新教材高中数学第5章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课时20事件之间的关系与运算练习(含解析)新人教

新教材高中数学第5章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课时20事件之间的关系与运算练习（含解析）新人教B版必修第

二册

知识点一事件的运算

1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )

A．E?F B．G?F

C．E＋F＝G D．EF＝G

答案 C

解析根据事件之间的关系，知E?G，F?G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF＝?，故排除D；事件G发生当且仅当事件E 发生或事件F发生，所以E＋F＝G.故选C.

2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的积事件是什么？

解(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B.

(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A.

知识点二事件关系的判断

3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：

①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；

②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．

其中，为互斥事件的是( )

A．①B．②④

C．③D．①③

答案 C

解析①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件；

②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件；

③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件；

④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C.

4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．

(1)恰有1名男生与2名全是男生；

(2)至少有1名男生与全是男生；

(3)至少有1名男生与全是女生；

(4)至少有1名男生与至少有1名女生．

解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．

(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．

(4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

知识点三互斥事件的概率

5.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红

球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝3

10，P(B)＝

1

2

，

则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．

答案4 5

解析记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，

所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝3

10＋

1

2

＝

4

5

.

6．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：

(2)等候人数大于等于3的概率．

解设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．

(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A＋B＋C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.

(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D＋E＋F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.

知识点四对立事件的概率

7.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )

A．0.7 B．0.65

C．0.35 D．0.3

答案 C

解析由对立事件的概率知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.

8．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：

(1)求a和b的值；

(2)求命中10环或9环的概率；

(3)求命中环数不足9环的概率．

解(1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，

所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.

(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.

(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.

易错点 不能区分事件是否互斥而错用加法公式

9.掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是1

6

，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P (A ＋B )． 易错分析 由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A ，B 同时发生，所以不能应用公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )求解，而致误．

正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1，A 2，A 3，

A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A ＋

B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.

故P (A ＋B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝2

3

.

一、选择题

1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两弹都击中飞机}，B ＝{两弹都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是 ( )

A ．A ?D

B ．BD ＝?

C ．A ＋C ＝

D D ．A ＋C ＝B ＋D

答案 D

解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A ?D ，故A 正确．由于事件B ，D 是互斥事件，故BD ＝?，故B 正确．再由A ＋C ＝D 成立可得C 正确．A ＋C ＝D ＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B ＋D 为必然事件，故D 不正确．故选D.

2．下列说法正确的是( )

A ．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件

B ．A ，B 同时发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率小

C ．若P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与B 是对立事件

D ．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大 答案 A

解析 根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B 错误．若P (A )＋P (B )＝1，且AB ＝?时，事件A 与B 是对立事件，故

C 错误．事件A ，B 中至少有一个发生包括事件A 发生B 不发生，A 不发生B 发生，A ，B 都发生；A ，B 中恰有一个发生包括A 发生B 不发生，A 不发生B 发生；当事件A ，B 互斥时，事件

A ，

B 至少有一个发生的概率等于事件A ，B 恰有一个发生的概率，故D 错误．

3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A ＝“至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是 ( )

A ．1个白球2个红球

B ．2个白球1个红球

C ．3个都是红球

D ．至少有一个红球

答案 C

解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A ＝“至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是所取的3个球中没有白球，∴事件A 的对立事件是3个都是红球．故选C.

4．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A ＝{摸出黑球}，B ＝{摸出红球}，C ＝{摸出白球}，则事件A ＋B 及B ＋C 的概率分别为( )

A.56，12

B.16，1

2 C.12，56 D.13，12

答案 A

解析 P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝1

6.因为事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )

＝56.P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝1

2

. 5．在一次随机试验中，三个事件A 1，A 2，A 3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )

①A 1＋A 2与A 3是互斥事件，也是对立事件； ②A 1＋A 2＋A 3是必然事件； ③P (A 2＋A 3)＝0.8； ④P (A 1＋A 2)≤0.5. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B

解析 由题意知，A 1，A 2，A 3不一定是互斥事件，所以P (A 1＋A 2)≤0.5，P (A 2＋A 3)≤0.8，

P (A 1＋A 3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.选B.

二、填空题

6．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．

答案 2次都中靶

解析 事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．

7．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得黑桃”，则P (A ＋B )＝________.

答案

726

解析 事件A ，B 为互斥事件，可知P (A )＝152，P (B )＝1352＝1

4，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )

＝152＋14＝7

26

. 8．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“出现不大于4的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则事件A ＋B －发生的概率为________．(B －

表示B 的对立事件)

答案 23

解析 随机掷一个骰子一次共有六种不同的结果，其中事件A “出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P (A )＝26＝13

.

事件B “出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，

P (B )＝46＝23

，P (B －

)＝13

.

且事件A 和事件B －

是互斥事件， ∴P (A ＋B －)＝13＋13＝2

3.

三、解答题

9．掷一个骰子，下列事件：

A ＝{出现奇数点}，

B ＝{出现偶数点}，

C ＝{出现点数小于3}，

D ＝{出现点数大于2}，E

＝{出现点数是3的倍数}．

求：(1)AB ，BC ； (2)A ＋B ，B ＋C ；

(3)记H －是事件H 的对立事件，求D －，A －C ，B －＋C ，D －＋E －. 解 (1)AB ＝?，BC ＝{出现2点}．

(2)A ＋B ＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B ＋C ＝{出现1,2,4或6点}． (3)D －

＝{出现点数小于或等于2}＝{出现1或2点}， A －

C ＝BC ＝{出现2点}，

B －＋

C ＝A ＋C ＝{出现1,2,3或5点}，

D －

＋E －

＝{出现1,2,4或5点}．

10．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：

(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

解 (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝1

20.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”为事件M ，则M ＝A ＋B ＋C ， ∵事件A ，B ，C 两两互斥，

∴P (M )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000

. 故1张奖券的中奖概率为

61

1000

. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，由对立事件概率公式得P (N )＝1－P (A ＋B )＝1－?

???

?11000＋1100＝9891000

.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989

1000

.