导数基本概念及导数的几何意义典型例题解析

导数的概念及几何意义

一、导数的概念

设函数)(x f y =在0x x =_____有定义，当自变量在0x x =处有_________时，则函数)(x f y =相应地有_____________________，如果_________时，_______________________, 即____________________________________________________________

_____________________________________________________________

注意：①

②

③

④

⑤

例1．若2)(0='x f ，则_____2)()(lim 000=--→k

x f k x f k 例2．如果函数)(x f y =可导，那么x

f x f x ?-?+→?3)1()1(lim 0的值为_____ A. )1(f ' B. )1(3f ' C.

)1(31f ' D. )3(f ' 例3．设函数)(x f y =可导，满足12)1()1(lim 0-=--→x

x f f x ，则过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f 处切线斜率为_____

二、导函数

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的各点处________，此时，_________________，______________________________，称这个函数)(x f '为函数)(x f y =在开区间内的导函数。 即______________________________________________________

三、导数运算

1．基本函数的导数公式

①C x f =)(（C 为常数），则_________；②n x x f =)(，则_____________

③x x f sin )(=，则_______________；④x x f cos )(=，则___________

⑤x a x f =)(，则_______________；⑥x e x f =)(，则___________

⑦x x f a log )(=，则_____________；⑧x x f ln )(=，则___________

2．导数的运算法则

_________________])()([='±x g x f

_______

__________])()([='?x g x f _________________])

()([='x g x f 3.复合函数求导__________________________

例1．求下列函数的导数

①65324+--=x x x y ②x x y sin = ③1

1+-=x x y

④)3

2sin(π+=x y ⑤)3(log 2x y = 例2．已知函数)(x f y =在R 上可导，若函数)4()4()(22x f x f x F -+-=，则_____)2(='F 例3．（10江西）等比数列{}n a 中，4,281==a a ，函数)())(()(821a x a x a x x x f ---= ，则______)0(='f

A. 62

B. 92

C. 122

D. 152

四、导数的几何意义

函数)(x f y =在点))(,(00x f x 处的导数的几何意义是______________________________。 切线方程为______________________________________________

注意：①______________________________________________________________________ ②____________________________________________________________________________ 例：求函数x

y 1=过)0,4(处的切线方程。 ③考点分析_________________________________________________

典型例题：

例1．过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________

例2．（09全国）曲线1

2-=x x y 在点)1,1(处的切线方程为____________________ A. 02=--y x B. 02=-+y x C. 054=-+y x D. 054=--y x 例3．（09全国）设曲线2ax y =在点),1(a 处的切线与直线062=--y x 平行，则a 的值为____

例4．设曲线1

1-+=

x x y 在点)2,3(处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a 的值为____ 例5．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为________． 例6．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2

处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.

例7．（09安徽）已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为______

A. 12-=x y

B. x y =

C. 23-=x y

D. 32+-=x y

例8．（08辽宁）设P 为曲线32:2++=x x y C 上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为??

????4,0π，则点P 的横坐标为____ A. ??????--21,1 B. []0,1- C. []1,0 D. ??

????1,21 例9．（10辽宁）已知点P 在曲线1

4+=x e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围_____

A. ??????4,0π

B. ??????2,4ππ

C. ??? ??43,2ππ

D. ??????ππ,43 例10．（10江苏）函数)0(2>=x x y 的图象在点),(2k k a a 处的切线与x 轴的交点横坐标为1+k a ，其中*∈N k ，若161=a ，则______531=++a a a

例11．（09福建）若曲线x ax x f ln )(2+=存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是____

例12．点P 是曲线0ln 22=--x y x 上任意一点，则点P 到直线0144=++y x 的最小距离为_________

例13．（07江苏）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为0)0(),(>''f x f ，对任意实数x ，都有0)(≥x f ，则)

0()1(f f '的最小值为_______