九年级数学下册期中试题
九年级数学下学期期中试题
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，共18分） 1．下列计算正确的是（ ）
A ．﹣2+1=﹣1
B ．﹣2﹣2=0
C ．（﹣2）2=﹣4
D ．﹣22
=4 2．如图，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系（ ） A ．∠1=∠1=∠3 B ．∠1＜∠2＜∠3 C ．∠1=∠2＞∠3 D ．∠1＜∠2=∠3 3．如图放置的几何体的左视图是（ ）
A B C D
4. 现有1角、5角硬币各10枚，从中取出16枚，共计4元，问1角、5角硬币
各取多少枚？设1角、5角硬币各取x 枚、y 枚，可列方程 （ ） A ．??
?=+=+45y x 16y x B ． ???=+=+45y x 20y x C ．???=+=+400.5y 0.1x 20y x D ．???=+=+40
5y x 16
y x
5．如图，在矩形ABCD 中，AB=9，BC=12，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．9
6. 如图，已知顶点为（－3，－6）的抛物线y =ax 2
+bx +c 经过点（－1，－4）.则下列结论中错误的是（ ）
A. b 2
＞4ac
B. ax 2
+bx +c ≥－6 C. 若点（－2，m ），（－5，n ）在抛物线上，则m ＞n .
D.关于x 的一元二次方程ax 2
+bx +c =－4的两根为－5和－1.
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 7．分解因式：2
2
242x xy y -+= .
8．已知x=0是方程2x bx b 30++-=的一个根，那么此方程的另一个根为___________.
9.如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ，若菱形ABCD 的边长为2cm ，∠A ＝120°，则EF ＝ cm
10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，将△ABC 沿射线AB 方向平
移到A 1B 1C 1的位置，A 1是线段AB 的中点，连接AC 1，则tan ∠A 1AC 1的值是____________．
11.填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是_____________．
12.在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是___________ 三、（本大题共5题，每小题6分，共30分）
13. 解不等式组,
2-53(-1),
-1
<1. 32
x x
x x
≥
?
?
?
-
??
14. 先化简，再求值：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2，其中a=2﹣，b=2+
15．先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问题. （温馨提示：一周只上五天课，另考试时每半天考一科）
小明：“听说下周会进行为期两天的期中考试.”
刘老师：“是的，要考语文、数学、英语、物理共四科，但具体星期几不清楚.”
小宇：“我估计是星期四、星期五.”
（1）求小宇猜对的概率；
（2）若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序没定，请用列举法求恰好在同一天考语文、数学的概率.
16. 下面两个图中，点A、B、C均在⊙O上，∠C=40°，请根据下列条件，仅用无刻度的直尺各画一个直角三角
形，使其一个顶点为A ，且一个内角度数为40°．
（1）在图1中，点O在∠C外部；
（2）在图2中，点O在∠C内部且点D在弦AB上．
17.如图，学校教学楼AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一读书亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与读书亭距离CE=20米，某人从教学楼顶端测得E点的俯角为45°，求教学楼AB的高．（结果保留根号）
四、解答题：（本大题共4题，每小题8分共32分）
18．平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，已知点A（2，0），点C（10，4），双曲线经过点D．
（1）求菱形ABCD的边长；
（2）求双曲线的解析式．
19. 3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意
识，组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．绘制统计图如
下（未完成），解答下列问题：
（1）若A组的频数比B组小24，则频数分布直
方图中的a=______ b=_______;
（2）扇形统计图中，D部分所对的圆心角
n=_______,并补全频数分布直方图（在直方图上
标相对应的频数）；
（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2000
名学生，请估计成绩优秀的学生有多少名？
20.慧慧和聪聪沿图1中的景区公路游览（数字表示两地距离），慧慧乘坐车速为30km/h的电动汽车，早上7:00从宾馆出发，游玩后中午12:00回到宾馆，（慧慧全程均乘坐电动汽车），现聪聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20km/h，途中遇见慧慧时，慧慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10:00聪聪到达宾馆. 图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程s（km）与时间t（h）的函数关系. 试结
合图中信息回答：(温馨提示：变量为s与t )
（1）聪聪上午几点钟从飞瀑出发？
（2）试求线段AB，GH的交叉点B的坐标，并说明它的实际意义；
（3）如果聪聪到达宾馆后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见慧慧？
21 .如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形
AB C．
（1）如图1，当线段AB所在的直线与圆O
相切时，求△ABC的面积；
（2）如图2，设∠AOB=α，当线段AB与圆O
只有一个公共点（即A点）时，则α的取值
范围为___________________；
（3）如图3，当线段AB与圆O有两个公共
点A、M时，如果AO⊥PM于点D，求证：AM=BM ，
并求此时AB的长度
五．（本大题共1题，每小题10分，共10分）
22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x 轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P 与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否
存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若
不存在，请说明理由．
六．（本大题共1题，共12分）
23.如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，
DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．
（1）∠ACD与∠BDE是否相等？并说明理由；
（2）求证：BE=EC；
（3）如图2，若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分
别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且
k
DE
DF
=
”，
其他条件不变．当AB=1，∠ABC=α时，求BE的长（用含k、α的式子表示）．
初三数学试卷答题卷
一、选择题（本大题共
6小题，每小题3分，共18分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7 ___________ 8_________ 9 ___ _______
10___________ 11__________ 12 _________________________ 三．（本大题共5小题 ，每小题6分，共30分）
13. 2-53(-1),
-1
<1.32x x x x ≥???-?? 14. （a+b ）2+（a ﹣b ）（2a+b ）﹣3a 2
，
15. 17.
16.
四、解答题：（本大题共4题，每小题8分共32分） 18..
题号 1 2 3 4 5 6 答案
19. （1）a=______ b=_______;
（2）n=_______,
（3）
20．
21.
五．（本大题共1小题，本大题共10分）22.
(备用图)
六．（本大题共1小题，共12分）24.
初三数学答案
题号1 2 3 4
5
6
答案A D C D
B
C
7.2)
(2y
x- 8.-3 9.3 10.
3
3
11. 900 12.5或6或7.2
三、（本大题共5题，每小题6分，共30分）
13. 解：由①得：2
-
≤
x
由②得：3
-
>
x
．所以原不等式的角集为2
3-
≤
<
-x
14. 解:（a+b）2+（a-b）（2a+b）-3a2=a2+2ab+b2+2a2-ab-b2-3a2=ab，
当a=-2-，b=-2时，原式=（-2-）（-2）=（-2）2-（）2=1
15. 解：（1）P（猜对）
1
.
4
（2）
∴P（恰好同一天考语文、数学）
21
.
126
16．（1）画图正确得2分；（2）画图正确得4分．
17.【答案】解：如图作EF⊥AB交于点F,作EH⊥BC交于点H
∵1:3
i=，∴tan∠ECH=
3
3
，∴∠ECH=30°，∴
EH=CE·sin30°=
1
20
2
?=10,
CH=CE·cos30°=
3
20103
=
∵BC=25,∴EF=BH=253
+
∵E点的俯角为45°,∴AF=EF=25103
+
BF=EH=10,
∴AB=AF+BF=353
+米)
答：楼房AB的高为35103
+.
四、解答题：（本大题共4题，每小题8分共32分）
18．解：（1）因 AB 边在 x 轴上,OA=2,所以 A 点坐标是：(2,0)；
设菱形边长为m,则 B 点坐标为(m+2,0),D 点坐标为(k/4,4),其中横坐标
下
午
上
午
语数英物
数英物语英物语数物语数英
x=k/4=10-m ；由菱形特性知,AC ⊥BD,即 [(4-0)/(10-2)]×(4-0)/(k/4 -m-2)=-1,2/(10-2m-2)=-1,∴ m=5；
（2）k=4(10-m)=20,双曲线的解析式：y=20/x 19. 解：
（1）a=_16_____ b=____40___;
（2）n=___126度____,并补全频数分布直方图（略） （3）人9402000)12.035.0(=?+ 所以成绩优秀的学生有940人 20、 解：（1）聪聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20＝2.5(h) ， ∵聪聪上午10:00到达宾馆，
∴聪聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5＝7.5，
所以聪聪早上7：30分从飞瀑出发. （2）设直线GH 的函数表达式为s ＝kt ＋b ， 由于点G （
1
2
，50），点H (3， 0 )， 则有1
50,
230.
k b k b ?+=???+=? 解得20,60.k b =-??=?
∴直线GH 的函数表达式为s ＝－20t ＋60，
又∵点B 的纵坐标为30， ∴当s ＝30时，－20t ＋60＝30，
解
得t ＝
3
2， ∴点B （3
2
，30）.
点B 的实际意义是：上午8:30慧慧与聪聪在离宾馆30km (即景点草甸) 处第一次相遇. （3）方法1：设直线DF 的函数表达式为11s k t b =+，该直线过点D 和 F (5，0)， 由于慧慧从飞瀑回到宾馆所用时间5
5030=3
÷（h ）， 所以慧慧从飞瀑准备返回时t ＝510533-
=，即D （10
3
，50). 则有1111
10
50350.k b k b ?+=???+=?，
解得11=30150.k b ??=?－， ∴直线DF 的函数表达式为s ＝－30t ＋150，
∵聪聪上午10:00到达宾馆后立即以30km/h 的速度返回飞瀑，所需时间5
5030=3
÷.
如图，HM 为聪聪返回时s 关于t 的函数图象. ∴点M 的横坐标为3＋
53＝143，点M （143
，50）， 设直线HM 的函数表达式为s k t b =+２２，该直线过点H (3，0) 和点M （
14
3
，50）， 则有14
50330.
k b k b ?+=???+=?２２２２， 解得22=3090.k b ??=-?， ∴直线HM 的函数表达式为s ＝30t －90，
由309030150t t -=-+ 解得4t =， 对应时刻7＋4＝11，
∴聪聪返回途中上午11:00遇见慧慧.
如上图，过点E作EQ⊥x轴于点Q，由题意可得，点E的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，
又∵两人速度均为30km/h，
∴该路段两人所花时间相同，即HQ＝QF，
∴点E的横坐标为4，
∴聪聪返回途中上午11:00遇见慧慧.
21. .解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB．
∴∠OAB=90°∵OQ=QB=1，
∴OA=1．
∴AB=．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=，∠CAB=60°．
∵sin∠HAB=，
∴HB=AB?sin∠HAB
=．
∴S△ABC=AC?BH
=．
∴△ABC的面积为．
（2）①当点A与点Q重合时，
线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；
②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，
线段A1B与圆O只有一个公共点，
此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，
∴cos∠A1OB=．
∴∠A1OB=60°．
∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α的范围为：0°≤α≤60°．
（3）连接MQ，如图3所示．
∵PQ是⊙O的直径，
∴∠PMQ=90°．
∴∠PDO=90°．
∴∠PDO=∠PMQ．
∴△PDO∽△PMQ．
∴
∵PO=OQ=PQ．
∴PD=PM，OD=MQ．
同理：MQ=AO，BM=AB．
∵AO=1，
∴MQ=．
∴OD=．
∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，
∴PD=．
∴PM=．
∴DM=．
∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，
∴AM=．
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥AB．∵AM=，∴AB=2AM=6．
五．（本大题共1题，每小题10分，共10分）
解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1）
设
将C（0，3）代入上式，得
∴
即。
2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合（如图）
令y=0，得
解得：，
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）
∴P1（1，0）
②当点A为△APD2的直角顶点是（如图）
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥y轴，
∴P2D2⊥AO，
∴P2、D2关于x轴对称
（设直线AC的函数关系式为
将A（3，0）， C（0，3）代入上式得，
∴
∴
∵D2在上，P2在上，
∴设D2（x，-x+3），P2（x，）
∴（）+（）=0 ，
∴，（舍）
∴当x=2时，==-1
∴P2的坐标为P2（2，-1）（即为抛物线顶点）
∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）。
（3）由题（2）知，当点P的坐标为P1（1，0）时，不能构成平
行四边形
当点P的坐标为P2（2，-1）（即顶点Q）时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F 当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形
∵P（2，-1），
∴可令F（x，1）
∴
解之得：，
∴F点有两点，即F1（，1），F2（，1）
六．（本大题共1题，共12分）
23. 解：（1）∠DCA=∠BDE．
证明：∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．
∴∠BDE=∠DEC﹣∠DBC=∠DCE﹣∠ACB=∠DCA．
（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，
则有∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△EDG中，
∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA=EG，CA=DG．
∴DG=AB．
∴DA=BG．
∵AF∥EG，DF=EF，
∴DA=AG．
∴AG=BG ． ∵EG ∥AC ， ∴BE=EC ．
（3）过点E 作EG ∥AC ，交AB 的延长线于点G ，如图2， ∵AB=AC ，DC=DE ，
∴∠ABC=∠ACB ，∠DEC=∠DCE ．
∴∠BDE=∠DBC ﹣∠DEC=∠ACB ﹣∠DCE=∠DCA ． ∵AC ∥EG ，
∴∠DAC=∠DGE ． 在△DCA 和△EDG 中，
∴△DCA ≌△EDG （AAS ）． ∴DA=EG ，CA=DG ∴DG=AB=1． ∵AF ∥EG ，
∴△ADF ∽△GDE ． ∴
．
过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，如图2， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ， ∴BH=CH ． ∴BC=2BH ．
∵AB=1，∠ABC=α，
∴BH=AB?cos∠ABH=cosα． ∴BC=2cosα． ∵AC ∥EG ，
∴△ABC ∽△GBE ． ∴．
∴
k BE 1
cos 2=α． ∴BE=αcos 2k ．
∴BE 的长为αcos 2k ．