动量定理及其应用

动量定理及其应用

【学习目标】

1．理解动量的概念，知道动量的定义，知道动量是矢量； 2．理解冲量的概念，知道冲量的定义，知道冲量是矢量；

3．知道动量变化量也是矢量，理解动量定理的确切含义和表达式，知道动量定理适用于变力的计算；

4．会用动量定理解释现象和处理有关问题． 【要点梳理】

要点一、动量、动量定理 1．动量及动量变化

（1）动量的定义：物体的质量和运动速度的乘积叫做物体的动量，记作p mv =．动量是动力学中反映物体运动状态的物理量，是状态量．在谈及动量时，必须明确是物体在哪个时刻或哪个状态所具有的动量．在中学阶段，动量表达式中的速度一般是以地球为参照物的．

（2）动量的矢量性：动量是矢量，它的方向与物体的速度方向相同，服从矢量运算法则． （3）动量的单位：动量的单位由质量和速度的单位决定．在国际单位制中，动量的单位是千克·米/秒，符号为kg m/s ?．

（4）动量的变化p ?：

动量是矢量，它的大小p mv =，方向与速度的方向相同．因此，速度发生变化时，物体的动量也发生变化．

速度的大小或方向发生变化时，速度就发生变化，物体具有的动量的大小或方向也相应发生了变化，我们就说物体的动量发生了变化．

设物体的初动量11p mv =，末动量22p mv =，则物体动量的变化

由于动量是矢量，因此，上式一般意义上是矢量式． 2．冲量

（1）冲量的定义：力和力的作用时间的乘积叫做力的冲量，记作I F t =?．冲量是描述力对物体作用的时间累积效果的物理量．

（2）冲量的矢量性：因为力是矢量，所以冲量也是矢量，但冲量的方向不一定就是力的方向． （3）冲量的单位：由力的单位和时间的单位共同决定．在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号为N s ?．

（4）在理解力的冲量这一概念时，要注意以下几点：

①冲量是过程量，它反映的是力在一段时间内的积累效果，所以它取决于力和时间两个因素．较大的力在较短时间内的积累效果，可以和较小的力在较长时问内的积累效果相同．求冲量时一定要明确是哪一个力在哪一段时间内的冲量．

②根据冲量的定义式I Ft =，只能直接求恒力的冲量，无论是力的大小还是方向发生变化时，都不能直接用I Ft =求力的冲量．

③当力的方向不变时，冲量的方向跟力的方向相同，当力的方向变化时，冲量的方向一般根据动量定理来判断．（即冲量的方向是物体动量变化的方向）

3．动量变化与冲量的关系——动量定理 （1）动量定理的内容：

物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化．数学表达式为 式中0mv 是物体初始状态的动量，mv 是力的作用结束时的末态动量．

动量定理反映了物体在受到力的冲量作用时，其状态发生变化的规律，是力在时间上的累积效果． （2）动量定理的理解与应用要点：

①动量定理的表达式是一个矢量式，应用动量定理时需要规定正方向．

②动量定理公式中F 是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是变力．当合外力为变力时，F 应该是合外力在作用时间内的平均值． ③动量定理的研究对象是单个物体或系统．

④动量定理中的冲量是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量．在所研究的物理过程中，如果作用在物体上的各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间，也可以先求每个外力在作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和．如果作用在物体上各外力的作用时间不同，就只能先求每一个外力在其作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和．

⑤动量定理中，是合外力的冲量，是使研究对象的动量发生变化的原因，并非产生动量的原因，不能认为合外力的冲量就是动量的变化．合外力的冲量是引起研究对象状态变化的外在因素，而动量的变化是合外力冲量作用后导致的必然结果．

⑥动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，对微观物体和高速运动仍然适用． ⑦合外力的冲量是物体动量变化的量度． 要点二、有关计算

1．动量变化量的计算

动量是矢量，当动量发生变化时，动量的变化p p p ?=末初－，应运用平行四边形定则进行运算．如图所示，当初态动量和末态动量不在一条直线上时，动量变化由平行四边形定则进行运算．动量变化的方向一般与初态动量和末态动量的方向不相同．当初、末动量在同一直线上时可通过正方向的选定，动量变化可简化为带有正、负号的代数运算． 2．冲量的计算方法

（1）若物体受到恒力的作用，力的冲量的数值等于力与作用时间的乘积，冲量的方向与恒力方向一致；若力为同一方向均匀变化的力，该力的冲量可以用平均力计算；若力为一般变力则不能直接计算冲量．

（2）冲量的绝对性．由于力和时间均与参考系无关，所以力的冲量也与参考系的选择无关． （3）冲量的计算公式I Ft =既适用于计算某个恒力的冲量，又可以计算合力的冲量．根据I Ft =计算冲量时，只考虑该力和其作用时间这两个因素，与该冲量作用的效果无关．

（4）冲量的运算服从平行四边形定则．如果物体所受的每一个外力的冲量都在同一条直线上，那么选定正方向后，每个力冲量的方向可以用正负号表示，此时冲量的运算就可简化为代数运算． （5）冲量是一过程量，求冲量必须明确研究对象和作用过程，即必须明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体的冲量．

（6）计算冲量时，一定要明确是计算分力的冲量还是合力的冲量．如果是计算分力的冲量还必须明确是哪个分力的冲量．

（7）在F t -图象下的面积就是力的冲量．如图(a )所示，若求变力的冲量，仍可用“面积法”表示，如图(b )所示． 3．动量定理的应用

（1）一个物体的动量变化p ?与合外力的冲量具有等效代换关系，二者大小相等，方向相同，可以相互代换，据此有：

①应用I p ?=求变力的冲量：如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用Ft 求变力的冲量，这时可以求出该力作用下物体动量的变化p ?，等效代换变力的冲量I ．

②应用p F t ??=求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：曲线运动的物体速度方向时刻在

变化，求动量变化p p p ?=＇

-需要应用矢量运算方法，比较麻烦．如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化．

（2）用动量定理解释相关物理现象的要点．

由Ft p p p ?==＇-可以看出，当p ?为恒量时，作用力F 的大小与相互作用的时间t 成反比．例

如，玻璃杯自一定高度自由下落，掉在水泥地面上，玻璃杯可能破碎，而掉在垫子上就可能不破碎，

其原因就是玻璃杯的动量变化虽然相同，但作用时间不同：当F 为恒量时，物体动量的变化与作用时间成正比．

例如，叠放在水平桌面上的两物体，如图所示，若施力快速将A 水平抽出，物体B 几乎仍静止，当物体A 抽出后，物体B 竖直下落． （3）应用动量定理解题的步骤： ①选取研究对象；

②确定所研究的物理过程及其始、终状态；

③分析研究对象在所研究的物理过程中的受力情况； ④规定正方向，根据动量定理列式； ⑤解方程，统一单位，求得结果． 要点三、与其它相关知识的关联和区别 1．几个物理量的区别 （1）动量与速度的区别

动量和速度都是描述物体运动状态的物理量．它们都是矢量，动量的方向与速度的方向相同．速度是运动学中描述物体运动状态的物理量，在运动学中只需知道物体运动的快慢，而无需知道物体的质量．例如两个运动员跑百米，是比速度的大小，而无需考虑运动员的质量；动量是动力学中描述物体运动状态的物理量，可以直接反映物体受到外力的冲量后，其机械运动的变化情况，动量是与冲量及物体运动变化的原因相联系的．如以相同速度向你滚过来的铅球和足球，你敢用脚踢哪一个？当然是足球，因为足球的质量小，让它停下来所需的冲量小． （2）动量与动能的区别及其联系． ①动量是矢量，动能是标量．

②动量的改变由合外力的冲量决定，而动能的改变由合外力所做的功决定．

③动量和动能与速度一样，它们都是描述物体运动状态的物理量，只是动能是从能量的角度描述物体的状态．

物体具有一定的速度，就具有一定的动量，同时还具有一定的动能．

例如：质量 5 kg m =的小球，在水平地面上运动的速度是10 m/s ．则它具有的动量 它具有的动能 即

2

2k p E m

=或p =

又如：A B 、两物体的质量分别为A B m m 、，且A B m m ＞，当它们具有相同的动能时，由

p =A 物体的动量A p 大于B 物体的动量B p ；反之当它们具有相同的动量时，由2

2k p E m

=

可知，A 物体的动能kA E 小于B 物体的动能kB E ．

（3）冲量与功的区别． ①冲量是矢量，功是标量．

②由I F t =?可知，有力作用，这个力一定会有冲量，因为时间t 不可能为零．但是由功的定义式 cos W F s θ=?可知，有力作用，这个力却不一定做功．

例如：在斜面上下滑的物体，斜面对物体的支持力有冲量的作用，但支持力对物体不做功；做匀速圆周运动的物体，向心力对物体有冲量的作用，但向心力对物体不做功；处于水平面上静止的物体，重力不做功，但在一段时间内重力的冲量不为零．

③冲量是力在时间上的积累，而功是力在空间上的积累．这两种积累作用可以在“F t -”图象和“F s -”图象上用面积表示． 如图所示，（a ）图中的曲线是作用在某一物体上的力F 随时间t 变化的曲线，图中阴影部分的面积就表示力F 在时间21t t t ?=－内的冲量．（b ）图中阴影部分的面积表示力F 做的功． 2．用动量概念表示牛顿第二定律 （1）牛顿第二定律的动量表达式

此式说明作用力F 等于物体动量的变化率． 即p

F t

?=

?是牛顿第二定律的另一种表示形式． （2）动量定理与牛顿第二定律的区别与联系．

①从牛顿第二定律出发可以导出动量定理，因此牛顿第二定律和动量定理都反映了外力作用与物体运动状态变化的因果关系．

②牛顿第二定律反应力与加速度之间的瞬时对应关系；而动量定理则反应力作用一段时间的过程中，合外力的冲量与物体初、末状态的动量变化间的关系．

动量定理与牛顿第二定律相比较，有其独特的优点．因在公式0Ft mv mv =－中，只涉及两个状态量mv 和0mv 及一个过程量Ft ．至于这两个状态中间是怎样的过程，轨迹是怎样的，加速度怎样，位移怎样全不考虑．在力F 作用的过程中不管物体是做直线运动还是做曲线运动，动量定理总是适用的．

动量定理除用来解决在恒力持续作用下的问题外，尤其适合用来解决作用时间短，而力的变化又十分复杂的问题，如冲击、碰撞、反冲运动等．应用时只需知道运动物体的始末状态，无需深究其中间过程的细节．只要动量的变化具有确定的值，就可以用动量定理求冲力或平均冲力，而这是用牛顿第二定律很难解决的．因此，从某种意义上说，应用动量定理解题比牛顿第二定律更为直接，更加简单．

③牛顿第二定律只适用于宏观物体的低速运动情况，对高速运动的物体及微观粒子不再适用，而动量定理却是普遍适用的．

④牛顿第二定律和动量定理都必须在惯性系中使用．

要点四、应用动量定理解题的步骤 1、选取研究对象；

2、确定所研究的物理过程及其始末状态；

3、分析研究对象在所研究的物理过程中的受力情况；

4、规定正方向，根据动量定理列式；

5、解方程，统一单位，求得结果。 【典型例题】

类型一、对基本概念的理解

例1．羽毛球是速度最快的球类运动之一，扣杀羽毛球的速度达到了342 km/h ，假设球飞来的速度为90 km/h ．设羽毛球质量为5 g ，试求击球过程中羽毛球的动量变化．

【思路点拨】动量的变化量p ?也是矢量，其方向与速度的改变量v ?的方向相同． 【答案】见解析

【解析】以球飞来的方向为正方向，则 所以动量的变化量

所以球的动量变化大小为0.600 kg m/s ?，方向与球飞来的方向相反．

【总结升华】（1）因为p mv =是矢量，只要m 的大小、v 的大小和v 的方向三者中任何一个或几个发生了变化，动量p 就发生了变化．

（2）动量的变化量p ?也是矢量，其方向与速度的改变量v ?的方向相同．

（3）动量变化量p ?的大小，一般都是用末动量减初动量，也称为动量的增量0t p p p ?=－，此式是矢量式，若0t p p 、不在一条直线上时，要用平行四边形定则（或矢量三角形法则）求矢量差．若在一条直线上，先规定正方向，再用正、负表示0t p p 、，则可用100t p p p mv mv ?==－－进行代数运算求解． 举一反三：

【变式1】如图所示在倾角0

37θ=的斜面上，有一质量10kg m =的物体沿斜面以5m/s v =匀速下滑，求物体下滑2s 的时间内：（1）斜面对物体的支持力的冲量和功；（2）斜面对物体的冲量和功；

【答案】

（1）0

cos37160N s N I mg t =?=?，垂直斜面向上；

（2）斜面对物体的冲量：

200N s I mgt ==?，竖直向上

斜面对物体的功：

【解析】(1)“斜面对物体的冲量和功”指的是斜面对物体的支持力和摩擦力对物体的冲量的和、功的和！——也可以理解为：支持力和摩擦力的合力对物体的冲量的和、功的和！

(2)因为物体匀速下滑，所以弹力和摩擦力的合力与重力等大反向。合冲量：合外力的冲量。 【变式2】质量为m 的钢球自高处落下，以速率1v 碰地，竖直向上弹回，碰撞时间为t ?，离地的速率为2v ．在碰撞过程中，地面对钢球的冲量方向和大小为（ ）． A ．向下，12()m v v mg t ?－－ B ．向下，()12m v v mg t ?+－ C ．向上，12()m v v mg t ?－－ D ．向上，()12m v v mg t ?++

【答案】D

【解析】取竖直向上为正方向，如图所示， 由动量定理是，I p ?=合，知

即 则

方向向上．

【总结升华】物体动量变化与物体所受合外力冲量有关，因此解决这一类问题要注意研究对象和研究过程中物体的受力分析．

例2.一质量为100g 的小球从0.80m 高处自由下落到一厚软垫上。若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.20s ，则这段时间内软垫对小球的平均冲击力为多少(取2

10m/s g =，不计空气阻力)？

【答案】 3.0N F =

【解析】

解法一：自由下落，接触软垫前的速度为v ： 在0.20s 内，以上为正，由动量定理有： 得：

解法二：自由下落时间为1t ；全程由动量定理，取向上为正： 得：

【总结升华】

(1)本题解法2再次表明动量定理适用于变力作用过程．

(2)合外力在一段时间t 内的冲量等于这段时间t 内各分段时间 12()i t t t t =+++L L 内冲量的矢量和，又等于这段时间t 内各外力对物体冲量的矢量和．

(3)此题求解时，显然对整个过程应用动量定理来处理，解起来更为简捷． 类型二、用动量定理解释两类现象

例3.如图，把重物压在纸带上，用一水平力缓缓拉动纸带，重物跟着一起运动，若迅速拉动纸带，纸带将会从重物下面抽出，解释这些现象的正确说法是（ ）．

A ．在缓慢拉动纸带时，重物和纸带间的摩擦力大

B ．在迅速拉动时，纸带给重物的摩擦力小

C ．在缓慢拉动时，纸带给重物的冲量大

D ．在迅速拉动时，纸带给重物的冲量小

【思路点拨】分析问题时，要搞清楚哪个量一定，哪个量变化。 【答案】CD

【解析】在缓慢拉动时，两物体之间的作用力是静摩擦力，在迅速拉动时，它们之间的作用力是滑动摩擦力。由于通常认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力。所以一般情况是：缓拉摩擦力小；快拉摩擦力大，故AB 都错；缓拉纸带时，摩擦力虽小些，但作用时间很长，故重物获得的冲量可以很大，所以能把重物带动。快拉时摩擦力虽大些，但作用时间很短，故冲量小，所以动量改变也小，因此，CD 正确。

【总结升华】用动量定理解释现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。另一类是作用力一定，力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要搞清楚哪个量一定，哪个量变化。 举一反三：

【变式】机动车在高速公路上行驶，车速越大时，与同车道前车保持的距离也越大。请用动量定理解释这样做的理由。

【答案】由动量定理可知，作用力相同的情况下，动量变化越大，需要的时间越长。因此，车速越大时，与同车道前车保持的距离也要越大。 类型三、动量定理的基本应用

例4．质量为M 的汽车带着质量为m 的拖车在平直公路上以加速度a 匀加速前进，当速度为0v 时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？

【答案】'

0()()

M m a g v v Mg

μμ++=

【解析】以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为()M m a +，该过程经历时间为0/v g μ，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：

这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，

因此合外力大小不再是()M m a +。 举一反三：

【变式1】在水平力30 N F =的作用力下，质量 5 kg m =的物体由静止开始沿水平面运动．已知物体与水平面间的动摩擦因数0.2μ=，若F 作用6 s 后撤去，撤去F 后物体还能向前运动多长时间才停止？（g 取2

10m/s ）

【解析】解法一：用牛顿定律解．

在有水平力F 作用时，物体做初速度为零的匀加速运动；撤去F 后，物体做匀减速运动．由于撤去F 前后物体运动的加速度不同，所以用牛顿定律解答时必须分段研究．在受F 作用时，物体受到重力、地面支持力N F 、水平力F 和摩擦力f F 作用如图甲，

设物体的加速度为1a ，选F 的方向为正方向，根据牛顿第二定律有： 根据滑动摩擦力公式有：

以上三式联立解得物体做匀加速运动的加速度为 在撤去F 时物体的即时速度为：

在撤去F 后，物体受重力、支持力N F 和摩擦力f F 作用（如图乙所示），设物体运动的加速度为2a ，根据牛顿第二定律有

解得物体做匀减速运动的加速度为

设撤去F 后物体运动的时间为2t ，根据运动学公式有

解法二：用动量定理解，分段处理．

选物体为研究对象，对于撤去F 前物体做匀加速运动的过程，受力情况如图甲所示，始态速度为零，终态速度为v ．取水平力F 的方向为正方向，根据动量定理有 对于撤去F 后，物体做匀减速运动的过程，受力情况如图乙所示，始态速度为v ，终态速度为零．根据动量定理有

以上两式联立解得

解法三：用动量定理解，研究全过程．

选物体作为研究对象，研究整个运动过程，这个过程的始、终状态的物体速度都等于零． 取水平力F 的方向为正方向，根据动量定理得

解得

【总结升华】比较上述三种解法可以看出：

（1）既能用牛顿第二定律（结合运动学公式）解答，也能用动量定理解答的问题，一般来说用动量定理解比较简便． （2）当物体的运动由两个以上的物理过程组成时，灵活选取所研究的物理过程，能提高解题效率，该题解法三的整体法（全过程法）比解法二的隔离法（分段法）要简便一些．

【变式2】如图，A B 、两小物块被平行于斜面的轻细线相连，均静止于斜面上．以平行于斜面向上的恒力拉A ，使A B 、同时由静止起以加速度a 沿斜面向上运动．经时间1t ，细线突然被拉断．再经时间2t ，B 上滑到最高点．已知A B 、的质量分别为12m m 、，细线断后拉A 的恒力不变，求B 到

达最高点时A 的速度．

【解析】本题中，由于恒力大小、斜面的倾角及A B 、与斜面间的动摩擦因数均未知，故分别对A B 、运动的每一个过程应用动量定理建立方程时有一定的困难．但若以系统为研究对象，系统合外力为

且注意到，细绳拉断前后，系统所受各个外力均未变化，全过程中，B 的动量增量为零，对系统动量的全过程，有

解出 故B 到达最高点时A 的速度为 【总结升华】（1）动量定理的研究对象可以是一个物体，也可以是一个系统．系统所受合外力的冲量等于系统内各物体的动量增量之和．（2）在系统所受外力中有较多未知因数时，应用牛顿第二定律，系统的合外力应等于系统内各物体的质量与加速度的乘积之和．本题中，因A B 、加速度相同，故有()12F m m a ∑=+． 类型四、求平均作用力

例5.质量为60kg 的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保障，使他悬挂起来，已知弹性安全带缓冲时间为1.2s ，安全带长为5m ，则安全带所受的平均作用力。（g 取2

10m/s ）

【答案】1100N 。

【解析】对人在全过程中（从开始跌下到安全停止），由动量定理得： ()1220mg t t Ft +=－ 1225

1s 10

L t g ?=

== 根据牛顿第三定律可知，安全带所受的平均作用力为1100N 。

【总结升华】此题也可用上面的方法分两个阶段分别研究，无论是分过程的解法还是全过程的解法，一定要注意力与时间的对应以及始末状态的确定。

类型五、用动量定理求变力的冲量

例6.如图所示，将一轻弹簧悬于O 点，下端和物体A 相连，物体A 下面用细线连接物体B ，A 、B 质量分别为M 、m ，若将细线剪断，待B 的速度为v 时，A 的速度为V ，方向向下，求该过程中弹簧弹力的冲量。

【思路点拨】求变力的冲量，可借助动量定理F t P ?=?，由动量的变化量间接求出。 【答案】()M v V -

【解析】剪断细线后，B 向下做自由落体运动，A 向上运动。 对A ：取向上方向为正，由动量定理得 0I Mgt MV -=--弹

对B ：由自由落体运动知识 v

t g

=

………………………② 由①、②解得：

v

I Mg

MV g

=-弹 =()M v V -．

【总结升华】求变力的冲量，不能用Ft 直接求解，可借助动量定理F t P ?=?，由动量的变化量间接求出。

类型六、用动量定理解决变质量问题

例7.如图所示，水力采煤时，用水枪在高压下喷出强力水柱冲击煤层。设水柱直径为30=d cm ，水速为50/=v m s 。假设水柱射在煤层的表面上，冲击煤层后水的速度变为零，求水柱对煤层的平均冲击力。（水的密度3

3

1.010/ρ=?kg m ）

【思路点拨】应用动量定理分析连续体相互作用问题的方法：○1确定一小段时间?t 内的连续体为研究对象；○2写出?t 内的连续体的质量?m 与?t 的关系式；○3分析连续体?m 的受力情况和动量变化；○4应用动量定理列式；○5求解。

【答案】5

1.7710N F ≈?

【解析】设在一小段时间?t 内，从水枪射出的时的质量为?m ，则

以?m 为研究对象，如图所示，它在?t 时间内的动量变化

设F 为水对煤层的平均作用力，即冲力；'

F 为煤层对水的反冲力，以v 的方向为正方向，根据动量定理（忽略水的重力），有

2F t p Sv t ??ρ?'?==-

即

根据牛顿第三定律知 式中24

π=

S d ，代入数值得

【总结升华】应用动量定理分析连续体相互作用问题的方法： （1） 确定一小段时间?t 内的连续体为研究对象。 （2） 写出?t 内的连续体的质量?m 与?t 的关系式。 （3） 分析连续体?m 的受力情况和动量变化。

（4） 应用动量定理列式。 （5） 求解。

类型七、动量定理与动量、能量的综合应用

例8.一倾角为0

45θ=°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度01m h =，斜面底端有一垂直

于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量0.09kg m =的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数0.2μ=。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度2

10m/s g =。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

【答案】0.43(36)=?I N s

【解析】设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v 。 由功能关系得

21cos 2sin μθ

θ

=+h

mgh mv mg ① 以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量 ()=--I mv m v ② 设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h ˊ，则

'2'

1cos 2sin μθθ=+h mv mgh mg ③ 同理，有 '

'

'21cos 2sin μθθ

=+h mgh mv mg ④

'''

()=--I mv m v ⑤

式中，'

v 为小物块再次到达斜面底端时的速度，'

I 为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。 由①②③④⑤式得

'=I kI ⑥

其中

tan tan θμ

θμ

-+k ⑦

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为 1022(1cot )μθ=-I m gh ⑧ 总冲量为

2312341(1)=+++=+++I I I I I I k k k ⑨

由

231

11...1--++++=-n n k k k k k

k

⑩ 得

0122(1cot )1μθ-=--n k I m gh k

⑾

代入数据得

【总结升华】此题重难点在数学运算。核心思路是按等比数列进行运算。属要求较高题目。

例9.如图所示，在同一水平面内有相互平行且足够长的两条滑轨M N 、和P Q 、相距0.5m l =，垂直于滑轨平面竖直向上的匀强磁场的磁感应强度1T B =，垂直于滑轨放置的金属棒ab 和cd 质量为

110kg m =和22kg m =，每根金属棒的电阻均为1R =Ω，其它电阻不计，开始时两棒都静止，且ab 和

cd 与滑轨间的动摩擦因数分别10.01μ=和20.05μ=，求：

(1)当一外力作用cd 棒5s t =的时间,恰好使ab 棒以110m/s v =的速度做匀速运动，那么外力的冲量多大？

(2)若在5s 末令cd 棒突然停止运动，ab 继续运动直到停止的过程中，通过其横截面的电量为

10C ，则在此过程中两根金属棒消耗的电能是多少？（设两棒不相碰，210m/s g =）

【思路点拨】此题以双杆为载体将受力分析、动量、能量、电磁感应等相结合的综合题目，注意隐含条件。

【答案】(1)0146N s I =?； (2) 460J W =．

【解析】

(1)ab 棒是由于cd 棒切割磁感线运动产生感应电动势并在闭合电路产生感受应电流后，使其受到安培力作用而做加速运动。由分析知当它匀速时受安培力和摩擦力平衡： 11BIl m g μ= ┅①

此时隐含cd 也要匀速运动（设其速度为2v ，外力的冲量为0I ）， 对两棒组成的系统，由动理定理得：

011221122()I m g m g t m v m v μμ-+=+ ┅② 但

21()

2Bl v v I R

-=

┅③

解①–③得

0146N s I =?

(2)当cd 突然停止，ab 中流过的感应电流方向立即反向，因而受安培力反向使ab 做变减速运动直到停止，设滑动的距离为x ，由法拉第电磁感应定律得：

Blx

E t t

Ф?=

=

?? ┅④ 因流过的电量为

2E

Q l t t R

=?=

? ┅⑤ 设两棒在该过程消耗的电能为W ，由能量守恒得：

211111

2

W m v m gx μ=- ┅⑥

解④–⑤得

460J W =

【总结升华】此题以双杆为载体将受力分析、动量、能量、电磁感应等综合起来，其中ab 棒匀速隐含cd 棒也匀速是关键，也是易错点，此类题为高考的一大趋势。 举一反三：

【变式】如图，在离水平地面h 高的地方上有一相距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ，充电后两端电压为1U 。轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中。在轨道右端放一质量为m 的金属棒，当闭合K ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为2U ，求棒落在地面离平台多远的位置。

【答案】S =【解析】当L 闭合时，电容器由于放电，形成放电电流，因而金属棒受磁场力作用做变加速运动，

并以一定速度离开导轨做平抛运动，所以棒在导轨上运动时有 ，

F t P ?=?合

即

1212()()BIL t BL CU CU BLC U U mv ?=-=-=

棒做平抛运动时有：

21

2

h gt =

所以