三角函数与解三角形专题训练

三角求值与解三角形专项训练

1 三角公式运用

【通俗原理】

1．三角函数的定义：设(,)P x y ，记xOP α∠=∈R ，||r OP ==

，

则sin ,cos ,tan (0)y x y

x r r x

ααα=

==≠. 2．基本公式：22

sin sin cos 1,tan cos ααααα

+==.

3．诱导公式：

4．两角和差公式：sin( cos( tan tan(1tan tan β

αβ

.

5．二倍角公式：sin2α22cos2sin 2cos ααα-=-tan 2α.

6．辅助角公式：①sin cos )a b θθθ?+=+，

其中?由tan b

a

?=

及点(,)a b 所在象限确定.

②sin cos cos sin )a b a b θθθθθ?'''+=+=-， 其中?'由tan b a ?'

'=

'

及点(,)a b ''所在象限确定.

【典型例题】

1．已知α∈R ，证明：sin()cos 2

ααπ

-=-.

2．若(0,)2

απ∈，tan 2α=，求sin cos αα+的值.

3．已知sin()1αβ+=，1

sin()2

αβ-=，求tan tan αβ的值.

4．求cos15tan15+的值.

5．证明：3

cos34cos 3cos ααα=-.

【跟踪练习】

1．已知3sin()35απ-=，求cos()6

απ

+的值.

2．若1

sin 22

β=，求tan β的值.

三角求值与解三角形专项训练

2. 解三角形

1．三角形边角关系：在ABC △中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，①A B C ++=π；

②若a b c ≤≤，则a b c +>；③等边对等角，大边对大角.

2．正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===(R 是ABC △外接圆的半径). 变形：2sin a R A =，2sin ,2sin b R B c R C ==.

3．余弦定理：222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

?=+-?=+-??=+-?

.变形：222cos 2b c a A bc +-=，其他同理可得.

4．三角形面积公式：111

sin sin sin 222

ABC S ab C bc A ac B ===△.

5．与三角形有关的三角方程：①sin2sin2A B =?A B =或22A B =π-；

②cos2cos2A B =?A B =.

6．与三角形有关的不等式：①sin sin cos cos a b A B A B >?>?<.

7．解三角形的三种题型：①知三个条件(知三个角除外)，求其他(角、边、面积、周长等)； ②知两个条件，求某个特定元素或范围；

③知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.

【典型例题】

1．在ABC △中，若cos cos a A b B =，试判断ABC △的形状.

2．在ABC △中，证明：sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<.

3．在ABC △中，1a =，6

A π

=，3b =C 的大小.

4．在ABC △中，2C A =，2c a =，求角A 的大小.

5．在ABC △sin 3cos c

C A

=，求角A 的大小.

6．在ABC △中，c =

3

C π=

. (I)求ABC △面积的最大值； (II)求ABC △周长的取值范围.

【跟踪练习】

1．在B C A ?中，(sin sin )()(sin sin )a A B c b C B -=-+，求角C .

2．在B C A ?中，222

a c

b a

c +=-． (I)求B ∠的大小；

(II)求C A cos cos +的最大值．

3．在B C A ?中，2

2

2

+-=b c a ，23

B π

=，=b . (I)求BC 边上的中线AD 的长； (II)求BAC ∠的角平分线AE 的长.

参考答案

5.1 三角公式 【典型例题】

1．证明：如图，在单位圆中，记xOP α∠=，

=2

xOQ απ∠-，有(,),(,)P x y Q y x -， 则sin()2x απ-=-，而cos x α=-，

∴sin()cos 2

ααπ

-=-.

2．解法一：∵(0,)2

απ

∈，tan 2α=，有sin 2cos αα=，

代入2

2sin

cos 1αα+=得21cos 5α=

，则cos 5α=

，sin 5

α=，

∴sin cos αα+=

. 解法二：∵(0,)2

απ

∈，tan 2α=， ∴2

(sin cos )12sin cos αααα+=+

222sin cos 1sin cos αααα=+

=+2

2tan 9

1tan 15

αα+=+， 又sin cos 0αα+>

，有sin cos 5

αα+=

. 3．解：由sin()1αβ+=，1sin()2

αβ-=

， 得sin cos cos sin 1

1

sin cos cos sin 2

αβαβαβαβ+=??

?-=??，则31sin cos ,cos sin 44αβαβ==，

∴tan tan αβsin sin cos cos 3sin cos sin cos α

αβαβαββ

===.

4．解：∵cos15cos(4530)cos45cos30sin 45sin 30=-=+

122224

=

?+?=， tan 45tan 30tan15tan(4530)1

tan 45tan 30-=

-=

+2==

-

∴cos15tan15+2=

+-5．证明：cos3cos(2)cos cos2sin sin2ααααααα=+=- 2

2

cos (2cos 1)2cos sin αααα=-- 3

2

2cos cos 2cos (1cos )αααα=--- 34cos 3cos αα=-.

【跟踪练习】

1．解：∵()()632ααπππ+--=，且3sin()35απ-=， ∴3

cos()cos[()]sin()62335

αααππππ+=+-=--=-.

2．解：由1sin 22β=

得1

2sin cos 2

ββ=，即22sin cos 1sin cos 4ββββ=+，

∴

2

tan 1tan 14

β

β=+，即2

tan 4tan 10ββ-+=

，解得tan 2β=±.

由cos ?=

得cos(2)2

k α3ππ+-=，即sin sin αα-=?=.

由sin ?=

sin(2)2k α3ππ+-=，即cos cos αα-=?=，

∴2sin cos 5

αα+=-

.

5.3 解三角形 【典型例题】

1．解：由cos cos a A b B =及正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =， 又,(0,)A B ∈π，有22A B =或22A B =π-，即A B =或2

A B π+=

， ∴ABC △是等腰三角形或直角三角形.

2．证明：a b A B >?>，由a b >及正弦定理得2sin 2sin sin sin R A R B A B >?>， 而函数()cos f x x =在(0,)π上单调递减，有0()()B A f B f A <<<π?>， ∴cos cos A B A >?<，

∴sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<.

3．解：由正弦定理得

sin sin a b

A B

=

，得sin 1sin 2b A B a ===

因为1b a =>=，所以B A >，故3B π=

或3

2π． 当3B π=时，()()632C A B πππ=π-+=π-+=．

当23B π=时，()2()636C A B πππ

=π-+=π-+

=． ∴角C 为2π或6

π

.

4．解：∵a c 2=，∴ 由正弦定理有sin C =2sin A ． 又C =2A ，即sin2A =2sin A ，于是2sin A cos A =2sin A ， 在△ABC 中，sin A ≠0，于是cos A =22

，∴ A =4

π． 5

sin sin c a

C A

=

=，

从而sin A A =，tan A =， ∵0A <<π，∴3

A π=.

6．解：(I)∵3c C π=

=

，由余弦定理得222

2cos 3

a b ab π=+-， ∴2232a b ab ab ab ab =+-≥-=，仅当a b =时等号成立，

∴ABC △的面积11sin sin 322344

S ab C ab π=

=≤?=

∴当a b ==时，ABC △； (II)由(I)得223a b ab =+-，即23()3a b ab =+-，

∴221()1()32

a b ab a b +=

+-≤，则2()12a b +≤，即a b +≤a b =时等号成立.

∴ABC △的周长a b c ++≤=a b ==

而a b c +>=

a b c ++>，

∴ABC △周长的取值范围是. 【跟踪练习】

1．解：由已知以及正弦定理，得()()()a a b c b c b -=-+，即2

2

2

a b c ab +-=. ，

∴2221cos 22a b c C ab +-=

=，又()0πC ∈，，所以π

3C =. 2．解：(I)由已知得:2

1

2cos 222-=-+=

ac b c a B ，0B <<π，23

B π

∴=

； (II)由(I)知:3A C π+=

，故033

A C C ππ

=-<<,

，

所以3cos cos cos(

)cos cos 322A C C C C C π+=-+=+)3

C π

=+，

0,sin()133C C ππ<<

<+≤，3cos cos 2

3≤+<∴C A . 3．解：(I)

由2

2

2

+-=b c a

及余弦定理得222cos 22

b c a A bc +-==，

又(0,)A ∈π，∴6A π=

，则6

C A B π

=π--=，即a c =，

而b =sin sin sin a b c

A B C ==

得sin sin sin 636

a c ==ππ

，即2a c ==. AD 是BC 边上的中线，则1

()2

AD AB AC =+，

∴222

1(2cos )746

AD c b bc π=++=，有||7AD =

即BC

；

(II)由(I)

得2,c b ==6A π

=，又AE 是BAC ∠的平分线， 由ABE CAE ABC S S S +=△△△得111sin sin sin 2122122

6

c AE b AE bc πππ

+=，

∴1)sin 2312AE π=

1)sin 312

AE π

=，

又1sin

sin()123

4222πππ=-

=?-?=， ∴AE =BAC ∠的角平分线AE =

5.2 三角函数的图象与性质

【通俗原理】

1．三个基本三角函数的图象与性质

sin y x = (1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称； (2)对称性：关于(,0)k π中心对称，关于 2

x k π

=π+轴对称；(k ∈Z ，下同) (3)周期性：周期为2T =π；

(4)单调性：在[2,2]22

k k ππ

π-π+上递

增，在[2,2]22

k k π3π

π+π+上递减；

(5)最值性：当22

x k π

=π+时，max 1y =，

当22

x k 3π

=π+时，max 1y =-；

(6)有界性：当x ∈R 时，sin [1,1]x ∈-.

cos y x =

(1)奇偶性：偶函数，图象关于y 轴对称；

(2)对称性：关于(,0)2

k π

π+

中心对称， 关于x k =π轴对称；(k ∈Z ，下同) (3)周期性：周期为2T =π；

(4)单调性：在[2,2]k k ππ+π上递减， 在[2,22]k k π+ππ+π上递增； (5)最值性：当2x k =π时，max 1y =， 当2x k =π+π时，max 1y =-； (6)有界性：当x ∈R 时，sin [1,1]x ∈-.

2．函数图象平移与伸缩变换

(1)左右平移：()()y f x a y f x a ==-向右平移个单位； 同理有如下结果：

(2)上下平移：()()y f x b y b f x =-=向上平移个单位，即()y f x b =+；

说明：①当0a >时，()y f x =向右平移a 个单位得()y f x a =-，当0a <时，()y f x =向左平移||a 个单位得()y f x a =-；②当0b >时，()y f x =向上平移b 个单位得()y b f x -=， 即()y f x b =+，当0b <时，()y f x =向下平移||b 个单位得()y b f x -=，即()y f x b =+. (3)横向伸缩：1

()()()y f x x A y f x A

==横向伸长到原来的倍； (4)纵向伸缩：1

()()()y f x y B y f x B

==纵向伸长到原来的倍

，即()y Bf x =. 说明：当1A >时，表示伸长，当01A <<时，表示缩短；当1B >时，表示伸长，当01

B <<时，表示缩短.

【典型例题】

1．已知函数()sin(2)3

f x x π=+

. (1)求()f x 的对称轴及对称中心；

tan y x = (1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称； (2)对称性：关于(,0)2k π中心对称，不是

轴对称图形；(k ∈Z ，下同) (3)周期性：周期为T =π；

(4)单调性：在(,)22k k πππ-π+上递增.

tan y x = y x =

sin y x =

(1)切线：曲线sin y x =在0x =处的切线 为y x =，曲线tan y x =在0x =处的切线也为y x =；

(2)不等式：当(0,)2

x π∈时，sin tan x x x <<， 当(,0)2

x π

∈-时，tan sin x x x <<， 当0x →时，sin tan x x x ≈≈.

(2)求()f x 的单调递增区间及在[0,]π上的单调递增区间； (3)求()f x 在[,0]2

π

-上的最大值与最小值，并求出相应的x 的值.

3．把函数()sin f x x =的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数1

()2cos 13

g x x =+的图象？

【跟踪练习】

1．函数|tan2|y x =的对称轴是 .

2．已知0a >，0?<，函数()sin()f x x ?=+，把()y f x =的图象向右平移a 个单位得到一个偶函数()y g x =的图象，把()y f x =的图象向左平移a 个单位得到一个奇函数()y h x =的图象，当||?取得最小值时，求()y f x =在[0,2]π上的单调递减区间.

3．若把函数2

()2x

f x x =+的图象向左平移1个单位，再把横坐标缩短为原来的1

2

倍(纵坐标不变)得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的解析式.

5.2 三角函数的图象与性质 【典型例题】

1．解：(1)由232x k ππ+=π+得212k x ππ=+，即()f x 的对称轴为212

k x ππ=+， 由23x k π+=π得26k x ππ=-，即()f x 的对称轴为(,0)26k ππ

-，k ∈Z ；

(2)由222232k x k ππππ-≤+≤π+得1212

k x k 5ππ

π-≤≤π+，

∴()f x 的单调递增区间为[,],1212

k k k 5ππ

π-π+∈Z ，

当[0,]x ∈π时，2[,]333

x ππ7π

+∈，

由2332x πππ≤+≤或2233x 3ππ7π≤+≤得012x π≤≤或12

x 7π≤≤π， ∴()f x 在[0,]π上的单调递增区间是[0,][,1212

π7π

π]；

(3)由[,0]2x π∈-得2[,]333

x π2ππ

+∈-，

∴当233

x ππ

+=，即0x =时，max ()(0)sin 32f x f π===

， 当232x ππ+

=-，即12x 5π=-时，min ()()sin()1122

f x f 5ππ

=-=-=-. 2．证明：锐角ABC △中，有2A B π<+<π，即022A B ππ

<-<<，

又函数()sin f x x =在(0,)2π上单调递增，有()()2

f A f B π

-<，

∴sin()sin cos sin 2

A B A B π

-

同理cos sin B C <，cos sin C A <，

∴sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.

3．解：方法一(先平移再伸缩)：()sin cos(

)2f x x x π==-cos()2

x π=-， 把x a -代换x 得，cos()2y x a π=--，把1x A 代换x 得1cos()2y x a A π=--，与1

cos 3

y x =

对比得02

113

a A π?

--=????=??，∴23a A π?=-???=?，即把()sin f x x =的图象向左平移2π个单位，再将横坐标

伸长到原来的3倍得1cos

3y x =的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得1

2cos 3

y x =的图象，

后向上平移1个单位得1

()2cos 13

g x x =+的图象.

方法二(先伸缩再平移)：()sin cos()2f x x x π==-cos()2

x π

=-，

把1x A 代换x 得1cos()2

y x A π=-， 再将x a -代换x 得1cos[()]2y x a A π=--11cos()2x a A A π=--，与1

cos 3

y x =对比得

11

3

102

A a A ?=???

π?--=??，∴32A a =???3π=-??，即把()sin f x x =的图象横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移

23π个单位得1cos 3y x =的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得1

2cos 3

y x =的图象， 后向上平移1个单位得1

()2cos 13

g x x =+的图象.

【跟踪练习】 1．4k x π=

，k ∈Z .解：由22k x π=得4k x π=，即|tan2|y x =的对称轴是4

k x π=，k ∈Z . 2．解：可得()()sin()g x f x a x a ?=-=-+为偶函数， ()()sin()h x f x a x a ?=+=++为奇函数，

∴1122(21)22(2)2

a k k a k k ??ππ?

-+=-?=π-???π?+=?=π

??，则12()24k k ?+ππ=-，

又0?<，当120k k +=时，||?取得最小值

4π，这时4?π=-，即()sin()4

f x x π

=-， 由[0,2]x ∈π得[,]444x ππ7π-∈-，由242x ππ3π≤-≤得44x 3π7π

≤≤

， ∴()sin()4f x x π=-在[0,2]π上的单调递减区间是[,]44

3π7π

.

3．解：把2

()2x

f x x =+的图象向左平移1个单位得2

1

(1)2x y x +=++，再把横坐标缩短为原

来的

12

倍(纵坐标不变)得221

221(21)2

4421x x y x x x ++=++=+++， ∴2

21

()4421x g x x x +=+++.