高中数学解析几何专题精编版资料全
高中解析几何专题（精编版）
1. （文）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)P a b 满
足212||||.PF F F =
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与
圆
22(1)(16x y ++-=相交于M ，N 两点，且5
||||8
MN AB =，求椭圆的
方程。
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距
离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。
（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，
2c =，整理得2
210,1c c c a a
a ??
+-==- ???得（舍）
或11
,.22
c e a ==所以
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直
线FF 2
的方程为).y x c =-
A ，
B 两点的坐标满足方程
组2223412,
).
x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得
2580x cx -=。解得1280,5x x c ==
，得方程组的解21128,0,5,.
5x c x y y c ?=?=???
??
=???=??
不妨设85A c ??
? ???
，
(0,)B ，
所以16||.5AB c == 于是5
||||2.8
MN AB c ==
圆心(-到直线PF 2
的距离|||2|
.22
c d +=
= 因为2
2
2
||42MN d ??+= ???
，所以223(2)16.4c c ++=
整理得2712520c c +-=，得26
7
c =-（舍），或 2.c =
所以椭圆方程为22
1.1612x y +
= 2. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b
+=>>
右焦点为
（），斜率
为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）.
（I ）求椭圆G 的方程； （II ）求PAB ?的面积. 【解析】
解：
（Ⅰ）由已知得3
c c a ==
解得a =
又222 4.b a c =-=
所以椭圆G 的方程为22
1.124
x y +
= （Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y += 由???
??=+
+=14
1222y x m x y 得
.01236422=-++m mx x
设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x 则,4 32210m x x x -=+= 4 00m m x y =+= 因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB. 所以PE 的斜率.14 3342-=+ -- = m m k 解得m=2。 此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以|AB|=23. 此时，点P （—3，2）到直线AB ：02=+-y x 的距离,2 2 32 | 223|= +--=d 所以△PAB 的面积S= .2 9||21=?d AB 3. (全国大纲文)已知O 为坐标原点，F 为椭圆2 2 :12 y C x +=在y 轴正半轴上的 焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足 0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上； （II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。 【解析】22．解：（I ）F （0，1），l 的方程为1y =+， 代入2 2 1y x +=并化简得 2410.x --= …………2分 设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y 则12,44x x = = 121212)21,x x y y x x +=+=++= 由题意得312312()() 1.2x x x y y y =-+=-=-+=- 所以点P 的坐标为(1).2 -- 经验证，点P 的坐标为(1)-满足方程 22 1,2 y x +=故点P 在椭圆C 上。 （II ）由(1)P -和题设知， Q PQ 的垂直一部分线1l 的方程为 .2 y x =- ① 设AB 的中点为M ，则1 ( )42 M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为 1.4 y x = + ② 由①、②得12,l l 的交点为1 (,)88 N - 21 || 8 |||| || || || 8 NP AB x x AM MN NA == =-= = == == 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上。 4. （全国新文）在平面直角坐标系xOy中，曲线261 y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C上． （I）求圆C的方程； （II）若圆C与直线0 x y a -+=交于A，B两点，且, OA OB ⊥求a的值．【解析】解：（Ⅰ）曲线1 6 2+ - =x x y与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（). 0,2 2 3( ), 0,2 2 3- + 故可设C的圆心为（3，t），则有, )2 2( )1 ( 32 2 2 2t t+ = - +解得t=1. 则圆C的半径为.3 )1 ( 32 2= - +t 所以圆C的方程为.9 )1 ( )3 (2 2= - + -y x （Ⅱ）设A（ 1 1 ,y x），B（ 2 2 ,y x），其坐标满足方程组： ?? ? ? ? = - + - = + - .9 )1 ( )3 ( ,0 2 2y x a y x 消去y，得到方程 .0 1 2 )8 2( 22 2= + - + - +a a x a x 由已知可得，判别式.0 4 16 562> - - = ?a a 因此，, 4 4 16 56 ) 2 8(2 2,1 a a a x - - ± - =从而 2 1 2 , 4 2 2 1 2 1 + - = - = + a a x x a x x① 由于OA⊥OB，可得,0 2 1 2 1 = +y y x x 又, , 2 2 1 1 a x y a x y+ = + =所以 .0 ) ( 22 2 1 2 1 = + + +a x x a x x② 由①，②得1 - = a，满足,0 > ?故.1 - = a 5. （文）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点， 与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． （I）设 1 2 e=，求BC与AD的比值； （II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由． 【解析】解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 22222 12 2242 :1,:1,(0) x y b y x C C a b a b a a +=+=>> 设直线:(||) l x t t a =<，分别与C1，C2的方程联立，求得 2222 (),(). a b A t a t B t a t b a --………………4分 当 13 ,,, 2A B e b y y == 时分别用表示A，B的纵坐标，可知 2 2 2||3 ||:||. 2||4 B A y b BC AD y a ===………………6分 （II）t=0时的l不符合题意.0 t≠时，BO//AN当且仅当BO的斜率k BO与AN 的斜率k AN相等，即 2222 , b a a t a t a b t t a -- = - 解得 22 222 1 . ab e t a a b e - =-=-? - 因为 2 2 12 ||,01,1, 1. 2 e t a e e e - <<<<<< 又所以解得 所以当 2 2 e <≤时，不存在直线l，使得BO//AN； 2 1 e <<时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分 6. （文）已知过抛物线() y px p =2>0的焦点，斜率为22的直线交抛物线于(,) A x y 11 和(,)() B x y x x 2212 <两点，且AB=9, （1）求该抛物线的方程； （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OB OA OCλ + =，求λ的值．【解析】19．（本小题满分12分） （1）直线AB 的方程是)2 p y x =-， 与22y px =联立，从而有22450,x px p -+= 所以：1254 p x x += 由抛物线定义得：12||9,AB x x p =++= 所以p=4，从而抛物线方程是28.y x = （2）由224,450p x px p =-+=可简化为 212540,1,4,x x x x -+===从而 12y y =-= 从而(1,(4,A B - 设33(,)(1(41OC x y λλ==-+=+- 又22338,1)]8(41),y x λλ=-=+即 即2(21)41λλ-=+ 解得0, 2.λλ==或 7. （文）22．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2 2:13 x C y +=．如图所示，斜率为 (0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -． （Ⅰ）求22m k +的最小值； （Ⅱ）若2 OG OD =?OE ， （i ）求证：直线l 过定点； （ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接 圆方程；若不能，请说明理由． 【解析】22．（I ）解：设直线(0)l y kx t k =+>的方程为， 由题意，0.t > 由方程组22 ,1,3 y kx t x y =+?? ?+=??得 222(31)6330k x ktx t +++-=， 由题意0?>， 所以2231.k t +> 设1122(,),(,)A x y B x y ， 由韦达定理得1226,31kt x x k +=-+所以1222.31 t y y k +=+ 由于E 为线段AB 的中点，因此223,,3131 E E kt t x y k k ==++ 此时1.3E OE E y k x k ==-所以OE 所在直线方程为1 ,3y x k =- 又由题设知D （-3，m ），令x=-3，得1 m k = ，即mk=1， 所以2222,m k mk +≥=当且仅当m=k=1时上式等号成立， 此时 由0?>得02,t <<因此 当102m k t ==<<且时， 22m k +取最小值2。 （II ）（i ）由（I ）知OD 所在直线的方程为1 ,3y x k =- 将其代入椭圆C 的方程，并由0,k > 解得(G ，又2231 (,),(3,)3131k t E D k k k --++， 由距离公式及0t >得 2222 291||(, 31||||k OG k OD OE +=+=+==== 由2||||||,OG OD OE t k =?=得 因此，直线l 的方程为(1).y k x =+ 所以，直线(1,0).l -恒过定点 （ii ）由（i ）得(G 若B ，G 关于x 轴对称， 则(B 代入2(1)31y k x k =+-=整理得 即426710k k -+=， 解得21 6 k =（舍去）或21,k = 所以k=1， 此时3131 (,),(,)2222 B G ---关于x 轴对称。 又由（I ）得110,1,x y ==所以A （0，1）。 由于ABG ?的外接圆的圆心在x 轴上，可设ABG ?的外接圆的圆心为（d ，0）， 因此22311 1(),,242 d d d +=++=-解得 故ABG ? 的外接圆的半径为r == 所以ABG ?的外接圆方程为2215 ().24 x y ++= 8. （文）17．（本小题满分12分）