性质:正态分布由参数μ、σ唯一确定,如果随机变量ξ~N(μ,σ2),根据定义有:μ=Eξ,σ=Dξ。 正态曲线具有以下性质: (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交。 (2)曲线关于直线x =μ对称。 (3)曲线在x =μ时位于最高点。 (4)当x <μ时,曲线上升;当x >μ时,曲线下降。并且当曲线向左、 右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近。 (5)当μ一定时,曲线的形状由σ确定。σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中。 五条性质中前三条较易掌握,后两条较难理解,因此应运用数形结合的原则,采用对比教学 4.标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时,正态总体称为标准正态总体,其 相应的函数表示式是2 221)(x e x f - = π ,(-∞<x <+∞) 其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N (0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题: 对于标准正态总体N (0,1),)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率, 即 )()(00x x P x <=Φ, 其中00>x ,图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态 分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00 正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. (一) 知识内容 1.概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直方图上面的折线所接近 的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则这条曲线称为X 的概率密度曲线. 曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ,之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. 2.正态分布 ⑴定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的,而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布. 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x e μσσ --=?,x ∈R , 其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞. 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差.期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 2(,)N μσ. 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线. ⑵标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. 例题精讲 高考要求 正态分布 x=μ O y x ⑶重要结论: ①正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%. ②正态变量在()-∞+∞,内的取值的概率为1,在区间(33)μσμσ-+,之外的取值的概率是0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则. (二)典例分析: 【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a , ,则(3)P X <=( ) A .1 5 B . 1 4 C .1 3 D . 12 【例2】 在某项测量中,测量结果X 服从正态分布() ()210N σσ>,,若X 在()01, 内取值的概率为0.4,则X 在()02, 内取值的概率为 . 【例3】 对于标准正态分布()01N , 的概率密度函数()2 2 x f x -=,下列说法不正确的是( ) A .()f x 为偶函数 B .()f x C .()f x 在0x >时是单调减函数,在0x ≤时是单调增函数 D .()f x 关于1x =对称 【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ, ,(4)0.84P X =≤,则(0)P X =≤( ) A .0.16 B .0.32 C .0.68 D .0.84 【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ,,则不属于区间(44)-,这个尺寸范围的零件约占总数 的 . 【例6】 已知2(1)X N σ-, ~,若(31)0.4P X -=≤≤-,则(31)P X -=≤≤( ) A .0.4 B .0.8 C .0.6 D .无法计算 【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ,,若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-,则_______c =. 正态分布(一) 教学目的: 1 掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 2.结合正态曲线,加深对正态密度函数的理理 3.通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质 教学重点:正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0,1) 教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2.正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成: 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞,(σ>0) 由此可见,正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为x=μ,并在x=μ时取最大值从x=μ点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近x轴,但永不与x轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5.由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现,许多正态分布中,重点研究N(0,1),其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N(0,1),我们把N(0,1)称为标准正态分布,其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ,x∈(-∞,+∞),从而使正态分布的研究得以简化 6.结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质教学过程: 一、复习引入: 总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线. 借助于标准正态分布表求值 例 设ξ服从)1,0(N ,求下列各式的值: (1));35.2(≥ξP (2));24.1(-<ξP (3)).54.1(<ξP 分析:因为ξ用从标准正态分布,所以可以借助于标准正态分布表,查出其值.但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形,故需要转化成小于非负值0x 的概率,公式:);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地. 解:(1);0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P (2);1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP (3))54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 说明:要制表提供查阅是为了方便得出结果,但标准正态分布表如此简练的目的,并没有给查阅造成不便.相反其简捷的效果更突出了核心内容.左边的几个公式都应在理解的基础上记住它,并学会灵活应用. 求服从一般正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2N 试求: (1));5.3(<ηP (2));4(-<ηP (3));2(≥ηP (4)).3(<ηP 分析:首先,应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布,利用结论:若),(~2σμηN ,则由)1,0(~N σμηξ-=知:,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式,通过查表获得结果. 解:(1);8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ??-Φ=<ηP 2.4 正态分布 1.问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布? (2)正态曲线有什么特点?曲线所表示的意义是什么? (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率? 2.例题导读 请试做教材P 74练习1题. 1.正态曲线 函数φμ,σ(x )=1 2πσ e -(x -μ)2 2σ2,x ∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数, φμ,σ(x )的图象为__________________正态分布密度曲线,简称正态曲线. 2.正态分布 一般地,如果对于任何实数a ,b (a <b ),随机变量X 满足P (a <X ≤b )=??a b φ μ,σ (x)d x , 则称随机变量X 服从正态分布.正态分布完全由参数________μ和________σ确定,因此正态分布常记作____________N(μ,σ2),如果随机变量X 服从正态分布,则记为________X ~N (μ,σ2). 3.正态曲线的性质 正态曲线φμ,σ(x)=1 2πσ e -(x -μ)22σ2,x ∈R 有以下性质: (1)曲线位于x 轴________上方,与x 轴________不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线________x =μ对称; (3)曲线在________x =μ处达到峰值________1 σ2π ; (4)曲线与x 轴之间的面积为________1; (5)当________σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移,如图①; (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ________越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ________越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②. 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 正 态分布 一、选择题 1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ,若)1()1(-<=+>c P c P ξξ,则c 等于() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知随机变量ξ服从正态分),2(2σN ,且8.0)4(=<ξP ,则)20(<<ξP 等于() A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 3.已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ,(4)0.84P ξ=≤,则(0)P ξ≤等于() A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 4.已知随机变量X 服从正态分布),2(2σN ,8.0)40(=< 借助于标准正态分布表求值 例 设ξ服从)1,0(N ,求下列各式的值: (1));35.2(≥ξP (2));24.1(-<ξP (3)).54.1(<ξP 分析:因为ξ用从标准正态分布,所以可以借助于标准正态分布表,查出其值.但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形,故需要转化成小于非负值0x 的概率,公式:);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地. 解:(1);0094 .09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P (2);1075 .08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP (3))54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 说明:要制表提供查阅是为了方便得出结果,但标准正态分布表如此简练的目的,并没有给查阅造成不便.相反其简捷的效果更突出了核心内容.左边的几个公式都应在理解的基础上记住它,并学会灵活应用. 求服从一般正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2N 试求: (1));5.3(<ηP (2));4(-<ηP (3));2(≥ηP (4)).3(<ηP 分析:首先,应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布,利用结论:若),(~2σμηN ,则由)1,0(~N σμηξ-=知:,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式,通过查表获得结果. 解:(1);8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ??-Φ=<ηP (2);0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=??? ? ?--Φ=-<ηP 最新高中数学正态分布练习及解析 【2020年高考考查】 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【复习指导】 掌握好正态密度曲线的特点,尤其是其中的参数μ、σ的含义,会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率. 基础梳理 1.正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ,σ(x )=12πσ e -(x -μ)2 2σ2, x ∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x )的图象(如图)为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的解析式 ①指数的自变量是x 定义域是R ,即x ∈(-∞,+∞). ②解析式中含有两个常数:π和e ,这是两个无理数. ③解析式中含有两个参数:μ和σ,其中μ可取任意实数,σ>0这是正态分布的两个特征数. ④解析式前面有一个系数为 12πσ,后面是一个以e 为底数的指数函数的形式,幂指数为-(x -μ)2 2σ2. 六条性质 正态曲线的性质 正态曲线φμ,σ(x)=12πσ e -(x -μ)2 2σ2,x ∈R 有以下性质: (1)曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称; (3)曲线在x =μ处达到峰值1σ2π; (4)曲线与x 轴围成的图形的面积为1; (5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移; (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率.落在三个邻域之外是小概率事件,这也是对产品进行质量检测的理论依据. 双基自测 1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f (x )的图象,且f (x )=18πe -(x -10)2 8,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( ). 2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a ,b (a 专题10.6 条件概率、二项分布及正态分布 【考试要求】 1.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率,了解条件概率与独立性的关系; 2.会利用乘法公式计算概率,会利用全概率公式计算概率; 3.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题; 4.了解服从正态分布的随机变量,通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 【知识梳理】 1.条件概率 2.事件的相互独立性 (1)定义:设A ,B 为两个事件,如果P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质:若事件A 与B 相互独立,则A 与B -,A -与B ,A -与B - 也都相互独立,P (B |A )=P (B ),P (A |B )=P (A ). 3.全概率公式 (1)完备事件组: 设Ω是试验E 的样本空间,事件A 1,A 2,…,A n 是样本空间的一个划分,满足: ①A 1∪A 2∪…∪A n =Ω. ②A 1,A 2,…,A n 两两互不相容,则称事件A 1,A 2,…,A n 组成样本空间Ω的一个完备事件组. (2)全概率公式 设S 为随机试验的样本空间,A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件,且有P (A i )>0,i =1,2,…,n ,∪n i =1 A i =S ,则对任一事件 B ,有P (B )=∑n i =1 P (A i )P (B |A i )称满足上述条件的A 1,A 2,…,A n 为完备事件组. 4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验,其中A i (i =1,2,…,n )是第i 次试验结果,则 P (A 1A 2A 3…A n )=P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ). 2.4 正态分布 1.问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布? (2)正态曲线有什么特点?曲线所表示的意义是什么? (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率? 2.例题导读 请试做教材P 74练习1题. 1.正态曲线 函数φμ,σ(x )=12πσ e -(x -μ)22σ2,x ∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,φμ,σ(x )的图象为__________________正态分布密度曲线,简称正态曲线. 2.正态分布 一般地,如果对于任何实数a ,b (a <b ),随机变量X 满足P (a <X ≤b )=??a b φμ,σ(x)d x ,则称随机变量X 服从正态分布.正态分布完全由参数________μ和________σ确定,因此正态分布常记作____________N(μ,σ2),如果随机变量X 服从正态分布,则记为________X ~N (μ,σ2). 3.正态曲线的性质 正态曲线φμ,σ(x)=1 2πσe -(x -μ)2 2σ2,x ∈R 有以下性质: (1)曲线位于x 轴________上方,与x 轴________不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线________x =μ对称; (3)曲线在________x=μ处达到峰值________1 σ2π ; (4)曲线与x轴之间的面积为________1; (5)当________σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①; (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ________越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ________越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②. 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ-σ<X≤μ+σ)=________0.682_________6; P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=________0.954_________4; P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=________0.997_________4. 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.() (2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.() (3)正态曲线可以关于y轴对称.() 答案:(1)×(2)×(3)√ 2.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≤C)=P(X>C),则C=() A.0 B.σ C.-μD.μ 答案:D 考点38 正态分布与条件概率 【题组一 条件概率】 1.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球,现在不放回的取2次球,每次取出一个球,记“第1次拿出的是白球”为事件A ,“第2次拿出的是白球”为事件B ,则事件A 发生的条件下事件B 发生的概率是( ) A . B . C . D . 4751658514 2.一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球,若不放回地依次取两个球,设事件为“第一次取出A 白球”,事件为“第二次取出黑球”,则概率( ) B ()P B A =A . B . C . D . 56351225 3.从中不放回地依次取个数,事件“第一次取到的是奇数”,事件“第二次1,2,3,4,5,6,7,8,92A =B =取到的是奇数”,则( ) () P B A =A . B . C . D . 122531015 4.下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》,这首诗不仅意境极好,而且还准确地描述出了清明时节的天气状况,那就是“雨纷纷”,即天气多阴雨.某地区气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率是0.9,连续两天下雨的概率是0.63,若该地某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率是( )高三数学 正态分布和线性回归(知识点和例题)
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