经典高考概率分布类型习题归纳

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经典高考概率分布类型题归纳高考真题

一、超几何分布类型 二、二项分布类型

三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法

五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年

22、（本小题满分10分）（相互独立事件）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72，P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08，P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为：

X 10 5 2 -3 P

0.72

0.18

0.08

0.02

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14

5

n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。

所求概率为3

344

0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

（2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型）

设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．

（1）求概率(0)P ξ=；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．

【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力.

【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，

∴共有23

8C 对相交棱，∴(0)P ξ==232128C C =4

11

.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故

(2)P ξ==

2126C =111

, (1)1(0)(2)P P P ξξξ==-=-==4111111-

-=6

11

. ∴随机变量ξ的分布列是

1

P

∴616212111111

E ξ+=?

+?=. （2014?江苏）（古典概型）

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；

（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）． （2017年）23．（本小题满分10分）

已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相

同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为

1,2,3,

,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉

(1,2,3,

,)k m n =+．

1 2 3

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；

（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数

学期望，证明：()()(1)

n

E X m n n <

+-．

试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：1

1C C n m n n m n

n p m n -+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为 X … … P

…

…

随机变量X 的期望为1

1

C 111(1)!

()C C (1)!()!n m n

m n

k n n

k n k n

m n

m n k E X k k n k n -++-==++-=?=?--∑∑． 所以1(2)!1

(2)!

()C (1)!()!(1)C (2)!()!

m n

m n

n n k n k n m n

m n

k k E X n k n n n k n ++==++--<

=-----∑∑ 1

1

C (1)C ()(1)n m n n m n

n n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)

n

E X m n n <

+-．

【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望

【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率； （3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X

B n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布

的期望公式(()E X np )求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．

一、超几何分布

1.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 的分布列．

【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.

P(X ＝5)＝＝，P(X ＝6)＝＝， P(X ＝7)＝＝，P(X ＝8)＝＝. 故所求的分布列为

X 5

6

7

8

P

2.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5日均值(微克/立方米) [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] 频数

3

1

1

1

1

3

（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

（2）从这10天的数据中任取3天数据．记X 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X

【解析】（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝＝.

（2）依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.

P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，

所以P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

因此X的分布列为

X 012 3

P

点评：超几何分布的上述模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.如果是有放回地抽取，就变成了n重伯努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.若产品总数N很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.

3.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．

(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；

(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．

【解】(1)P＝1－＝.

(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.

(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，

且P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3.

故P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝，

ξ的分布列为

ξ0 1 2 3

P

1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的.

（1）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；

（3）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的数学期望．

解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是， 故X ＝2时的概率P ＝C 22

＝.

(2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知 P(X ＝k)＝C

k4－k

(k ＝0,1,2,3,4)．

∴X 的概率分布列为

X 0

1

2

3

4

P

∴数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.

3.羽毛球A 队与B 队进行对抗比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是P (01)P ≤≤. （1）若比赛6局，且P =

2

3

, 求A 队至多获胜4局的概率是多少？

（2）若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？

(3)若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望. 解析：（1）设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A 则[]66()1(5)(6)P A P P =-+=5

5

6

6

662

221()(1)()333C C ---=256473

1729729

-

=

[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]

∴A 队至多获胜4局的概率是

473

729

(2)设“若比赛6局，A 队恰好获胜3局”为事件B,则333

6()(1)P B C p p =-

当P=0或P=1时，显然有P(B)=0

当0

6()(1)P B C p p =-=()3201p p -????≤203

2

12p p ??+-???? ??????

?=20615216??= ??? 当且仅当11,2p p p =-=即时取等号.故A 队恰好获胜3局的概率的最大值是5

16

（3）若采用“五局三胜”制，A 队获胜时的比赛局数ξ=3，4，5

3(3)P p ξ==；)1(3)1()4(3323p p p p C P -=-==ξ；232324(5)(1)6(1)P C p p p p ξ==-=-

所以ξ的分布列为：

3 4 5

三、超几何分布与二项分布的对比

（二项分布）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X=2）＝ 变式辨析：

1. （超几何分布）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝

2.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝

3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝

4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次取k （6,5,4=k ）件，恰好取到3件次品时停止，概率P （X ）＝ 三、古典概型算法

1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个. （1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算：

①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？

②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

（2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X ，求X 的概率分布和数学期望. 2.某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去,,A B C 三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员． （1）求甲、乙同时去A 班听课的概率；

（2）设随机变量ξ为这五名评估员去C 班听课的人数，求ξ的分布列和数学期望． （分配问题，典型例题，选与排）

解：（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；

要么两个班级各两个、另一个班级一个．故总共的听课可能性有332253533150C A C C +=种，

其中甲乙同时去A 班听课的可能性有121

2132223=+C C A C 种……………………2分

所以所求概率为122

15025

p =

=

……………………4分 （2）ξ可取值为1，2，3，

()15

6

150221

325=??==C C P ξ，

()15

2

15031235===C C P ξ……………………8分

从而ξ分布列为： ∴

7625

1231515153

E ξ=?

+?+?= ……………………10分 3.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为21,x x ，记2

22

1)2()2(-+-=x x X . （1）分别求出X 取得最大值和最小值的概率；

（2）求X 的概率分布及方差.

解：ξ的取值为0，1，2，4，5，8，

P （ξ=0）=，

P （ξ=1）=4××=，

P （ξ=2）=4××=，

P （ξ=4）=2××=，

P （ξ=5）=4××=，

P （ξ=8）=，

1 2 3

P

∴ξ的分布列为?

∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+4×+5×+8×=3。

4.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：

（1）恰有2人申请A片区房源的概率；

（2）申请的房源所在片区的个数X的概率分布与期望.

5.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.

(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；

(2)设ξ＝m2，求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ)．

解(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，

即S＝{x|－2≤x≤3}．

由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．

(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，

所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，

且有P(ξ＝0)＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝4)＝＝，

P(ξ＝9)＝.

故ξ的概率分布表为

ξ0 1 4 9

P

所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.

6.在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史

与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.

(1)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；

(2)设X为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求X的分布列和数学期

望．

（主要是选）

解(1)设“从第一小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件A，“从第二小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.

由于事件A、B相互独立，

所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，

所以选出的4人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)

＝×＝.

(2)X 可能的取值为0,1,2,3，则 P(X ＝0)＝，P(X ＝1)＝·＋·＝， P(X ＝3)＝·＝.

P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝. 故X 的分布列为

X 0

1

2

3

P

所以X 的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1(人)．

7.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球． （I ）求取出的4个球均为黑色球的概率； （II ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（III ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

8.袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为n X ． （1）求随机变量2X 的概率分布及数学期望()2E X ； （2）求随机变量n X 的数学期望)(n x E 关于n 的表达式．

五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）

1.开锁次数的数学期望和方差有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差．

分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般．

解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ．

n

k n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 1

11212312111)211()211()111()11()(=

+-?+-+---?--?-=+-?+----?--?-== ξ；所以ξ的分布列为：

1 2 … k … n

… …

2

1

1131211+=

?++?+?+?=n n n n n n E ξ； 2.射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差

某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ 的分布列，并求出ξ 的期

望ξ E

与方差ξ D （保留两位小数）． 分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解． 解：该组练习耗用的子弹数ξ 为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．

ξ ＝1，表示一发即中，故概率为 ξ ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故 ξ ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故 ξ ＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故 ξ ＝5，表示第五发命中，故

因此，ξ 的分布列为

1 2 3 4 5 P

0.8

0.16

0.032

0.0064

0.0016

3.（三项分布）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

（1）求q 2的值；

（2）求随机变量ξ的数学期望E ξ；

（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．

解:（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )=0.25，()0.75P A =，P (B )=q 2，2()1P B q =-．

根据分布列知：ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03，所以

210.2q -=，q 2=0.8．

（2）当ξ=2时，P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+

)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75q 2(21q -)×2=1.5q 2(21q -)=0.24．

当ξ=3时，P 2=22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.01， 当ξ=4时，P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48， 当ξ=5时，P 4=()()()P ABB AB P ABB P AB +=+

222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=0.24．

所以随机变量ξ的分布列为：

随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=?+?+?+?+?=． （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++

()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=；

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72． 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大． 4.

5.（三项分布）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；

（Ⅱ）记“函数2

()31f x x x ξ=-+在区间[2,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需3

22

ξ≤即可．

解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”

为事件123,,A A A ．由已知123,,A A A 相互独立，

123()0.4,()0.5,()0.6P A P A P A ===.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.

相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．

123123(3)()()P P A A A P A A A ξ==+

所以ξ的分布列为 （Ⅱ）解法一：因为

2239

()()1,24

f x x ξξ=-+-所以函数

23

()31[,)2

f x x x ξξ=-++∞在区间上单调递增，要使()[2,)f x +∞在上单调递增，

当且仅当342,.23ξξ≤≤即从而4

()()(1)0.76.3

P A P P ξξ=≤===

解法二：ξ的可能取值为1，3.

当1ξ=时，函数2

()31[2,)f x x x =-++∞在区间上单调递增， 当3ξ=时，函数2

()91[2,)f x x x =-++∞在区间上不单调递增. 所以()(1)0.76.P A P ξ===

6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.

(1)求乙至多击中目标2次的概率；

(2)记甲击中目标的次数为Z ，求Z 的分布列、数学期望和标准差．

解 (1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－C 3

＝.

(2)P(Z ＝0)＝C 3

＝； P(Z ＝1)＝C 3

＝； P(Z ＝2)＝C 3＝； P(Z ＝3)＝C 3＝. Z 的分布列如下表：

Z 0 1 2 3

P

E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝， D(Z)＝2

×＋2

×＋2

×＋2

×＝，∴＝.

7.（三项分布）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过

两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望与方差． 解 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3.

(1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

1 3

P(E)＝P(A 123)＋P(1A 23)＋P(12A 3)

＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.

(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3，所以ξ～B(3,0.3)． 故E(ξ)＝np ＝3×0.3＝0.9，

V(ξ)＝np(1－p)＝3×0.3×0.7＝0.63.

8.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.

解：ξ的取值分别为1，2，3，4. 1=ξ，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （1=ξ）=0.6.

2=ξ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故

ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故 ∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为

ξ 1 2 3 4 P

0.6

0.28

0.096

0.024

∴ξ的期望E ξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.

李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976. 9.某先生居住在城镇的A 处,准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．(例如：Ａ

→Ｃ→Ｄ算作两个路段：路段ＡC 发生堵车事件的概率为

10

1

，路段CD 发生堵车事件的概率为

15

1

)．

（１） 请你为其选择一条由Ａ到Ｂ的路线，使得 途中发生堵车事件的概率最小；

（２） 若记ξ路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ中遇到堵

车

次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Ｅξ． 解：(1)记路段MN 发生堵车事件为MN.

因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，

所以路线Ａ→Ｃ→D →Ｂ中遇到堵车的概率P 1为

1－Ｐ(AC ?CD ?DB )=1－Ｐ(AC )?Ｐ(CD )?Ｐ(DB )

＝１－［１－Ｐ(AC)］［１－Ｐ(CD)］［１－P(DB)］＝１－?109151465?＝10

3；

同理：路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ中遇到堵车的概率P ２为

1－Ｐ(AC ?CF ?FB )=800239（小于103）；

路线Ａ→Ｅ→Ｆ→Ｂ中遇到堵车的概率P ３为 1－Ｐ(AE ?EF ?FB )=30091（大于10

3） 显然要使得由Ａ到Ｂ的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．

因此选择路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ,可使得途中发生堵车事件的概率最小. (2)路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3．

Ｐ(ξ＝０)＝Ｐ(AC ?CF ?FB )＝800

561，

Ｐ(ξ＝1)＝Ｐ(AC ?CF ?FB )＋Ｐ(AC ?ＣＦ?FB )＋Ｐ(AC ?CF ?ＦＢ)

＝

10120171211＋1092031211＋1092017121＝2400

637

，

Ｐ(ξ＝２)＝Ｐ(AC ?ＣＦ?FB )＋Ｐ(ＡＣ?CF ?ＦＢ)＋Ｐ(AC ?ＣＦ?ＦＢ)

＝

1012031211＋1012017121＋109203121＝2400

77

，

Ｐ(ξ＝3)＝Ｐ(AC ?CF ?FB )＝101203121＝2400

3

．

∴Ｅξ＝０×800561＋１×2400637＋２×240077＋３×24003＝3

1

。

答:路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ中遇到堵车次数的数学期望为3

1

10.分类题型中的难题

11（2017四市联考）甲乙丙分别从A,B,C,D 四道题中独立地选择两道，其中甲必选B 题 （1）求甲选做D 题，且乙丙不选做D 题的概率；

（2）设随机变量X 表示D 题被甲、乙、丙选做次数，求X 的概率分布与数学期望。 （1）设“甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题”为事件E ．

甲选做D 题的概率为11

13C 1C 3=，乙，丙不选做D 题的概率都是2324C 1C 2

=．

则1111()32212

P E =??

=．

答：甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率为

1

12

．…………………3分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3．…………………………………………4分

1112

(0)(1)32212P X ==-??=，

212

111115

(1)()(1)C (1)()3232212P X ==?+-?-?=， 12

222

111114(2)C (1)()(1)C (1)3223212P X ==?-?+-?-=， 222

111

(3)C (1)3212

P X ==?-=．……………………………………………8分

所以X的概率分布为

X的数学期望

15114

()0123

6123123

E X=?+?+?+?=．…………………10分

12.箱子中有4个形状、大小完全相同的小球，其中红色小球2个、黑色和白色

小球各1个，

现从中有放回的连续摸4次，每次摸出1个球．

（1）求4次中恰好有1次红球和1次黑球的概率；

（2）求4次摸出球的颜色种数ξ的分布列与数学期望．

解：（1）记事件A“摸出1个球，是红色小球”，事件B“摸出1个球，是黑色小球”，事件C“摸出1个球，是白色小球”，则A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．

记事件D“有放回的连续摸4次，恰好有1次红球和1次黑球”，

则P(D)＝A×××()2＝．

答：恰好有有1次红球和1次黑球的概率是．

（2）随机变量ξ的可能值为1，2，3．记A i“摸出i个红色小球”，B i“摸出i 个黑色小球”，C i“摸出i个白色小球”．

P(ξ＝1)＝P(A4＋B4＋C4)＝P(A4)＋P(B4)＋P(C4)＝()4＋()4＋()4＝；

P(A1·B3＋A2·B2＋A3·B1)＝C()()3＋C()2()2＋C()3()＝＋＋＝，

P(A1·C3＋A2·C2＋A3·C1)＝C()()3＋C()2()2＋C()3()＝＋＋＝，

P(B1·C3＋B2·C2＋B3·C1)＝C()()3＋C()2()2＋C()3()＝＋＋＝，

P(ξ＝2)＝P(A1·B3＋A2·B2＋A3·B1)＋P(A1·C3＋A2·C2＋A3·C1)＋P(B1·C3＋B2·C2＋B3·C1)＝＋＋＝；

P(ξ＝3)＝P(A2·B1·C1＋A1·B2·C1＋A1·B1·C2)＝A()2()2＋A()2()()＋A()2()()＝＋＋＝．

故随机变量ξ的分布列为：

ξ 1 2 3

P

所以数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝．

.

六．拓展

1.某车站每天8∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，8∶00~9∶00到站的客车

A 可能在8∶10，8∶30，8∶50到站，其概率依次为

111

,,623;9∶00~10∶00到站的客车B 可能在9∶10，9∶30,9∶50到站，其概率依次为111

,,326

.

(1) 旅客甲8∶00到站，设他的候车时间为ξ，求ξ的分布列和E ξ； (2) 旅客乙8∶20到站，设他的候车时间为η,求η的分布列和E η. （1）旅客8∶00到站，他的候车时间ξ的分布列为：

111100

1030506233

E ξ∴=?+?+?=

(分钟) （2）旅客乙8∶20到站，他的候车时间η的分布列为：

11111

103050709023181236

E η∴=?+?+?+?+?

235

9

=(分钟) 2.A 、B 两个投资项目的利润率分别为随

机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为

X 1 5% 10% P 0.8 0.2 X 2 2% 8% 12% P

0.2

0.5

0.3

(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差V(Y 1)、V(Y 2)；

(2)将x(0≤x ≤100)万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值．

解 (1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为

Y 1 5 10 P 0.8 0.2 Y 2 2 8 12 P

0.2

0.5

0.3

E(Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，

V(Y 1)＝(5－6)2

×0.8＋(10－6)2

×0.2＝4； E(Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，

V(Y 2)＝(2－8)2

×0.2＋(8－8)2

×0.5＋(12－8)2

×0.3＝12.

10 30 50 70 50

(2)f(x)＝V ＋V ＝2

V(Y 1)＋2

V(Y 2) ＝[x 2

＋3(100－x)2

] ＝(4x 2

－600x ＋3×1002

)，

当x ＝＝75时，f(x)＝3为最小值.

3.据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上有台大型设备，为保护设备有以下三种方案。

方案1：运走设备，此时需花费3800元。

方案2：建一保护围墙，需花费2000元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元。

方案3：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。

试比较哪一种方案好。 解：比较三者费用的期望值即可 A 方案：费用为3800

B 方案：设B ξ为费用，则列出分布列如下：

0 2000 6000 P

0.74

0.25 0.01

所以112062050001.010621.0200074.004

==+=??+?+?=B E ξ C 方案：设C ξ为费用，则列出分布列如下：

10000 60000 P

0.74

0.25

0.01

所以310001.010625.01074.004

4=??+?+?=c E ξ

故:方案A 的费用>方案C 的费用>方案B 的费用所以采用方案B 。 六、综合算法

1.2015年期末考试题

长时间用手机上网严重影响学生的健康，如果学生平均每周手机上网的时长超过5小时，则称为“过度用网”，某校为了解A,B 两班学生手机上网的情况，分别从这两个班中随机抽取

6名学生样本进行调查，由样本数据统计得到A,B 两班学生“过度用网”的概率分别为21

,31

（1）从A 班的样本数据中抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率 （2）从A 班，B 班的样本中随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出其分布列和数学期望ξE 。

2.国家公务员考试，某单位已录用公务员5人，已安排到A,B,C 三个科室工作，但甲必须安排在A 科室，其余4人可以随机安排.

（1）求每个科室安排至少1人至多2人的概率；

（2）设安排在A科室的人数为随机变量X，求X的概率分布及数学期望和方差.