广东省汕头市金山中学2020-2021学年高一上学期期末考试 数学 含答案
汕头市金山中学2020级高一第一学期期末考试数学科参考答案
19.【解】(1)原式3441
12992
=
--+=; (2)28lg 492lg 722log 49lg 282lg 2lg 72(1lg 5)22=
===+-+-+b b
b a b
. 20.【解】(1)∵全集U =R ,集合{
}
2
|80{|08}A x x x x x =-<=<<,
11|3{|12}93x
B x x x ????
??=≤≤=-≤≤?? ???????
,
{|18}A B x x ∴=-≤<,
{|0U
x A x =≤或8}x ,
(){|10}U B x x A ∴=-≤≤;
(2)∵{|12}B x x =-≤≤,集合{}|32,,C x a x a a R B
C B =-≤≤∈=,∴B C ?,
∴323122a a a a -?
-≤-??≥?
,解得12a ≤≤. ∴实数a 的取值范围是[1,2].
21.【解】(1)已知2,
0πα?
∈?
??
?
,3
cos 5
α=
,所以24sin 1cos 5
αα
,sin 4
tan cos 3
ααα=
=, 所以
sin 4cos tan 4
16sin cos tan 1
αααααα++==--. (2)因为2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525ααααα===-=-
,所以724sin 2sin cos 2cos sin 244422522550πππααα????-=-=--?=-
? ???
??. 22. 【解】(1)先求矩形PMON 面积的最大值:设BOP θ∠=,0,2πθ?
?∈ ??
?
, 则2cos ,2sin PM PN ==θθ,
2sin 2PAOON S PM PN =?=θ,
∴当22
=
π
θ,即4
π
θ=
时,max 2S =
此时,PM MO ==
4
π
θ=
.
(2)过Q 点作QS OB ⊥垂足为S ,设,,42BOQ ??∠=∈
??
?ππαα 在Rt QOS 中,有2sin ,2cos QS OS ==αα,
则2cos ,2sin RQ RM ==αα
∴)1
2cos 2sin 2sin cos sin c (s 1o 2
PQRM S αααααα=
+=+--梯形
令sin cos 4t ?
?=-=
- ??
?πααα,
∵,42??
∈
???
ππα,∴(0,1)t ∈, 此时22sin cos 1t =-αα
,则2
21
22QPMR
S t t ??=-+=--+ ? ??
?,
当t =
时,QPMR S 的最大值为12
∴方案裁剪出内接五边形ONPQR 面积最大值为252
m ,即利用率1
2522ππ
+
=。
23.【解】(1)当t e =-时,不等式()0f x ≥,即为(
)(
)
10x
x
e e e +-≥, 也就是x e e ≥,解得1≥x ,所以,不等式()0
f x ≥的解集为[)1,+∞; (2)不等式()1()141x
x x f x e e e <++
-+即为()21(1)141
x x x
x
x t e t e e e e +++<++-+, 化简,即()
()2
1
4
11x x
t e e
<
-
++对任意x ∈R 恒成立,
记()
()
2
1
4
()()11x
x h x x R e e =
-
∈++. 由于当x ∈R 时,()10,11x e ∈+,则2
1()24(3,0)1x h x e ??=--∈-??+??
. 所以,max 3t =-.
(3)由于函数()
2
()
1()1111x x x x
f x e t t
g x e e e
+-=
==++++是“可构造三角形函数”,
首先,必有0t ≥才能保证()0>g x ;其次,必需max min ()2()g x g x <,
而当01t ≤<时,1
()111
x x x
e t t g x e e +-==+++是R 上的增函数,则()g x 的值域为(),1t , 由1
1212
t t ≤?
≤<; 当1t =时,()1g x =,符合题意;
而当1t >时,1
()111
x x x
e t t g x e e +-==+++是R 上的减函数,则()g x 的值域为()1,t , 由212t t ≤?<≤; 综上,1,22t ??∈???
?
.