复变函数试题库47817

复变函数

一、选择题

1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y 且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当

),(y x v 在D 内是（ C ）时, )(z f 在D 内解析.

A. 可导函数

B.调和函数

C.共轭调和函数

2、复积分()n

C

dz

z a -?

的值为（ B ） (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在

3、0z =是sin ()z

f z z

=

的奇点类型是（ D ） (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点

4、计算12

()i e π-的结果是（ B ）

(A) (B) (C)(D)i i i ±-0

5、下列函数在z S 处处解析的是（ C ）

(A) (B) (C)(D)z z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()=

6．当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ). A. π-x

y arctan ; B. x

y arctan ;

C π+x y arctan ; D. π2arctan +x

y . 7．argz 1z 2=( A )..

A ．argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); +argz 2+2k 1π（k 1是某个整数）; +argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是（ C ） A 0

B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 . 9.方程z=t+)(R t t

i ∈在平面上表示的是（ B ）. A ．直线y=x; B. 双曲线 y=x

1; C 椭圆周； D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z

处（ A ）.

A. 连续

B. 可导

C. 解析 11.

i

i

-+23=( A ). A ．i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.

12.函数w=f(z)仅在点z 0可微，则w=f(z)在点z 0（ D ）

A 解析；

B 某邻域内处处解析； C.不解析。 是 ( D )函数

A 以π2.为周期的；

B 以i π2为周期的；

C 以i π为周期的；

D 非周期。 14.设1z i ,则Im(sin )z （ B ）.

A. sin1ch1

B. cos1sh1

C. cos1ch1 15.若f(z)在D 内解析，且

)(______

z f 在D 内解析，则（ A ）

。 (z)在D 内为一常数； B.D z z f ∈?≡,0)(； (z)在D 内不是一个常量函数。 D.以上都不对. 16.积分

2

2

sin (1)z

z

dz z =（ B ）. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin1

17．若v 是u 的共轭调和函数，则( D )的共轭调和函数。 A ．u 是v ； 是v ； 是-v ; 是u. 18.

?=1

cos z z dz

( B ). A ．–1; B. 0; C. 1; D .i .

19. 设u n =a n ++b n i, 若n u n lim ∞

→=0，由此（ C ）

A.得出∑n u 收敛；

B. 得出∑n u 发散；

C. 不能判断∑n u 的敛散性。

20. ∑∞

=1!n n

n

z n 的收敛半径为（ A ）

A 0；

B ∞+.;.;1D e

C e

21.设复数3(2

2)z

i ,则z 的模和幅角的主值分别为

（ A ）. A.

4

5,8π B. 4

,24π

C. 4

7,

22π

22. sin 2z+cos 2z=1 ( D ).

A.仅在实轴上成立；

B. 在第一象限成立；

C. 在上半复平面成立； D 在复平面上成立。 23．Cotz 的零点和级（ C ）

A ,,Z k k z ∈=π一级；

B ,,Z k k z ∈=π二级；

C ,21π??

? ?

?+=k z 一级； D ,,2Z k k z ∈=π一级。

24.下列命题中, 正确的是（ C ）.

A.零的幅角为零

B.仅存在一个z 使1z z

C. 1z

iz i

25、1Re()z

z 是（ B ）区域.

A. 有界区域

B. 单连通区域

C. 多连通区域 26、在复数域内,下列数中为实数的是（ A ）. A.i cos B.2(1)i 38 27、函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成（ A ）.

A.214

v u B.214

v u C.241u v

28、下列函数中为解析函数的是（ B ）. A.)(z f =2x iy B.)(z f =sin cos xchy i xshy C.)(z f = 3323x i y

29、设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则

0()

n

c

dz

z z =（ C ）. A. 0 B. i π2 C. 0或i π2 30、下列积分中,其积分值不为零的是（ C ）. A.

2

3z

z dz z B.

1

sin z

z

dz z C.

51

z

z

e dz z

二、填空题 31、复数方程13z

e i 的解为5ln 2

(

2)(012,

3

i k k ，， .

32、5cos 3sin (0t 2)z t i t π=+≤≤表示的曲线是22

22153

x y +=。

33、21(

)1n

i i

-=+11-或。 34、将函数1

w z

=

由z S 中的1x =映射w S 中的图形方程表示为211-24

u v +=2（） 。

35、sin 2Arc =

2ln(22

k i π

π+-+ 。

36、函数()ln(1)f z z =+的支点是1,-∞ 。

37、1

14z z 表示的区域是

2

214

3

x y

38、复数4+3i 的实部是 4 ，虚部是 3 。

39、由棣莫弗公式，(cos θ+isin θ)n = cosn θ+isinn θ .

40、设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则在直角坐标系中，函数的

C-R 条件可表示为: ,y u x u ??=?? x v

y u ??-

=??。

41、函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),在区域D 内解析的充分必要条件

为:,y u x u ????、 x v y u ????、

在D 内连续。

42、若函数f(z)在S z 平面上解析且有界，则f(z)必为常数。 43、函数z e 的周期为2i π.

44、幂级数0

n n nz +∞

=∑的和函数为

2

(1)

z

z -. 45、设2

1

()1

f z z =

+，则()f z 的定义域为z i ≠± . 46、设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且

D z z ∈10,,则

1

()z z f z dz =10()()G z G z .

47、0

n n nz +∞

=∑的收敛半径为 1 .

48、Re (,0)z

n e s z =1(1)!

n - .

49. 设i z -=，则i z z z ===,2

arg ,1||π，

50.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i

z 3(1sin 2)i +-.

51. =-?=-1||00)(z z n z z dz 21

01i n n π=??≠?

.（n 为自然数）

52. 幂级数0

n n nz ∞

=∑的收敛半径为 1 .

53. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的 1m -. 零点. 54. 函数e z 的周期为2k i π，()k z ∈ .

55. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为 0 . 56. 设2

11

)(z

z f +=

，则)(z f 的孤立奇点有 i ± . 57. 函数||)(z z f =的不解析点之集为 R . 58. 0)1,1(Res 4

=-z z

59、设函数)(z f =

sin ,0

0,0

z

z e A z z 在0z 处连续,则常数

A=____________.

答案：1

60、若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为

f(z)g(z)的m n 阶极点,为

)

()

(z g z f 的m n 阶极点.

61、设22z i ,则z arg =

47π,z ln =37

ln 224

i . 62、设()sin ,f z z z 则由)(z f 所确定的 ),(y x u =sin cos x xchy

y xshy ,

),(y x v =cos sin x xchy y xchy .

63、函数)(z f =

z

z

sin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为

z

.

64、设函数)(z f =

2

2

3

71z d

z

,则(1)f i =

12

26i .若

)(z f =

3

2

3

5

z d z

,则()f i =36 65、当a = 2

1 时, 2

2()ln()

y

f z a x y iarctg

x

在区域x>0内解析 66、函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为 2

π

67、设

3

sin n n n

z c z z ,则2

________,______________c

c

答案：1 ，-6

1

三、解答题

68、计算积分,)2(?+-c

dz ix y x 其中C 原点到点1＋i 的直线段。

解：1+i 的参数方程为x=t,y=t,0

dz ix y x )(2

=i

?+1

2

)1(dt i t

=1/3(-1+i)

69、利用泰勒定理,将函数f(z)=e z 在点z=0展开成幂级数。

解：因为：f )(n =e z ,所以

f '（0）=1，f )0(''=1，………f )(n （0）=1 且f （0）=1，于是

e z

=∑∞

=0!

n n

n z

70、将函数f(z)=

z

z sin 在0

解：f(z)=(1/z)sinz

=1/z n

n n n z )1()!12(012-+∑

∞

=+=n n n n z )1()!

12(02-+∑∞

=(0<|z|<∞+) 易证：上级数收敛。

71、求函数f(z)=6

21z z e -在指定点z=0的留数。

设f(z)=6

21z e z

-，z=0是f(z)的孤立奇点。

f(z)= 61z (-2z-22!22z - ........!

323

3z ), (0<|z|<∞+)

所以，a 1 =-4/15

即：f(z)在指定点的留数为—4/15

72、设函数)(z f =3232()my nx y i x lxy 在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求()f z .

答案：由题意得

323

2

(,)(,)

u x y my nx y v x y x

lxy

利用

2u

v

nxy

x

y

，得n l

22

2233u

v my nx x ly y

x

，得3n ，3l ，1m

则 22()

6(33)u

v f z i

xy

i x y x x

23iz

73、试讨论定义于复平面内的函数2

()

f z z 的可导性.

答案：由题意知

22

(,)

(,)

u x y x y v x y ，由于

20u v x

x

y ，

20u v y

y

x

可得

00

x y

由函数可导条件知，2

()

f z z 仅在0z

处可导。

74、计算sin c

zdz ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线

x=1至

)1,1(1z 的折线段.

答案：1

01

sin sin sin OZ OZ Z Z I

zdz

zdz

zdz

1

2I I

其中

0OZ ：z t

(01)t

111

sin cos |1cos1I tdt

t 10Z Z ：1z it

(01)t

1112

sin(1)(1)sin(1)(1)

cos(1)|cos(1)cos1

I it d it it d it it i cos11cos1sin11ch i sh

所以 1cos1(12)sin11I ch i sh

75.求下列函数在奇点处的留数

24

1()

z

e f z z . 答案：24

1()

z

e f z z 的奇点为0,且0z 为其三阶极点.

22401114

Re (,0)

lim()2!3

z

z z e e s z z

或 234

1

(2)(2)()

[1(12]2!3!

z z f z z

z

=

322243z z z

有 21

414Re (,0)

3

z

e s c

z

76.将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数

22

1

()

(1)(2)

f z z z

z 011z

答案：22

1

1

()

(1)1(1)

f z z

z =

220

1(1)(1)

n n z z

011z

=

22

(1)n

n z

011z

77、已知22(,)33,u x y x y 试求),(y x v 使()(,)(,)f z u x y iv x y 为解析函数且满足(0)f i

答案：由于 6v

u x y

x

所以

(,)66()v x y xdy xy

x ，

6()v y

x x

又由

v u

x y

，即6()6y x y

所以()0x ，()x C （C 为常数）

故(,)6v x y xy c ，222()33(6)3f z x y xy c i z ci

将条件(0)f i 代入可得1C ，因此，满足条件(0)f i 的函数

2

()

3f z z i

78、试证2

2

(,)y u x y x y 是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并

求),(y x v 使()(,)(,)f z u x y iv x y 为解析函数且满足()1f i .

答案：由于

222

2()u

xy

x

x y ，

223

222362()

u x y y x x y 2

2

(0)x y

22222()v

x y y x y ，2

23

2223

62()

v

x y y y x y

即2

2

2

20u v x y 所以2

2

(,)

y u x y x y 是调和函数

2

2

(0)x y

222

2

22(,)

()()()

v xy

x v x y dy dy

g x y x y x y ，

2222

222

222

()

()()v y x u y x g x x x y y x y

故有

()

0g x ，()g x C （C 为常数）

所以 2

2

(,)

()

x v x y C x

y

2

2

2

2

()

(

)

()

()

y x i f z i c ci x

y x

y z

由于 ()

1f i 代入上式可求得0C ，故满足条件()1f i 的函

数()

i f z z

79．求积分

[2Re()]c

z

z dz ,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.

答案：

[2Re()]C

z

z dz (令cos sin 0)z

t i t t ，

(3cos 2sin )(sin cos )t ti t

ti dt

220

(5sin cos )(3cos 2sin )t t dt

i

t

t dt

005

5

cos 2|[

sin 2]4

24

2

t t i t i

80．求下列函数在奇点处的留数(10’)

()

sin

1

z f z z

答案：()sin

1

z f z z 的奇点为1z ,且

1

11sin

sin(1)sin1cos

cos1sin

1

11

1

z z z z z

=2

4

3

1111sin1[1

]cos1[

]2!(1)4!(1)1

3!(1)z z z z

=2

cos1sin1sin1

12!(1)z z

所以

Re (sin ,1)cos11

z s z

81．将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数(10’)

223()231

z

f z z z

31

2

z 答案：11

()

112f z z z

=

1111

1

22311(1)

2

3

z z

=0

1112(1)()2

23

3

n n

n n

n

z z

31

2

z =

1112(

)(1)23

n n

n

n z

31

2

z

83. 求函数

)2sin(3

z 的幂级数展开式. 解 3212163

3

00

(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞

∞==--==++∑∑.

84. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z

=处的值. 解 令i z re θ=. 则22

(),

(0,1)k i

f z k θπ+===.

又因为在正实轴去正实值，所以0k =. 所以4()i

f i e π

=. 85．计算积分：?

-=i

i

z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的

右半圆.

单位圆的右半圆周为i z e θ=, 2

2

ππ

θ-≤≤.

所以222

2

2i

i i i z dz de e

i ππ

θ

θππ

---

===??.

86. 求2

2

sin z ()

2

z dz z π

=-?.

解

dz z z

z ?

=-2

2

)

2

(sin π

2

)(sin 2ππ=

'

=z z i 2cos 2π

π=

=z z

i =0.

87. 证明设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.

证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数).

令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====.

即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以

,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.

比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.

88. 证明试用儒歇定理证明代数基本定理.

即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++???++=≠ 有

且只有 n 个根”. 证

明

：

令

1011()0

n n n n f z a z a z a z a --=++???++=, 取

10max ,1n a a R a ??+???+?

?>??????

, 当z 在:C z R =上时, 有

111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ?---≤+???++<+???+<. ()f z =.

由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++???++= 与

00n a z = 有相

同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.

89、2.(9)()

z

z

dz z z i -+?

解：2

()9z

f z z

=

-在2z ≤上解析，由cauchy 积分公式，有 222229(9)()z z z z dz dz z z i z i ==-==-++??2295

z i

z i z π

π=-?=

-

90、求2

Re (,).1iz

e s i z

-+ 解：设2

()1iz

e f z z

=+，有2

Re (,)22i e i s f i e i --==-

91

、.n n

+