线性代数 第一章 行列式
第一章 行列式习题答案
二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案
1.计算下列二阶行列式
（1）23112=； （2）
cos sin 1sin cos θθ
θ
θ
-=；
（3）
11111212
21212222
a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b =+++ 1221122112211221a a a b b a b b ----
（4）
1112
1112
2122
2122
a a
b b a a b b +
1122112212211221a a b b a a b b =+--
2.计算下列三阶行列式
（1）103
12
126231
-=--； (2)11
1213
222332
33
a a a a a a a 112233112332a a a a a a =-()1122332332a a a a a =- （3）a c b
b
a c c
b a
3333a b c abc =++- 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.
123t =+= 112217t =++++=
（3）()
()
()
123
225
24212n n n n ---
4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列.
解：4,5i j ==，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -
6.按定义计算下列行列式：
（1）
00010020
03004000
(4321)(1)2424t =-= （2）
000000
000000
a c d
b (1342)(1)abcd abcd t =-= 7. 求1230312()1231
22x x
f x x x x
-=
的展开式中4x 和3
x 的系数.
4x 的系数为6-；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x -?创，所以3x 的系数为
(4231)(1)3(3)119
t -?创= 行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：
（1）200819861964
200919871965201019881966
；
解：32
21
2008198619641110111
r r r r D --=
=
(2)
1
2
3
123123
111a a a a a a a a a +++； 解：2
31232
32
3
1(1)111
1a a D a a a a a a a =
+++++各列加到
第一列后提取公因式
2131
23
12331(1)0
10
1
r r r r a a a a a a --=+++123(1)a a a =+++ （3）412320132
011
1601
1601110111031023
5
00
r r D +--=
=
-- 213
314116
116
(1)1
1102
73
50
818
r r r +++--=-=
-20=- （4）21120111
011
1611
261
112112211
1001
00
c c D ---=
=
----
31
4110
1
10
(1)26
126116221
223
c c -+=-=--=--.
（5）0
010
010
1
D αβ
αβαβ
αβαβ
αβαβ
++=
++.
()
40
1
100
101D αβ
αβαβαβαβ
αβαβαβαβαβαβ
+=++-+++ ()()()32212D D D D D a b a b a b a b a b a b 轾=+-=++--臌
432234a a b a b ab b =++++
2.证明：
（1）011=++++=
c
b a
d
b a d
c
d a c b d c b a D １１；
证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有
1111
(1)01111
a b c d a b b c a d b c D a b c d c d a b c d d a b c d a ++=
=++++=++１１１１
（2）33()ax by
ay bz
az bx x y z ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by
ay bz z x
y ++++++=++++.
证明：左式12ax
ay
az by
bz
bx ay bz
az bx ax by ay bz
az bx ax by D D az bx ax by ay bz
az bx ax by ay bz =+++++++=+++++++
31
1r br x
y
z
x y z D a ay bz
az bx ax by a ay bz az bx ax by
az bx ax by
ay bz
az
ax
ay
-=+++=++++++23
223r br x y z x y z x y z a ay bz az bx ax by a ay az ax a y
z x z
x
y
z
x
y
z
x
y
-=+++== 类似有1323
3
22(1)r r r r y
z x x y z D b z
x y y
z x x
y
z
z
x y ←?→←?→==
-,
所以33()ax by
ay bz az bx x y z ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by
ay bz
z
x
y
++++++=++++ 3.计算n 阶行列式
（1）n D =a
b b
b
b a b b
b
b a b
b b b a ...........................；
各行加到第一行后提取公因式有：
[]1
11...1...(1).....................n b
a b b D a n b b
b
a b
b b b a
=+-[]211
111 (10)
0...0(1)0
0 0
0
...n r br r br a b a n b a b a b
---=+---L
[]()
1
(1)n a n b a b -=+--
（2）1
212121
2
n n
a n a n D n a ++=
+
12(0)n a a a ≠ .
21
121
211121212121
1
2100
120
00
n n n
r r n r r r n r r a a n
n
a na
a a n a a a a a a a a a a --
---++
+++--=
=
--
1112221211n n n n i i a na i a a a a a a a a =??
??=++++=+
? ????
?∑ 4.利用范德猛行列式计算：
11111234
14916182764D =
.
22223
3
3
3
11111234
(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234==------= 克拉默法则部分习题答案
1.用克拉默法则解线性方程组
（1）12231
3223(0)0bx ax ab cx bx bc abc cx ax ì-=-???
-+= í??+=???；
解：0
02350b a D c
b ab
c c
a
-=-=-，2120
23500ab a D bc c b a bc a --=-= 2220
350
b ab D b
c b ab c c
a -==-，220250
b
a
ab D c bc abc c --=-=-
123,,x a x b x c =-==
（2）12341234
12341234321
25323348246642
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??+-+=??-++-=??--+=?.
解：132125321734826164D --==----,11321
3532
3444822164D --==----
211212332034826
264D --=
=---,31311
25
32
17344261
24
D =
=---,13212533
853*******
D --==---
12342,0,1,5x x x x =-===
2.当λ为何值时，齐次线性方程组
??
?
??=+=+-=++0 0
0433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解． 解：3410(1)(3)0
1
D l l
l l l
=-=--，
（1）1l 1且3l 1时0D 1，该齐次线性方程组只有零解。
（2）要使该齐次线性方程组有非零解，则1l =或3l =时。经验证，1l =时方程组有非零解，1231,1
x x x ===-就是一组非零解. 3l =时方程组有非零解，1233,1,3x x x ===-就是一组非零解.
第一章自测题与答案 第一章自测题
一.判断题（每题3分，共15分）
1.
1423142332413241
000000000
a a a a a a a a =-. ( 错 )
2.在四阶行列式4ij D a = 中，23a 的余子式23M 与代数余子式23A 互为相反数. ( 对 )
3.11
121311121321
222321
222331323331
32331,1,a a a b b b a a a b b b a a a b b b ==-则111112121313
2121
2222232331313232
3333
0a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++=+++.（错） 4.11
1213
21
222331
32
331a a a a a a a a a =,则13
2333
1222
321121
31
1a a a a a a a a a =. （ 错）
5. 2124164
416423
6207188
160116011222122212
r r D +-=
=?---- . （ 对 ）
二.填空题（每题4分，共16分）
1.已知11
1213
21
222331
32
33
1a a a a a a a a a =-，则 2212
12121222321222311
1213
211121*********
22233132
3331
3233
313233
22424442r c r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ?
?
←?→==-= 2.已知11
1213
21
222331
32
332a a a a a a a a a =，则 121311131112
21
22
23
21312232233322
23
21
23
21
22
0a a a a a a a a a a A a A a A a a a a a a -+=-+=
12131113111221
22
23
32
33
31
33
31
32
a a a a a a a a a a a a a a a -+()()()()2121222223232121222223232a A a A a A a A a A a A =-+-+-=-++=-
3. 由行列式确定的多项式x
x x x x x f 10112231111234-=
）（中3
4x x ，的系数分别为 8,-6 含3
x 的项为(2134)3(1)3126t x x x
x -创?-
4.123
2
3118312
=-
三 .计算下列行列式（各10分，共40分）
1.216410
62
101122
12D -=
--； 解41
22
1
6
4
10621011
201310
r r D +-=
()12
1
6
2
11
112
1310+-=-2131
2162
0732302514
r r r r ++-=-=
2.222
2222
2
2
222111
111
111
111
a a a
b b b D
c c
c d d d -+-+=
-+-+（）（）（）（）（）
（）（）（）；
解：1232
222
221211212112121121211
c c c c a a a b b b D c c
c d d d ---++-++=
-++-++13
222
2
2211221102
2112211
c c a a b b c
c d d +++=
=++
3.2n a b a b D b a b
a
=
；
解：按第一行展开后再按最后一行展开，有
(
)2112
122
222
22
(1)(1)n n n n n a b a b a b a b D a b
b a
b a b
a b
a -++--=+--
即有()2
2
22(1)
n n D a b
D
-=-，所以
(
)()
(
)
(
)
2
1
22
2
2
22
22
22(1)
2(2)2n n
n n n D a b
D
a b
D a b
D a b
---=-=-==-=-
4. 12121
2
n n n n a a a a a a D a a a λ
λλ
++=
+
.
解：21
11212
122000
00n n r r n n n
r r c c c n a a a a a a a a D λλλλ
λ
λλλ
--++++++++-=
=
-
()112n n a a a λλ-++++
四．（10分）设ij
n
D a =为n 阶行列式， ij
n
B a =-,ij
n
G ka =（k 为非零数）,
1.讨论,B D 的关系；
2. 讨论,G D 的关系.
解：11
12111
121(1)1,2,,21
222212221
21
2(1)(1)i n
n
r i n
n n
n
n ij
n
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a B a D a a a a a a ?-=------=-=
=
-=----
1()
11
121111211,2,,21222212221
21
2i r n n k i n
n n n
n ij
n
n n nn
n n nn
ka ka ka a a a ka ka ka a a a G ka k k D ka ka ka a a a ?===
=
=
五.（10分）11102
112
13211211
D --=
-,求21222324A A A A +++.
解：212223242122232411101
111
1111713211211
A A A A A A A A -+++=?+?+?+?=
=-- 六.（7分）设齐次线性方程组为1231231
230, 0, 20.
ax x x x bx x x bx x ++=??
++=??++=?
用克拉默法则解讨论,a b 应取何值时，方程组(1) 仅有零解；(2) 有非零解．
解：11
1
1(1)121
a
D b b a b ==-
当0,1b a ≠≠时0D ≠，方程组只有零解； 要使方程组有非零解，必有0,b =或1a =.
当0b =时，方程组有非零解.事实上，1231,1,1x x a x ==-=-就是一组非零解. 当1a =时，方程组有非零解.事实上，1231,0,1x x x ===-就是一组非零解.