二次函数专题之全参数范围问题
二次函数专题之参数范围问题
1.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=2
1
x 2-x+2与y 轴交于点A,顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物
线的对称轴对称。
（1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4，将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D ）记为图像G,若图象G 向下平移t （t ＞0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围。
2.已知关于x 的一元二次方程ax 2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0). （1）求证：方程有两个不等的实数根.
（2）设方程的两个实数根分别为x 1,x 2（其中x 1＞x 2）.若y 是关于a 的函数，且y=ax 2+x 1,求这个函数的表达式.
（3）在（2）的条件下，若使y ≤-3a 2+1，则自变量a 的取值范围为?
3.已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0.
（1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根；
（2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；
（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围.
4.在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数.
（1）求a的值.
（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.
5、已知二次函数y x22bx c（b,c为常数）
（1）当b1,c3时，求二次函数在2x2上的最小值；
（2）当c3时，求二次函数在0x4上的最小值；
（3）当c4b2时，若在自变量x的值满足2b x2b3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求
此时二次函数的解析式．
6、在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx2-2mx-3（m≠0）与x轴交于A（3,0），B两点.
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标.
（2）当-2＜x＜3时的函数图像记为G，求此时函数y的取值范围.
（3）在（2）的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b（k≠0）与图像M在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b的取值范围.
7、在平面直角坐标系中，我们定义点P(a，b)的“变换点”为Q. 且规定：当a≥
b时，Q为(b，a
-)；当a＜b时，Q为(a，b
-)．
（1）点(2，1)的变换点坐标为；
（2）若点A(a，2
-)的变换点在函数
1
y
x
=的图象上，求a的值；
（3）已知直线l与坐标轴交于(6，0)，(0，3)两点．将直线l上所有点的变换点组
成一个新的图形记作M．判断抛物线c
=2与图形M的交点个数，以
x
y+
及相应的c的取值范围，请直接写出结论．
8、已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．
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8、【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，
∴0=a（0﹣1）2+2，
∴a=﹣2，
∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．……4分（2）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线为y=ax2+bx，
∵h=﹣，
∴b=﹣2ah，
∴y=ax2﹣2ahx，……6分
∵顶点A（h，k），
∴k=ah2﹣2ah，
抛物线y=tx2也经过A（h，k），
∴k=th2，
∴th2=ah2﹣2ah2，
∴t=﹣a，……8分
（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，
∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，
∴h=，……10分
∵﹣2≤h＜1，
∴﹣2≤＜1，
①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，
②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，……12分
综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．……13分
9、
10
10、
11、解：(1)抛物线C 的顶点坐标为)1,(-h ，┄┄┄┄┄2分 当h x =时，112-=--=kh kh y ，┄┄┄┄4分 所以直线l 恒过抛物线C 的顶点；
(2)当1-=a 时，抛物线C 解析式为1)(21---=h x y ， 不妨令33-=x y ，
如图1，抛物线C 的顶点在直线1-=y 上移动，
当m ≤x ≤2时，y 1≥x －3恒成立，
则可知抛物线C 的为顶点)1,2(-，┄┄┄┄┄7分 设抛物线C 与直线33-=x y 除顶点外的另一交点为M ， 此时点M 的横坐标即为m 的最小值，
由???-=---=，，
31)2(2x y x y 解得：11=x ，22=x ，┄┄┄8分
所以m 的最小值为1．┄┄┄┄┄9分
(3)法一：如图2，由(1)可知：抛物线C 与直线l 都过点A )1,(-h ， 当20≤k 时，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数
的点，
即当2+=h x 时，12y y >恒成立┄┄┄┄11分
所以1)2(1)2(2--+>--+h h a kh h k ，整理得：a k 2>，┄┄13分 又因为20≤ 所以420≤k ．┄┄┄┄┄14分 法二：由???--=--=，，11)(2kh kx y h x a y 解得：h x =1，a k h x +=2，┄┄┄11分 如图2，A ，B 为抛物线C 与直线l 的交点，过点B 作⊥BC 直线1-=y 于点C ， 所以AC =a k h a k h x x =-+ =-12， 当20≤k 时， 欲使得在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数的点， 只要 2>a k 即可，所以a k 2>，┄┄┄┄┄13分 又因为20≤ 所以420≤k ．┄┄┄┄14分 12、解：（1）依题意，可设1L 的“友好抛物线”的表达式为：2y x bx =-+，…1分 ∵1L ：222(1)1y x x x =-=--， ∴1L 的顶点为（1，－1）. ……………2分 ∵2y x bx =-+过点（1，－1），∴211b -=-+，即b =0. …………3分 ∴1L 的“友好抛物线”为：2 y x =-. ……………4分 （2） ∵2L ：2 y mx nx =+的顶点为2 (,)24n n m m --， 1L ：2 y ax bx =+的顶点为2(,)24b b a a --. ………5分 ∵ 2L 为1L 的“友好抛物线”， ∴ m =－a . ………6分 ∵2L 过1L 的顶点， ∴22()()422b b b m n a a a -=?-+?-. 化简得 bn =0. ……………7分 把x ＝m n 2- 代入2y ax bx =+，得 y =2()()22n n a b m m ?-+?-=22 424n bn n m m m --=- . ∴抛物线1L 经过2L 的顶点. ……………8分 又∵1L 与2L 的开口大小相同，方向相反， ∴抛物线1L 也是2L 的“友好抛物线”. ……………9分 （3）依题意，得 m =－a . ∴2L ：2 y ax nx =-+的顶点为2 (,)24n n a a . ……………10分 ∴2 24n a =，即2108 a n =>. ……………11分 当2L 经过点P （1,0）时， 0a n -+=，∴a =8. ……………12分 当2L 经过点Q （3,0）时， 930a n -+=，∴8 9 a = . ……………13分 ∴抛物线2L 与线段PQ 没有公共点时，8 09 a <<或8a >. ……14分