2020年扬州大学0901普通物理学考研复试核心题库之证明题精编
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一、2020年扬州大学0901普通物理学考研复试核心题库之证明题精编
1．如下图所示，绝热容器上端有一截面积为S的玻璃管，管内放有一质量为m的光滑小球作为活塞。容器内储有体积为V、压强为p的某种气体，设大气压强为。开始时将小球稍向下移，然后放手，则小球
将上下振动。如果测出小球做简谐振动时的周期T，就可以测定气体的比热容比。试证明：。(假定小球在振动过程中，容器内气体进行的过程可看作准静态绝热过程)
图
【答案】取坐标向下为正，坐标原点为小球受力平衡的位置。小球受力平衡，则
下压小球后放手，某一时刻，设小球偏离平衡位置x，容器内气体状态为，此时小球的运动方程为
容器内气体状态变化满足绝热过程方程，即
其中，，将其代入式③得
因为，将上式以xS为小量展开，取前两项，得，将该式和式①代入式②得
可见，在满足的条件下，小球做简谐振动。
振动的角频率为，再由得。
2．一质点沿Ox轴运动，势能为，总能量为E恒定不变,开始时位于原点，试证明当质点到达坐标x处所经历的时间为
【答案】总的机械能为
即
故
对上式分离变量后积分，且t=0时x=0,则质点到达坐标x处所经历的时间t为
问题得证。
3．一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I。试证单位长度导线内所储藏的磁能为
。
【答案】由得，因此单位长度导线内储藏的磁能为
4．在无电流的空间区域，如果磁场线是平行直线，则磁场一定是均匀的。试证明之。
【答案】如下图所示，若磁感应线是平行直线，作一个长方形闭合回路abcd。由于空间区域无电流，由安培环路定理得，0,则，磁场是均匀的。
图
5．若给出一个矩形容器，设内部充有同一种气体，每一个分子的质量为m，分子数密度为n，由此可以导出理想气体的压强公式。若容器是一个球形的，压强公式的形式仍然是不变的。请证明之。
【答案】在球形容器内，分子运动的轨迹如下图中带箭头实线所示。
图
设分子i的速率为，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞，分子碰撞器壁只改变分子运动方向，不改变速度的大小，并且“入射角”等于“反射角”
对分子i来说，在每次和器壁的碰撞中，分子对器壁作用的动量增量即法向冲量为。该分子每秒与器壁的碰撞次数为，所以该分子作用在器壁上的作用力为
对于总数为N的全部分子来说，球形内壁每秒所受到的总作用力为
由于球形内壁的总面积为，气体的体积为，所以按照压强的定义得
6．如下图所示，一质量为m的物体，在与水平面成角的光滑斜面上系于劲度系数为k的弹簧的一端，弹簧另一端固定.设物体在弹簧未伸长时的动能为，弹簧的质量可以忽略不计，试证物体在弹簧伸长为
x时的速度可由式得到.
图
【答案】取物体与弹簧为系统，斜面光滑，只有重力和弹力做功，机械能守恒.以弹簧未伸长处为势能零点，则该处机械能为，则有
故
7．半径为R的无限长直载流导线横截面上均匀分布着电流I.现在导线内部挖出一个平行于导线轴的半径为r的无限长空洞中空洞，两轴距离为a,试证明空洞中为一均匀磁场.
【答案】设空洞中一点到圆柱中心和空洞中心的位矢分别是和，且是从圆柱中心到空
洞中心的常矢量.由于原来电流密度，而空洞可看成在原来电流上叠加一个等大反向电流，因此空洞中一点的磁感应强度是
这表明空洞中为一均匀磁场
8．如图所示的电荷分布称为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成.证明在电四极子轴线的延长线上离中心为的P点处的电场强度为，式中称为这种电荷分布的电四极矩.
图
【答案】依题意已知电偶极子在其延长线上远场点的场强值为
设为两电偶极子在P点产生的场强，则P点合场强的大小为
则
9．试证明自由粒子的不确定关系式可写成：，为自由粒子的德布罗意波的波长.
【答案】由得，略去式中负号并代入公式得
即
10．我们可以利用牛顿环干涉测定某平凹透镜的曲率半径.将已知半径的平凸透镜的凸面向下放在待测平凹透镜的凹面上，接着用单色平行光垂直照射两镜面间形成的空气层，可以观察到环状的干涉条纹.假设平凸透镜的曲率半径为，平凹透镜的曲率半径为，入射光的波长为，第m个暗环的半径为，试证它们
之间存在关系
【答案】由几何关系可得第m级暗环对应的空气膜厚，代入暗环满足的公式
，整理即得.
11．半径为r，电荷面密度为的薄圆盘，在平行于盘面，磁感应强度为B的均匀磁场中以角速度绕过盘心垂直于盘面的轴转动.求证作用在圆盘上的磁力矩为
【答案】圆盘上半径为r,宽度为dr的圆线圈对总磁力矩的贡献是所以，圆盘上的磁力矩为
12．试证明和，其中
【答案】(1)因为
有
又因为，得
(2)因为
所以
13．一根质量为m，长为的柔软链条，4/5长度在光滑桌面上，其余1/5自由悬挂在桌子边缘.证明：将此链条悬挂部分拉回桌面至少需要做功mg/50.
【答案】将此链条悬挂部分拉回桌面至少需要做的功为