陕西省西安市高新一中2020年中考数学七模试卷 解析版
2020年陕西省西安市高新一中中考数学七模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2020的相反数是（）
A．﹣2020B．2020C．D．﹣
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）
A．40°B．50°C．80°D．90°
4．（3分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k 的值为（）
A．3B．C．﹣3D．﹣
5．（3分）下列计算正确的是（）
A．a2+a3＝a5B．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2
C．a8÷a4＝a4D．（a+b）2＝a2+b2
6．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）
A．24B．30C．36D．42
7．（3分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）
A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x2
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）
A．1B．C．2D．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（）
A．πB．πC．2πD．2π
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图形与x轴有N个交点，则（）
A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000km2．把370000这个数用科学记数法表示为．
12．（3分）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过菱形
OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE的最小值为．
三、解答题（共78分）
15．（5分）计算：+（﹣）﹣2﹣3tan60°+|π﹣2|．
16．（5分）解方程：
17．（5分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．
19．（7分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所
示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝，n＝；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
20．（7分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
21．（7分）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示．
（1）第6天日销售量为千克，第18天的销售金额为元；
（2）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？
22．（7分）英语26个字母中包含5个元音字母和21个辅音字母，其中元音字母分别是：A、
E、I、O、U．现有甲、乙、丙三个不透明的袋子，分别装有若干个除标记的字母外完全
相同的小球，其中，甲袋装有2个小球，小球上分别写有字母A和B；乙袋装有3个小球，小球上分别写有字母C、D和E；丙袋装有2个小球，小球上分别写有字母H和I．（1）从乙袋中随机地摸出1个小球，恰好写有元音字母的概率是；
（2）将三个袋子摇匀后，然后从这3个袋中各随机地摸出1个小球，求摸出的3个小球上全部写有辅音字母的概率．
23．（8分）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC 相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝10，tan∠ABC＝，求AD的长．
24．（10分）将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．
（1）请求出抛物线C2的表达式；
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x
轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
25．（12分）[问题探究]
如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，则AC+CE的最小值是；
[尝试应用]
如图2，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△
PCD，求△PCD周长的最小值．
[实践创新]
如图3，sin O＝，长度为2的线段DE在射线OB上滑动，点C在射线OA上，且OC ＝5，△CDE的两个内角的角平分线相交于点F，过F作FG⊥DE，垂足为G，求FG的最大值．
2020年陕西省西安市高新一中中考数学七模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2020的相反数是（）
A．﹣2020B．2020C．D．﹣
【分析】根据a的相反数是﹣a，可直接得结论．
【解答】解：2020的相反数是﹣2020．
故选：A．
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，是两个上下层矩形，图形中间的线段是实线．
故选：A．
3．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）
A．40°B．50°C．80°D．90°
【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°，
∴∠FED＝90°﹣∠BED＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠FED＝50°．
故选：B．
4．（3分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k 的值为（）
A．3B．C．﹣3D．﹣
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故选：A．
5．（3分）下列计算正确的是（）
A．a2+a3＝a5B．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2
C．a8÷a4＝a4D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2+a3，无法合并，故此选项错误；
B、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此选项错误；
C、a8÷a4＝a4，正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：C．
6．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）
A．24B．30C．36D．42
【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB?DH+BC?CD＝×6×4+×9×4＝30，故选：B．
7．（3分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）
A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x2
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，
y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D 不符合题意，
故选：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）
A．1B．C．2D．
【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即DE＝；
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（）
A．πB．πC．2πD．2π
【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．【解答】解：连接OB，OC．
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴的长为＝π，
故选：A．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图形与x轴有N个交点，则（）
A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1
【分析】解方程（x﹣a）（x﹣b）＝0可判断抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴有两个交点，则M＝2，当y＝0时，（ax+1）（bx+1）＝0，讨论：当a≠0，b≠0或a＝0，b≠0或b＝0，a≠0可得到函数与x轴的交点个数，从而得到N的值，然后对各选项进行判断．【解答】解：当y＝0时，（x﹣a）（x﹣b）＝0，解得x1＝a，x2＝b，抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点为（a，0），（b，0），
所以M＝2，
当y＝0时，（ax+1）（bx+1）＝0，当a≠0，b≠0，解得x1＝﹣，x2＝﹣，抛物线y ＝（ax+1）（bx+1）与x轴的交点为（﹣，0），（﹣，0），此时N＝2，
当a＝0，b≠0，或b＝0，a≠0时，函数y＝（ax+1）（bx+1）为一次函数，则N＝1，所以M＝N，M＝N+1．
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000km2．把370000这个数用科学记数法表示为 3.7×105．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：370000用科学记数法表示应为3.7×105，
故答案是：3.7×105．
12．（3分）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质和三角函数求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；
则OG＝2，
∵六边形ABCDEF正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴OA＝＝＝，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
故答案为：．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为．
【分析】过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），求出C、E的坐标，代入函数解析式，求出a，再根据勾股定理求出b，即可请求出答案．
【解答】解：过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，
设D点的坐标为（a，b）则C点的坐标为（a+3，b），
∵E为AC的中点，
∴EF＝CM＝b，AF＝AM＝OQ＝a，
E点的坐标为（3+a，b），
把D、E的坐标代入y＝得：k＝ab＝（3+a）b，
解得：a＝2，
在Rt△DQO中，由勾股定理得：a2+b2＝32，
即22+b2＝9，
解得：b＝（负数舍去），
∴k＝ab＝2，
故答案为：2．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE的最小值为 4.8．
【分析】过C作CF⊥AB于点F，利用勾股定理建立方程便可求得CF，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，可以证明此时DE取最小值时，DE＝CF．
【解答】解：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OA＝OC，DE＝2OD，
∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，
过C作CF⊥AB于点F，则∠CFD＝∠EDF＝90°，
∵平行四边形ADCF中AD∥CE，即AB∥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DE＝CF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
设BF＝x，则AF＝5﹣x，
∵BC2﹣BF2＝CF2＝AC2﹣AF2，
即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，
解得，x＝3.6，
∴BF＝3.6，
∴CF＝，
∴DE的最小值为4.8．
故答案为4.8．
三、解答题（共78分）
15．（5分）计算：+（﹣）﹣2﹣3tan60°+|π﹣2|．
【分析】首先利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，然后再算加减即可．
【解答】解：原式＝3+4﹣3+π﹣2＝2﹣π．
16．（5分）解方程：
【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：去分母，得：2x﹣5+3（x﹣2）＝3x﹣3，
去括号，得：2x﹣5+3x﹣6＝3x﹣3，
移项，合并，得：2x＝8，
系数化为1，得：x＝4，
经检验，当x＝4时，x﹣2≠0，即x＝4是原分式方程的解，
所以原方程的解是x＝4．
17．（5分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
【解答】解：如图，点M即为所求，
18．（5分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC
∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE
∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠C＝∠E
19．（7分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝36，n＝16；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
【分析】（1）由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
（2）根据百分比的概念可得m、n的值；
（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比．
【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人），
航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人），
补全图形如下：
（2）m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，
即m＝36、n＝16，
故答案为：36、16；
（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%＝192（人）．
20．（7分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天
的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质可求出CK的长．
【解答】解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，
∵AH∥DK，
∴∠CDK＝∠A，
而∠CKD＝∠AHD，
∴△CDK∽△DAH，
∴＝，即＝，
∴CK＝．
答：出南门步恰好看一到位于A处的树木．
21．（7分）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示．
（1）第6天日销售量为12千克，第18天的销售金额为100.8元；
（2）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得各段对应的函数解析式，从而可以得到第6天日销售量和第18天的销售金额；
（2）根据（1）中的函数解析式和题意，可以得到相应的不等式组，从而可以求得此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天．
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y＝kx，
15k＝30，得k＝2，
即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y＝2x，
当x＝6时，y＝2×6＝12，
即第6天日销售量为12千克，
当15＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当15＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣6x+120，
当x＝18时，y＝﹣6×18+120＝12，
当10≤x≤20时，设p与x的函数关系式为p＝mx+n，
，得，
即当10≤x≤20时，p与x的函数关系式为p＝﹣0.2x+12，
当x＝18时，p＝8.4，
故第18天的销售金额为：8.4×12＝100.8（元），
故答案为：12，100.8；
（2），
解得，12≤x≤16，
16﹣12+1＝5（天），
即此次销售过程中“最佳销售期”共有5天．
22．（7分）英语26个字母中包含5个元音字母和21个辅音字母，其中元音字母分别是：A、
E、I、O、U．现有甲、乙、丙三个不透明的袋子，分别装有若干个除标记的字母外完全
相同的小球，其中，甲袋装有2个小球，小球上分别写有字母A和B；乙袋装有3个小球，小球上分别写有字母C、D和E；丙袋装有2个小球，小球上分别写有字母H和I．（1）从乙袋中随机地摸出1个小球，恰好写有元音字母的概率是；
（2）将三个袋子摇匀后，然后从这3个袋中各随机地摸出1个小球，求摸出的3个小球上全部写有辅音字母的概率．
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得取出的3个小球上全是辅音字母的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）从乙袋中随机地摸出1个小球，恰好写有元音字母的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，
∴取出的3个小球上全是辅音字母的概率是：＝．
23．（8分）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC 相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝10，tan∠ABC＝，求AD的长．
【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD＝∠BAD求得∠ABD＝∠OAD，再由∠BCO＝∠D＝90°及∠BOC＝∠AOD求得∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE ＝OC，依据切线的判定可得；
（2）先求得∠EOA＝∠ABC，在Rt△ABC中求得AC＝24、AB＝26，由切线长定理知BE＝BC＝10，继而得BO，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵AD⊥BO于点D，
∴∠D＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∵∠AOD＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠OAD，
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
∴∠BCO＝∠D＝90°，
∵∠BOC＝∠AOD，