四川省高考数学试题及答案文科解析版

2015年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x ＜3}，则A∪B=（）

A ．{x|﹣1＜x

＜3}

B

．

{x|﹣1＜x

＜1}

C

．

{x|1＜x＜

2}

D

．

{x|2＜x＜

3}

考点：并集及其运算．

专题：集合．

分析：直接利用并集求解法则求解即可．

解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．

故选：A．

点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．

2．（5分）（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）

A ．2 B

．

3 C

．

4 D

．

6

考

点：

平面向量共线（平行）的坐标表示．

专

题：

平面向量及应用．

分

析：

利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．

解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；

故选：B．

点评：本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．

3．（5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）

A ．抽签法B

．

系统抽样法C

．

分层抽样法D

．

随机数法

考

点：

收集数据的方法．

专

题：

应用题；概率与统计．

分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．

解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，这种方式具有代表性，比较合

理．

故选：C．

本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．

点

评：

4．（5分）（2015?四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a ＞log2b＞0”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

考点：充要条件．

专题：简易逻辑．

分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．

解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，

故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，

故选：A．

点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．

5．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）

A y=cos

B y=sin

．（2x+）．（2x+）

C ．y=sin2x+co

s2x

D

．

y=sinx+cos

x

考

点：

两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专

题：

三角函数的图像与性质．

分

析：

求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．

解答：解：

y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确

y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；

y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；

y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；

故选：A．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．

6．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）

A ．﹣B

．

C

．

﹣D

．

考点：程序框图．

专题：图表型；算法和程序框图．

分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S 的值为．

解答：解：模拟执行程序框图，可得

k=1

k=2

不满足条件k＞4，k=3

不满足条件k＞4，k=4

不满足条件k＞4，k=5

满足条件k＞4，S=sin =，

输出S 的值为．

故选：D．

点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A B 2C 6 D 4

．．．．

考点：双曲线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．

解答：

解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为

y=，

过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，

可得y A =2，y B=﹣2，

∴|AB|=4．

故选：D．

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015?四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）

A ．16小时B

．

20小时C

．

24小时D

．

28小时

考点：指数函数的实际应用．

专题：函数的性质及应用．

分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造

方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即

可．

解答：解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，

当x=22时e22k+b=48，

∴e16k ==

e11k =

e b=192

当x=33时，e33k+b=（e k）33?（e b）=（）3×192=24

故选：C

点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．

9．（5分）（2015?四川）设实数x，y 满足，则xy的最大值为（）

A ．B

．

C

．

12 D

．

16

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；

则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，

此时2x+y=10，

则xy==，

当且仅当2x=y=5，

即x=，y=5时，取等号，

故xy 的最大值为，

故选：A

点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

10．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）

A ．（1，3）B

．

（1，4）C

．

（2，3）D

．

（2，4）

考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．

专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．

解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则

斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得

ky0=2，

因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，

即M的轨迹是直线x=3，

代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，

所以2＜r＜4时，直线l有2条；

斜率不存在时，直线l有2条；

所以直线l恰有4条，2＜r＜4，

故选：D．

点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i ﹣= 2i ．

考点：复数代数形式的混合运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：直接利用复数的运算法则求解即可．

解答：解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．

故答案为：2i．

点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．

12．（5分）（2015?四川）lg0.01+log216的值是 2 ．

对数的运算性质．

考

点：

专

题：

函数的性质及应用．

分

析：

直接利用对数的运算法则化简求解即可．

解答：解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．故答案为：2．

点

评：

本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．

13．（5分）（2015?四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1 ．

考

点：

同角三角函数基本关系的运用．

专

题：

三角函数的求值．

分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，

∴tanα=﹣2，

则原式

=====

﹣1，

故答案为：﹣1

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

14．（5分）（2015?四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P ﹣A1MN 的体积是．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：空间位置关系与距离．

分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣A1MN的体积即可．

解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求

三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，

所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．

故答案为：．

点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象

能力以及计算能力．

15．（5分）（2015?四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，

n=．现有如下命题：

①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；

③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；

④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．

其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．

考

点：

命题的真假判断与应用．

专

题：

函数的性质及应用．

分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；

通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．

解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R 上递增，即有m＞0，则①正确；

对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立，

则②错误；

对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，

h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；

对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，

h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．

故答案为：①④．

点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．

考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，

可得数列{a n}的通项公式．

（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．

解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有

a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），

即a n=2a n﹣1（n≥2），

从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．

又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）

所以a1+4a1=2（2a1+1），

解得：a1=2．

所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．

故a n=2n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，

所以T n=+++…+==1﹣．

点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．

（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）

乘客P1P2P3P4P5

座位号 3 2 1 4 5

3 2

4

5 1

3 2

4 1 5

3 2 5

4 1

（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．

考点：概率的应用．

专题：应用题；概率与统计．

分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；

（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座

位的概率．

解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：

乘客P1P2P3P4P5

座位号 3 2 1 4 5

3 2

4

5 1

3 2

4 1 5

3 2 5

4 1

（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则

所有可能的坐法可用下表表示为

乘客 P1 P2 P3 P4 P5

座位号 2 1 3 4 5

2 3 1 4 5

2 3 4 1 5

2 3 4 5 1

2 3 5 4 1

2 4

3 1 5

2 4

3 5 1

2 5

3

4 1

于是，所有可能的坐法共8种，

设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件

的个数为4，所以P（A）==．

答：乘客P1坐到5号座位的概率是．

点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．

18．（12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）

（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．

考

点：

直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．

专

题：

空间位置关系与距离．

分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．

（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．

（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．

解答：解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，

∴BC∥FG，BC=EH，

又FG∥EH，FG=EH，

∴BC∥EH，BC=EH，

∴BCHE为平行四边形．

∴BE∥CH，

又CH?平面ACH，BE?平面ACH，

∴BE∥平面ACH，

同理BG∥平面ACH，

又BE∩BG=B，

∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，

∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，

又∵EG?平面EFGH，

∴DH⊥EG，

又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，

又DF?平面BFHD，

∴DF⊥EG，

同理DF⊥BG，

又∵EG∩BG=G，

∴DF⊥平面BEG．

点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．

19．（12分）（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB 是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

考

点：

正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．

专

题：

函数的性质及应用；解三角形．

分析：（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C 的值．

（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣

（tanA+tanB）的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，

所以p≤﹣2，或p≥．

由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．

所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，

从而tan（A+B）==﹣=﹣．

所以tanC=﹣tan（A+B）=，

所以C=60°．

（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，

解得B=45°，或B=135°（舍去）．

于是，A=180°﹣B﹣C=75°．

则tanA=tan75°=tan（45°+30°）

===2+．

所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．

点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．

20．（13分）（2015?四川）如图，椭圆E ：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD 上，且?=﹣1

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？若存在，求λ的值；

若不存在，请说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（Ⅰ）通过e=、?=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；

（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB

的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算

可得当λ=1时?+λ?=﹣3；②当直线AB的斜率不存在

时，?+λ?=﹣3．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），