高代课件52：关于跟不变子空间有关的若干问题总结2

12n 12n 1在课件51中我们说明了线性变换在的一组基，，，下的矩阵是1

此时-子空间有n+1个

那么如果线性变换在的一组基，，，下的矩阵是对角矩阵，且对角元素互不相同的

时候，-子空间共有多少个呢？

例1：若是实数域R 上的n 维线性空间的线性变换，已知它有n 个不同实特征值，试求其全部不变子空间，并指出其个数。

证明：设的n 个不同特V V λλ

σεεελ

λσσεεεσσσ??

? ? ? ? ? ??

()

{}1

12n 12n i 1

012n 0121

征值为，，，,且其对应的特征向量为，，，则可得的特征子空间()是一维不变子空间,1,2,

,的特征多项式为f ()设0，(，，，),显然和都是-子空间令W=(，，，),(11)，显然此时的W 也是-子空间

此时-子空间共有1+C C C 1i

i i

n n i i i n n n n

V L i n

W W L W W L s n λλλλααασασλλλααασααασσ=-===

-==≤≤-+++∑()()()n n 12k 12k k+1n k 12k k+1n 12k k+1n k

2个下面证明的不变子空间必在这2个里面

不失一般性不妨设的不变子空间是k 维不变子空间，1k n-1

设中的一组基为，，，,把它扩充为的一组基，，，，，，则，，，，，，=，，，，，，0则的特征多项式为f ()=

k k n

k i i k W W V A B C E A B E C

E σσββββββββσββββββββββλσλλλλλ==≤≤??

??-=--?∑()k

k 1

12k k 12k 12k 12k i 12k 12k 0有k 个不同的根

不失一般性，不妨令，，，为的特征值

在中不妨设，，，对应的特征向量为，，，显然，，，由于的特征子空间()是一维不变子空间

所以=k ,1,2,,,

所以，，，亦因为，，，线性无关，且dim()所以必在2i

i k i

k k

i i i k

k k A E A A W W V L i k W W k W λλλλλλλλλλγγγγγγσααγαααααα=--?-=∈==∈=∑n 个里面。

12n 00那么如果我们任给一个线性变换，并不知道在一组基的矩阵是什么样子的话，那么还会不会一定有不变子空间呢？如果有的话，会有几维的呢？

例2：证明：实数域R 上n 维线性空间V 的任何线性变换必有一维或二维不变子空间。证明：设在的基，，，下的矩阵是,且f ()是的特征多项式如果f ()有实根，则就有对应特征值的特征向量，于是()就是的一维不变子空间如果f (V A E A L σσσσεεελλσλλσλαασλ=-()()()()

()()

()()112212121212)没有实根，可设a+ib 和a-ib （b 0）是它的一对共轭虚根下面考虑复系数齐次线性方程组a+ib 0，它有非零解c +id ,c +id ,,c +id c ,c ,

,c i d ,d ,

,d 不妨令=c ,c ,

,c ，=d ,d ,

,d 则有()a+ib ()a a ,T

n n n n T

n n E A X A i i A A i b a b i A b A a b αβαβαβαβαββαααβββ≠??-=??=++=+?+=-++?=-=+()()()

()()()()

121212n 1212n 12若=0，与f ()没有实根矛盾若0a ，与f ()没有实根矛盾则和为非零向量，下面证明，线性无关若，线性相关，则不妨令=t a a t 与f ()没有实根矛盾故，线性无关由于=c ,c ,

,c ，=d ,d ,

,d 令=，，，c ,c ,,c ，=，，，d ,d ,,d T

n n T

n n A a A A b b a bt ααββλβααλαβαβαββα

ααβαααλαβαβηεεεγεεε?==?=?=-=-=-()()()()

()()()()()()()()

()()12n 1212n 1212n 12n 12n 12n 12n 1212n 1212n 12n 显然，线性无关

且=，，，c ,c ,,c =，，，c ,c ,

,c ，，，，，，a ，，，，，，=，，，d ,d ,,d ，，，d ,d ,

,d ，，，，，，T

n n T

n n A A b a b a b A A a b ηγσησεεεεεεεεεαεεεαβεεεαεεεβηγ

σγσεεεεεεεεεβεεεβ??==-??=-=-===+()()()12n 12n ，，，，，，即=，=故(,)是的一个二维不变子空

a b a b a b a b L αεεεβεεεαγη

σηηγσγγηηγσ=+=+-+