陈家璧版_光学信息技术原理及应用习题解答(1-3章)

第一章习题

1.1 已知不变线性系统的输入为

()()x x g com b = 系统的传递函数??

?

??b f Λ。若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '

。并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，

（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ23

2

+1=?

???

??1+3

1

+1-3

1

+=F 图形从略。

1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L

a 1<

，W

b 1<

，试证明

()()y x f y x f b

x a x ab ,,sinc sinc =*??

?

????? ??1

证明：

(){}(){}(){}()

()(){}(){}()y x,f b

x

sinc a x sinc ab bf af

rect y x f y x,f bf

af rect y x f W f L f rect y x f y x,f y

x

y

x y x *??

?

????? ??1

=

=∴=????

??=,,F F

,,F ,,F F 1

-

（2）如果L

a 1>， W

b 1>，还能得出以上结论吗？

答：不能。因为这时(){}(){}()y

x y

x bf af rect y x f W

f L f rect y x f ,,F ,,F ≠???

? ??。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为

()()()y x y x h δ77=sinc ,

试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,

答：

()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}x

cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f

y x g x πππδπ4=4=???

?

????? ??74=74==1

-1

-1

-1

1

-1F F F F

F F F ,F ,F F

,

（2）()()??

? ??75??? ??754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：

()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()??

?

??75???

??754??

???

??

???

??77575?75*4=?

?

??

??

7???

?

?

???? ??75??? ??754==1

-1

-1

1

-2y rect x

rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x

rect x cos y x h y x f

y x g x y

x

ππδπF F

F F F ,F ,F F

,（3）()()[]??

?

??758+1=3x rect x cos y x f π, 答：

()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}??

?

??75=75??

??

?

??

??? ??775??

??

?????? ??7??

? ??75*???

??4+81+4-81+=?

??

?

??

??? ??775*8+1=?

?????7???

??????

??758+1=1

-1

-1

-1

-1

-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f

sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y

x

x y x

x y x

x x x y x

δδδδδπδπF F

F

F F

F F F

,

（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：

()(

)()()(){}()(){}{}

()()()()()()()()()()()()(){}

()()

x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f

f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb

y x g y x y x y x y x y x

x y x y x y x y x x

y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=????????? ??7???

?

?-3-2120-1+6370+1-6370+41=??

??????????? ??7?

??

? ??

???? ??2??? ??41

=722*=1

-1

-1

-1

-2...,.,.,.,.,F

,.,.,.,F F

F F F

,δδδδ0.25δδδ

1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()(

)x x rect x comb x g i Λ*??

?

?????? ??50???

??331

=

对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）()??

?

??2=f f H rect （2）()??

?

??2-??? ??4=f f f H rect rect 略.

1.5 若对二维函数

()()ax a y x h 2

=sinc

,

抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。 答：(){}(

){}()y x f δa f ax sinc

a y x h ??

?

??==2

ΛF ,F

≤∞21=

21≤

∴Y a

B X x

;

也就是说，在X 方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ，在y 方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用b a ?表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 ()()??

?

????? ????????

??? ?????

??=b y a x Y y X x y x g y x g s rect rect comb comb ,, 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复()y x g ,。 答：因为b a ?表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复()y x g ,也有贡献，不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”()()x y x f δ=,，系统对线脉冲的输出响应称为线响应()x L 。如果系统的传递函数为()y x f f H ,，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿x f 轴的截面分布()0,x f H 。

证明：(){}()(){}()()()0==*=,,,F F x y x y f H f f H f δy x h x x L δ

1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间x x B f ≤，y y B f ≤之外恒为零，系统输入为非限带函数()y x g ,0，输出为()y x g ,'

。证明，存在一个由脉冲的方形阵列

构成的抽样函数()y x g ,'

0，它作为等效输入，可产生相同的输出()y x g ,'，并请确定()y x g ,'

0。

答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P45。 为了便于从频率域分析，分别设：

物的空间频谱 00(,){(,)}x y A f f g x y =F ； 像的空间频谱 (,){(,)}i x y i A f f g x y =F ； 等效物体的空间频谱 00'(,){'(,)}x y A f f g x y =F ； 等效物体的像的空间频谱 00'(,){'(,)}.x y A f f g x y =F

由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在,x x y y f B f B ≤≤之外恒为零，故可将其记为：

(,)22y x x y x y f f H f f rect rect B B

????

? ? ????

?

、 利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为

0(,)(,)22(,)

y x x y x y x y i x y f f A f f H f f rect rect B B A f f ??

??

? ? ????

?

= 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办

法是把0(,)22y x

x y x

y f f

A f f rect rect

B B

??

??

? ? ????

?

安置在x y f f 平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)x y B n B m 点周围，选择矩形格点在x f 、y f 方向上的间隔分别为2x B 和2y B ,以免频谱

混叠，于是

()00'(,)(,)2,222y x x y x y x

x y y n m x y f f A f f A f f rect rect f

B n f B n B B

δ∞∞=-∞=-∞??

??

=*-- ? ? ????

?

∑∑

01

(,)22422y y x x x y x y x y x y f f f f A f f rect rect com b com b B B B B B B ??????

??=* ? ? ? ? ? ????????

?

对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许0'(,)x y A f f 的中央一个周期成份（0n m ==）通过，所以成像的谱并不发生变化，即

0'(,)(,)22y x x y x y x y f f A f f H f f rect rect B B ??

??

? ? ?????

'(,)i x y A f f = (,)i x y A f f =

第二章习题：

2.1 一列波长为λ的单位振幅平面光波，波矢量k 与x 轴的夹角为0

30，与y 轴夹角为

60，试写出其空间频率及1z z =平面上的复振幅表达式。

答：λ23=x f , λf y 21

= , ()()()000???? ?

?21+=1,,,,U y x e x p j 2j k z e x p z y x U 1λ2λ3π

2.2 尺寸为a ×b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面

上的透射光场的角谱。 答：()?

?

? ????? ??=b y rect a x rect y x U , ，??? ?

???

?

?

?=??? ??λβλλcos b sinc α

cos a

sinc ab β

cos λαcos A , ，

2.3 波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的

模板，其振幅透过率为()??

?

??

32+150=0λπ0

x cos

x t .，求紧靠孔径透射场的角谱。 答:：

???

????

? ????? ??31++??? ??31-250+??? ??50=?

??

????

? ????? ??1+33+??? ??1-3250+??? ??50=??? ??λβδλλαδλλαδλβλαδλβδλαλλδλαλ3λλβλαδλβλαcos cos cos cos cos cos cos cos δcos cos cos cos A .,..,.,

2.4 参看图2-13，边长为a 2的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落

在()ηξ,点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出0==ηξ时，孔径频谱在x 方向上的截面图。

图2.13 （2.4题图）

答：()??

? ??-??? ??--???

??2???

??2=000

000a ηy rect a ξx rect a

y rect a x rect y x t , (){}()()()()()()y x

y

x y

x

f f

a j2-exp af

sinc af sinc a

2af sinc 2af

sinc a y x t +-4=2

200π,F

()()()??

?

?????? ?

???? ??+??? ????

? ??-??

?

????

?

??4????

??+1

=2

2

22z y z x

a j2-exp z

λy a sinc z

λx a sinc a z

λy 2a sinc z λx 2a sinc a y x 2z k j exp jkz exp z λj y x U λλπ,

()2

222

?

?

? ?

???? ??+???

????? ??-???

??

??? ??41

=

z y z x

a j2-exp z

y

a sinc z x a sinc a z y 2a sinc z x 2a sinc a z

y x I λλπλλλλλ2,

2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距为

d 。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍

射图样的强度分布。假定a b 4=及a d 51=.，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差π，上述结果有何变化？

图2.14（2.5题图）

答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P73。 （1）如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,)2

d 及(0,)2

d -

的矩形孔径振幅透射率

之和：

11111122(,)(

)(

)()(

)d

d

y y x x t x y rect rect rect rect a

b a

b

-

+=+ （1）

由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

011(,)1U x y = ，

透射光场

1111110111122(,)(,)(,)(

)(

)()()d

d

y y x x U x y U x y t x y rect rect rect rect a

b a

b -

+==+ （2）

由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

11(,)U x y ，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标0

,x y x y f f z

z

λλ=

=

），即

{}22000011exp()exp

()2(,)(,)k jkz j x y z U x y U x y j z

λ??

+????

=

?F

（3）

利用傅立叶变换的相移定理，得到

{}111

1

1122(,)()()()(

)d d y y x x U x y rect rect rect rect a b a b ?

??

?-

+

????=+??????

??

??

??

F F F

sin ()sin ()[exp()exp()]x y y y ab c af c bf j f d j f d ππ=?-+

02sin ()sin (

)cos(

)ax by dy ab c c z

z

z

πλλλ=?

把它带入（3）式，则有

220000000exp()exp

()2(,)2sin ()sin ()cos()k jkz j x y ax by dy z U x y ab c c j z z z z

πλλλλ??

+????

=

??

强度分布

2220

00002(,)sin sin cos ax by dy ab I x y c c z z

z z πλλλλ??????

??= ?

? ? ?????????

不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。

双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：

11111111(,),,22x y d d t x y rect rect x y x y a b δδ?????????

?=*-++ ? ? ? ????

????????? （4）

它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。

2.6 图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为()()00=x x t step 。采

用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振幅分布。画出在x 方向上的振幅分布曲线。

图2.15 （2.6题图）

答：(){}(){}()()???

????????2+??? ??21=??????21

+

21

==000z y δx j z z x f δf j f x step y x t y x x λπλλδπδF ,F ()()()()??? ?????

? ?????? ?

?+21-??? ??2=

??

?

????????2+??? ??21???? ??+1

=

2

22z y 2z x z jk exp πz

y

z x z j jkz exp z y δx j z z x

y x 2z k j exp jkz exp z j y x U λδx λλδλλπλλδλ,

,

振幅分布曲线图从略。

2.7 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明：（1）不论孔径的形状如

何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布()y x g ,是一个实函数，其傅里叶变换()y x f f G ,是厄米型函数，即： ()()y x y x f f G f f G --=,,*

因此()()()()y x y x

y x y x f f I f f

G f f G f f I --=--==2

2

,,,,*

，

所以夫琅和费衍射图样有一个对称中心。

（2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为y 轴建立坐标系。有：

()()y x g y x g ,,-= 因此 ()()y x y x f f G f f G ,,*-= 同时 ()()y x y x f f G f f G --=,,* 所以

()()()

()()

y

x

y

x

y x

y x y x

f f

G f f

G f f

G

f f G f f

G

-==-=-,,,,,*

*

可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

2.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N 个形状和方位都相同的全等形开孔，在每

一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。

证明：假设置于原点的一个孔径表示为()000y x t ,，N 个处于代表孔位置的点上的点光源表示为()i i N

y y x x --∑,δ，则衍射屏的透过率可表示为

()()()i i N

y y x x y x t y x t --*=∑00000,,,δ，

其傅里叶变换可表示为

(){}(){}()?

???

??--?=∑00000i i N

y y x x y x t y x t ,F ,F ,F δ，

该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。

2.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数

()??

?

?????

??21

+

2

1=2a r ar r t circ cos （1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2）给出此屏的焦距表达式。

（3）什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩色物体）？ 答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P116。 （1）解

衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式：

22

11(,)cos[()]22t x y x y circ l

α???

=++?? ???

?

2222

111exp[()]exp[()]244j x y j x y circ l

αα???

=+-+++??? ???

?

（1） （1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子22exp ()2k

j

x y f ?

?

-+????

比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似

与透镜，因子circ l

?

?

?

表明该屏具有半径为l 的圆形孔径。 （2）解

把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于

2

2

1exp[()]4

j x y α-+项，令1

2k f α=

，则有

12k f πα

λα

=

=

焦距1f 为正，其作用相当于会聚透镜，对于

2

2

1exp[()]4

j x y α+项，令2

2k f α-=

，则有

12k f πα

λα

=-

=-

焦距2f 为负，其作用相当于发散透镜，对于“12

”这一项来说，平行光波直接透过，仅振

幅衰减，可看作是 3f =∞ （3）解

由于改衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长λ成反比。例如取

red 6900A λ=。

，blue 4000A λ=。

，则有

40006900

red blue f f =

0.57blue f ≈

这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。

这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。

2.10 用波长为

A 6328=λ的平面光波垂直照明半径为mm 2的衍射孔，若观察范围是与衍

射孔共轴，半径为mm 30的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。 答：由式(2.55)2

21203

+4??)(L L z λ

π及式(2-57))(2

12

020y x k z +??

有菲涅耳衍射和夫琅和费

衍射分别要求 2

21203

+4??

)(L L z λπ即()

mm z 7398=15

+1

10

?63280?4??3

2

2

2

3

-..π

()mm πy x k z 64964=110

?63280=

+2

1

??2

3

-2

02

0..

2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a 的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在

轴上的强度分布。 答：圆形孔径的透过率可表示为

()()???

?

??+=∴???

?

?

?+=2020000202000a

y x circ

y x U a

y x circ

y x t ,, 根据式(2.53)有

()()()()()0

0002020∞

∞

-202022???

???+2-??

????+2?????

?

?

?

+???

???+2=

??dy dx yy xx z j exp y x z k j exp

a y x circ y x z k

j exp z j jkz exp y x U λπλ,

轴上的振幅分布为

()()()()()???

?

???????2-1=??????2=

??????+2??

?

?

?

?

+=

002200

20

02020∞

∞

-2020????a z k j exp jkz exp rdrd r z k j exp

z

j jkz exp dy dx y x z k j exp a y x circ z

j jkz exp z U a

θλλπ,,

轴上的强度分布为

()()?

?

? ??44=?

??

?????? ??2-12=??? ????????2-1=00222a z k sin a z k cos a z k j exp jkz exp z U 2

,,

2.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 ()d

x cos b a x t 002+=π

式中，d 为光栅周期，0>>b a ，0>>b a 。观察平面与光栅相距z 。当z 分别取下列各数值：（1）λ

2

2=

=d

z z T ；（2）λ

2

=

2

=

d

z z T ；（3）λ

2=

4

=

2

d

z z T （式中T z 称作泰伯距离）

时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为 ()d

x cos b a y x U 0002+=π,

强度分布为

()2

000??? ?

?

2+=d x cos b a y x I π,

角谱为

()()()()?

?

?

????? ??1++??? ??1

-2+=+2-??? ??

2+=??∞

∞

-0

00000y x y

x y x y x y x f d f f d

f b f f a dy dx f y f x j exp d x cos b a f f A ,,,,δδδππ

传播距离z 后，根据式(2.40)得到角谱

()()()()

[

]

()()()[]

()[]??

?

?????

??? ??-1??? ????? ?

?

1++??? ??1

-+=--1???

?

?

???? ????? ?

?

1++??? ??1

-2+=--1=22

22

2

0d λδδδλλδδδλλjkz exp f d f f d f 2b jkz exp f f a f f jkz exp f d f f d f b f f a f f jkz exp f f A z f f A y x

y

x y x y x y x

y x y x y x y x y x ,,,,,,,,, 利用二项式近似有

()??? ??-=?????????? ????? ??21-1????

???????? ??-1222d λz πj exp jkz exp jkz exp jkz exp d λd λ 故

[]()????

?

???????-??

? ????? ?

?

1++??? ??1

-+=2d λz πj exp f d f f d f 2b f f a jkz exp z f f A y x

y x y x y x ,,,),,(δδδ （1）λ

2

2=

=d

z z T 时

()???

?

?

???? ????? ?

?

1++??? ??1

-+??????4=2

2

y x

y x y x y x f d f f d f 2b f f a λd πj exp z f f A ,,,),,(δδδ 与()y x f f A ,0仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。

（2）λ

2

=

2

=

d

z z T 时

()???

?

?

???? ????? ?

?

1++??? ??1

--??????4=2

2

y x

y x y x y x f d f f d f 2b f f a d j exp z f f A ,,,),,(δδδλπ 对应复振幅分布为

()d

d x cos2b a d

x cos b a y x U 2

-+=2-=π

π

,

因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。 （3）λ

2=4=

2

d

z z T

[]()????

?

???????2-??

? ????? ?

?

1++??? ??1

-+=πδδδj exp f d f f d f 2b f f a jkz exp z f f A y x

y x y x y x ,,,),,( 对应复振幅分布为

()

()??

?

??

?

2-=d x cos jb a jkz exp y x U π, 强度分布为

()

d

x cos b a y x I 2

π2+=22,

2.13 图2.16所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为n ，齿宽为a ，齿形角为α，光栅

整体孔径为边长L 的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求距离光栅为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大，α应如何选择？

图2.16（2.13题图）

答：在如图的透射式锯齿型位相光栅中，单位振幅的单色平面波由光栅的背后平面入射垂直照明，则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示为 ()()()???

????? ????

? ??1*??? ??=00L y rect L x rect a x comb a a x rect 1n-jkxtg exp y x U α,

其角谱为

()()

()()()()()()()()()()()()y

x

y x x y

x

y x

x y

x

y x x

x y x 00y x sincLf

sincLf L f m af n tg f a sinc a sincLf

sincLf L f af comb n tg f a sinc a sincLf

sincLf L f af comb af

asinc n tg f dy dx f y f x j exp y ,x U f f A 2

2

2∞

∞-0

0000*???

? ??-???? ????? ??1--=*???

? ?????? ????? ??

1--=*??

?

???*??? ?

?

1--=+2-=∑??δδλαδλαδλαδπ,

若让衍射图样中的m 级谱幅值最大，应选择α使得 ()a

m

λ1n-αtg = 因而有 a

λm tg

n α1

-1

-1=

2.14 设)(x u 为矩形函数，试编写程序求41=p ，21，43时，其分数阶傅里叶变换，

并绘制出相应()

()ξp U

的曲线。

答：根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)

()(){}()

()dx x g x j x j j x g G a ?∞

∞

-??

?

???-+???

???????

?

??

??????

???? ??--==αξαξα

παπξsin tg 2exp sin 22

exp 222

1

F 以及式 π

α2

=p (2.79)

即可编程计算41=p ，21，43时的分数阶傅里叶变换。

第三章 习题

3.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相

位因子

???

?????????

?

?+≈??????+22

20

2

02002exp )(2exp M y x d k j

y x d k j i i 试问

（1）物平面上半径多大时，相位因子

??

????+)(2exp 2

0200y x d k j

相对于它在原点之值正好改变π弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为a 的圆，那么在物平面上相应h 的第一个零点的半径是

多少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a ，λ和d o 之间存在什么关系

时可以弃去相位因子

??

????+)(2exp 2

0200y x d k j

3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为

0002cos 2

121),(x f y x t π+=

放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x 0z 平面内，与z 轴夹角为θ。透镜焦距为f ，孔径为D 。

（1）求物体透射光场的频谱；

（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；

(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？

3.3光学传递函数在f x = f y =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？

3.4当非相干成像系统的点扩散函数h I （x i ，y i ）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。

3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a ，出瞳到像面的距离为d i ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？

3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像 解：如图

设1∑是透过率函数为),(00y x t 的物平面，2∑是与1∑共轭的像平面，即有

f

d d i

1110

＝+

式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：

（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场l U ； （2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后，在透镜的后表面上形成衍射场

'

l U ，这个场传到像面上形成物体的像。

为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为

??∞

∞

-+-++=

000

00

2

20000

2

2

22dy dx d yy xx jk

d y x jk

y x t d λj d y x jk U i

l )exp()exp(),()

exp(

这里假定),(00y x t 只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为∞±，此积分可以看成

(t 0d

i d

是函数)exp(),(0

2

20002d y x jk

y x t +的傅立叶变换，记为),(y x f f F ，其中

d λy f d λx f y x =

=,

在紧靠透镜后表面处

)exp(),()

exp('

f

y x jk

f f F d λj d y x jk

U y x l 222

20

2

2++=

这个被透镜孔径所限制的场，在孔径上发生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面2∑上的光场

??∞

∞

-+-+'+=

dxdy d yy xx jk

f

y x

jk

U d λj d y x jk

y x U i

i

i l i

i

i

i i i i )exp()exp()

exp(),(222

2

2

2

??

∞

∞

-+-++-++=

dxdy

d yy xx jk

d y

x

jk

f

y x

jk

d λj d y

x

jk

f f F d λj d y x jk i

i

i i

y x i

i

i

i )exp()

exp()exp()

exp(),()

exp(22222

2

2

2

2

2

2

2

??

∞

∞

-+--

+

++=

dxdy

d yy xx jk

f

d d y x

jk

f f F d d λd y x jk i

i

i i

y x i

i

i

i )exp()](

exp[),()

exp(1112

20

2

2

02

2

2

由题设知，

01110

=-+f

d d i

并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径

的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为

??

∞

∞

-+-+-

=dxdy d yy xx jk

f f F d d λd y x jk

y x U i

i

i y x i

i

i

i i i i )exp(),()

exp(),(02

2

22

??

∞

∞

-+-+-

=dxdy d λy y

d λx x

πj f f d λy

d λx

F d d λd y x jk i

i i

i y x i

i

i

i )(exp(),,

(

)

exp(220

002

2

2

注意

,,,0

0d λdy df

d λdx df

d x d x y

x

i

i =

=

-

= 于是得

??∞

∞

-+-+-

=y

x y x y x

i i

i

i i i i df

df yf xf πj f f

F d d d y x jk

y x U ))(exp(),(/)

exp(),(220

2

2

2

20002

2

022d y x jk

y x t d y x jk

d d i

i

i i

++-

=exp(),()exp(

),()exp()exp(000

2

202

2

022y x t d y x jk

d y x jk

d d i

i

i i

++-

=

再考虑到0x 和i x 之间的关系得到

),(i

i

i

i

i

i d d y d d x t d d U 000--=

即得到像平面上倒立的，放大

d d i 倍的像。

3.7 试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。

解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数

)()(a

x

rect a x L 1

=

其传递函数为 x

x x af

πaf πf H )sin()(=

对于大气扰动系统，设目标物为一细线，若没有大气扰动，则理想成像为一条细线。由于大气扰动，使在爆光期间内细线的像作随机晃动，按照概率理论，可以把晃动的线像用高斯函数描述。设晃动摆幅的均方根值为a ，细线的线扩散函数为

)exp()(2

2221a

x

a

πx L -

=