数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

一．知识要点

1．曲线方程

步骤含义说明

1、“建”：建立坐标

系；“设”：设动点坐

标。

建立适当的直角坐标

系，用(x,y)表示曲线上任

意一点M的坐标。

(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接

设点。

(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐

标系。

2、现(限)：由限制条

件，列出几何等式。

写出适合条件P的点M

的集合P={M|P(M)}

这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析

题意，使写出的条件简明正确。

3、“代”：代换用坐标法表示条件

P(M)，列出方程f(x,y)=0

常常用到一些公式。

4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简

形式。

要注意同解变形。

5、证明证明化简以后的方程的

解为坐标的点都是曲线

上的点。

化简的过程若是方程的同解变形，可以不

要证明，变形过程中产生不增根或失根，

应在所得方程中删去或补上(即要注意方程

变量的取值范围)。

（2）求曲线方程的常见方法：

直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。

转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。

2．圆锥曲线综合问题

（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题

通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。

圆锥曲线的弦长求法：

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：

若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。

（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。

（3）实际应用题

数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。

涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：

实际问题

模型的解

数学模型方程 讨论方程的解

翻译回去

建立坐标系 转化成数学问题

（4）知识交汇题

圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。 二．典例解析 题型1：求轨迹方程

例1．（1）一动圆与圆2

2

650x y x +++=外切，同时与圆2

2

6910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

（2）双曲线2

219

x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ?的重心M 的轨迹方程。

解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，

将圆方程分别配方得：2

2

(3)4x y ++=，2

2

(3)100x y -+=， 当M e 与1O e 相切时，有1||2O M R =+ ① 当M e 与2O e 相切时，有2||10O M R =- ② 将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=， 即2

2

2

2(3)(3)12x y x y +++-+= ③ 移项再两边分别平方得：

222(3)12x y x ++=+ ④

两边再平方得：2

2

341080x y +-=，

整理得

22

13627

x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是

22

13627

x y +=，轨迹是椭圆。 （法二）由解法一可得方程2

2

2

2

(3)(3)12x y x y +++-+=，

x

y

1O

2O

P

由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，

∴26c =，212a =，∴3c =，6a =，

∴2

36927b =-=，

∴圆心轨迹方程为

22

13627

x y +=。 （2）如图，设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中3,1a b ==，

∴c =

=∴

已知双曲线两焦点为12(F F ， ∵12PF F ?存在，∴10y ≠

由三角形重心坐标公式有11(300

3x x y y ?++=???++?=??

，即1133x x y y =??=? 。

∵10y ≠，∴0y ≠。

已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有2

2(3)(3)1(0)9

x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2

2

91(0)x y y -=≠。

点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。

例2．（2001上海，3）设P 为双曲线-4

2x y 2

＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。

解析：（1）答案：x 2－4y 2＝1 设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）

∴2

,200y

y x x ==

∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴4

42

x －4y 2＝1?x 2－4y 2＝1

点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。 题型2：圆锥曲线中最值和范围问题

例3．（1）设AB 是过椭圆x a y b a b 222

210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为

F c 10()-，，则△F 1AB 的面积最大为（ ）

A. bc

B. ab

C. ac

D. b 2

（2）已知双曲线x a y b

a b 222

2100-=>>()，的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线

的右支上，且||||PF PF 124=，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A.

4

3

B.

53

C. 2

D.

72

（3）已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆

x y 22

259

1+=上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ） A. 10

B. 105-

C. 105+

D. 1025+

解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半。又||OF c 1=，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为

1

2

cb 。所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。

点评：抓住△F 1AB 中||OF c 1=为定值，以及椭圆是中心对称图形。 （2）解析：由双曲线的定义， 得：||||PF PF a 122-=，

又||||PF PF 124=，所以322||PF a =，从而||PF a 223

= 由双曲线的第二定义可得

||PF x a

c

c

a 22

-

=， 所以x a c =532。又x a a c a ≥≥，即

532，从而e c a =≤5

3

。故选B 。 点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532

a c

a ≥成立的条件。利用这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出e 的取值范围。

（3）解析：易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。连PB ，PF 。由椭圆的定义知：

||||PB PF +=10，

所以||||||||||||(||||)PB PF PA PB PA PF PA PF =-+=+-=+-101010，所以。 由平面几何知识，

||||||||PA PF AF -≤，即(||||)||min PA PB AF +=+10，

而||()()AF =

-+-=3420522，

所以(||||)min PA PB +=+105。

点评：由△PAF 成立的条件||||||||PA PF AF -<，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出||||||||PA PF AF -≤这一关键结论。

例4．（1）（06全国1文，21）设P 是椭圆()22

211x y a a

+=>短轴的一个端点，Q 为

椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值。

（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，

左焦点为(3,0)F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ?? ???

.

①求该椭圆的标准方程；

②若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； ③过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ?面积的最大值。

（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l 。

(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。

解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ，又因为Q 在椭圆上， 所以，x 2=a 2(1－y 2)， |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2， =(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a

2+1+a 2

。 因为|y|≤1,a>1, 若a ≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=1

1－a 2时, |PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1 ，

若1

（2）①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1，

又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为14

22

=+y x 。 ②设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0)，

由

x=2

1

0+x 得

x 0=

2x －1 y=

2

210+

y y 0=2y －

2

1 由,点P 在椭圆上,得

1)2

1

2(4)12(22=-+-y x ， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)4

1(4)21

(2

2

=-+-y x 。

③当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1。

当直线BC 不垂直于x 轴时,说该直线方程为y=kx,代入14

22

=+y x , 解得B(

1

422

+k ,

1

422

+k k ),C(－

1

422

+k ,－

1

422

+k k )，

则2

24114

k

k BC ++=,又点A 到直线BC 的距离d=

2

12

1k

k +-

，

∴△ABC 的面积S △ABC =2411221

k

k d AB +-=?。

于是S △ABC =1

441141442

22+-=++-k k

k k k 。

由

1

442+k k ≥－1,得S △ABC ≤

2,其中,当k=－21

时,等号成立。 ∴S △ABC 的最大值是2。

（3）解：设椭圆方程为22

221()x y a b c a b

+=>>

（Ⅰ）由已知得222224b c

a

c a b c =???=?

???=+?

2222

11

a b c ?=?=??=?

∴所求椭圆方程为22

12x y +=。

（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为

11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+

由22

212

y kx x y =+???+=??，消去y 得关于x 的方程：22(12)860k x kx +++=，

由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，2

2

06424(12)0k k ∴>?-+>V ，解得2

32

k >

。 又由韦达定理得122

122812612k x x k x x k ?

+=-??+???=

?+?

，

12|||AB x x ∴=-=

= 原点O 到直线l

的距离d =

。

2

2

1||21212AOB

S AB d k k =?==++V Q . 解法1

：对S =两边平方整理得：

2422244(4)240S k S k S +-++=（*），

∵0S ≠，22222

2

22

16(4)44(24)0,4024

04S S S S S

S S ?

?--?+≥?-?>???+>?

?，整理得：2

12S ≤。

又0S >，

0S ∴<≤

AOB S V

的最大值为S =， 此时代入方程（*）得 42

428490k k -+=

，2

k ∴=±

。

所以，所求直线方程为：240y -+=。 解法2

：令0)m m =>，则2

2

23k m =+。

2442

S m m m

∴=

=≤++

当且仅当4

m m

=

即2m =

时，max 2S =

，此时2k =±。

所以，所求直线方程为240y += 解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零。

设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+，

则直线l 与x 轴的交点2

(,0)D k

-

，

由解法一知2

32k >且122122812612k x x k x x k ?

+=-??+??

?=

?+?

，

解法1：1212112

|||||||22|22AOB S OD y y kx kx k

=?-=?+--V =12||x x -

=

2

12k =+

22223k -=. 下同解法一.

解法2：AOB POB POA

S S S =-V V V 211

2||||||2

x x =??-21||

x x =-22222312k k -+。 下同解法一。

点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。 题型3：证明问题和对称问题

例5．（1）（06浙江理，19）如图，椭圆b

y a x 2

22+＝1（a ＞b ＞0）与

过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=

2

3

. (Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 1的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。

（2）（06湖北理，20）设,A B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b

+=>的左、右顶点，椭圆

长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。

（3）（06上海理，20）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2

y ＝2x 相交于A 、

B 两点。

①求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→

--OA →

--?OB ＝3”是真命题；

②写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 解析：（1）（I ）过点A 、B 的直线方程为

1.2

x

y += 因为由题意得???

????+-==+12112

2

22x y b y a x 有惟一解，

即2

22

222221()04

b a x a x a a b +

-+-=有惟一解， 所以22

2

2

(44)0a b a b ?=+-= （0ab ≠），故22

440.a b +-=

又因为

e =即 2223,4a b a -=所以 224.a b =从而得 22

12,,2

a b == 故所求的椭圆方程为2

22 1.2

x y += （II ）由（I ）得

2

c =

故12(,0),22F F -

从而(14M + 由???

????+-==+1

2112222

x y y x ，解得121,x x ==所以 1(1,).2T

因为1tan 1,AFT ∠=

又1

tan ,2TAM ∠

=2tan TMF ∠=

得tan 1ATM ∠=

1,=-因此1

.ATM AFT ∠=∠

点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

（2）（Ⅰ）依题意得 a ＝2c ，c

a 2

＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b ＝3.

故椭圆的方程为 13

42

2=+y x . （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）.设M （x 0，y 0）. ∵M 点在椭圆上，∴y 0＝

4

3

（4－x 02）. ○1 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2

P （4，

2

600

+x y ）. 从而BM ＝（x 0－2，y 0），

＝（2，

2

600

+x y ）.

∴·＝2x 0－4＋2602

0+x y ＝2

2

0+x （x 02－4＋3y 02）. ○2

将○1代入○2，化简得·＝

2

5

（2－x 0）. ∵2－x 0>0，∴BM ·>0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内。

解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），

则－2

221x x +，2

2

1y y +）， 依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差

2

BQ －

2

41MN ＝(221

x x +－2）2＋（221y y +）2－4

1[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝（x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ○3

又直线AP 的方程为y ＝

)2(211++x x y ，直线BP 的方程为y ＝)2(2

22

--x x y ， 而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上，

∴

26262211-=+x y x y ，即y 2＝2

)2311

2+-x y x （ ○4 又点M 在椭圆上，则1342

12

1=+y x ，即)4(4

32

121x y -= ○5

于是将○4、○5代入○3，化简后可得2

BQ －

2

41MN ＝0)2)(24

521<-x x －（. 从而，点B 在以MN 为直径的圆内。

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

（3）证明：①设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2). 当直线l 的钭率下存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于A(3,6)、B(3,－6)，∴OB OA ?=3。

当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为y=k(x －3),其中k≠0.

当 y 2=2x 得ky 2－2y －6k=0,则y 1y 2=－6.

y=k(x －3)

又∵x 1=

21y 21, x 2=2

1y 22, ∴OB OA ?=x 1x 2+y 1y 2=212

21)(4

1y y y y +=3.

综上所述, 命题“如果直线l 过点T(3,0),那么?=3”是真命题.

②逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果?=3,那么该直线过点T(3,0).

该命题是假命题.

例如：取抛物线上的点A(2,2),B(2

1

,1),此时OB OA ?=3, 直线AB 的方程为Y=

3

2

(X+1),而T(3,0)不在直线AB 上. 点评：由抛物线y 2=2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2)满足?=3,可得y 1y 2=－6。或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2, 可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0)。

例6．（1）（06北京文，19）椭圆C:22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在

椭圆C 上，且11212414,||,||.33

PF F F PF PF ⊥==

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。

（2）（06江苏，17）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。 （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。

解析：（1）解法一：

(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522

1

2221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦

距c =5，从而

b 2=a 2－

c 2=4，所以椭圆

C 的方程为4

92

2y x +＝1。 (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）。

已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1,

代入椭圆C 的方程得

（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称.

所以.29491822

221-=++-=+k

k

k x x 解得9

8=

k ， 所以直线l 的方程为,1)2(9

8

++=

x y 即8x -9y +25=0.

(经检验，所求直线方程符合题意)

解法二： (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且

,1492

121=+y

x ①

,14

92

22

2=+y

x ②

由①－②得：

.04

)

)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x

③

因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4，y 1+ y 2=2。 代入③得

2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98，所以直线l 的方程为y －1＝9

8

（x+2），

即8x －9y +25=0。

(经检验，所求直线方程符合题意.)

（2）①由题意可设所求椭圆的标准方程为22

221x y a b

+=(a>b>0),其半焦距

c=6,122a PF PF =+==a =,b 2=a 2-c 2=9。

所以所求椭圆的标准方程为

22

1459

x y += ②点P(5,2)、F 1(-6,0)、F 2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P ，

(2，5)、F 1，

(0，-6)、F 2

，

(0，6)。

设所求双曲线的标准方程为22

112211

1(0,0)x y a b a b -=>>。

由题意知，半焦距c 1=6，1122a P F P F ''''=+=

=

1a =12=c 12-a 12=36-20=16.

所以所求双曲线的标准方程为

22

12016

x y -=。 点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。

题型4：知识交汇题

例7．（06辽宁,20）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2

2(0)y px p =>上

的两个动点,O 是坐标原点,向量OA u u u r ,OB uuu r 满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r

.设圆C 的方程为 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;

(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为

5

时，求p 的值。 解析：(I)证明1: 22

,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q

222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

整理得: 0OA OB ?=u u u r u u u r

12120x x y y ∴?+?=

设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ?=u u u r u u u r

即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=

整理得:22

1212()()0x y x x x y y y +-+-+=

故线段AB 是圆C 的直径

证明2: 22

,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q

222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

整理得: 0OA OB ?=u u u r u u u r

12120x x y y ∴?+?= (1)

设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则 即

21

1221

1(,)y y y y x x x x x x x x --?=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=

点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:

221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

故线段AB 是圆C 的直径

证明3: 22

,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q

222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

整理得:

0OA OB ?=u u u r u u u r 12120x x y y ∴?+?= (1)

以线段AB 为直径的圆的方程为

2222121212121

()()[()()]224

x x y y x y x x y y ++-

+-=-+- 展开并将(1)代入得:

221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

故线段AB 是圆C 的直径

(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则

121

22

2

x x x y y y +?=???

+?=?? 2211222,2(0)y px y px p ==>Q

12122

4x x p ∴=

又因12120x x y y ?+?=

1212x x y y ∴?=-?

22

121224y y y y p ∴-?=

12120,0x x y y ?≠∴?≠Q 2124y y p ∴?=-

2222121212121211

()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p

+=

=+=++- 2

21(2)y p p

=

+ 所以圆心的轨迹方程为2

2

2y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则

2

2221|

(2)2|

y p y d +-===

22=

当y=p 时,d

=

2p ∴=.

解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则

121

22

2

x x x y y y +?

=???

+?=?? 2211222,2(0)y px y px p ==>Q

12122

4x x p ∴=

又因12120x x y y ?+?=

1212x x y y ∴?=-?

22

121224y y y y p ∴-?=

12120,0x x y y ?≠∴?≠Q 2124y y p ∴?=-

2222121212121211

()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p

+=

=+=++- 2

21(2)y p p

=

+ 所以圆心的轨迹方程为2

2

2y px p =-

设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0

,则 2m =±

因为x-2y+2=0与2

2

2y px p =-无公共点,

所以当x-2y-2=0与2

2

2y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0

的距离最小值为

5

22

220(2)

2(3)

x y y px p --=??=-?L L 将(2)代入(3)得2

2

2220y py p p -+-=

2244(22)0p p p ∴?=--=

2.

p p >∴=Q

解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则

12122

2

x x x y y y +?=???

+?=?? 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则

12

12|

()|25

x x y y d +-+=

2211222,2(0)y px y px p ==>Q

22

12122

4y y x x p ∴=

又因12120x x y y ?+?=

1212x x y y ∴?=-?

22

121224y y y y p ∴-?=

12120,0x x y y ?≠∴?≠Q 2124y y p ∴?=-

2212122221212121

|

()()|

4545y y y y p

d p

+-+∴==

22

1245p

=

当122y y p +=时,d 有最小值

5,由题设得2555

=

2p ∴=.

点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直

线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。

例8．（06重庆文，22）如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线2

4x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 角抛物线于另一点(,)n n n B s t 。

（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；

（Ⅱ）取2n

n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点。

试证：112221n n n FC FC FC -++++=-+L ； 证明：（Ⅰ）对任意固定的1,n ≥因为焦点F （0,1）， 所以可设直线n n A B 的方程为1,n y k x -=

将它与抛物线方程2

4x y =联立得: 2440n x k x --=,

由一元二次方程根与系数的关系得4(1)n n x s n =-≥．

（Ⅱ）对任意固定的1,n ≥利用导数知识易得抛物线2

4x y =在n A 处的切线的斜率

,2n n A x k =

故24x y =在n A 处的切线的方程为：()2

n n n x

y y x x -=-，……① 类似地，可求得2

4x y =在n B 处的切线的方程为：()2

n n n s y t x s -=-，……②

由②－①得：2222

2244n n n n n n

n n x s x s x s y t x ---=-+=-， 22

,242

n n n n n n x s x s x s

x x --+=∴=……③ 将③代入①并注意4n n x s =-得交点n C 的坐标为(,1)2

n n

x s +-． 由两点间的距离公式得：22

2

2()42244

n n n n n

x s x s FC +=+=++

2

22422

2(),422n n n n n n n

x x x FC x x x =++=+?=+

． 现在2n

n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：

12121221121111

()2()

21111

(222)2()(21)(22)22 1.2222

n n n

n n n n n n FC FC FC x x x x x x --++++=+++++++=+++++++=-+-=-+L L L L L

点评：该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。