平面向量基本定理及坐标表示

一．知识点总结

1.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）

（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；

（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,λλ可以相同，也可以不同；

（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。

2.向量的坐标表示与坐标运算:

(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标

(2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x ,1y ) B(2x , 2y ) 则()1212,y y x x AB --= 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a =(x, y)和实数λ，则λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

3.向量平行的坐标表示: 结论：a //b (b ≠0)的充要条件是01221=-y x y x .

二．练习

1.在梯形ABCD 中，AB //CD ,CD AB 2=,F E ,是BA DC ,的中点，b AB a AD ==,,是以b a ,为基底表示EF BC DC ,,。

2.已知ABCD 为矩形，且AB AD 2=，又ADE ?为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，2121,,,e e e EF e EA 以==为基底，表示向量BD AD AB AF ,,,.

4．已知a ＝(x,3)，b ＝(3，－1)且a ∥b ，则x 等于( )

A ．－1

B ．9

C ．－9

D ．1

5．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A 、B 、C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( )

A ．(－9,6)

B ．(－1，－2)

C ．(－7，－2)

D ．(6，－9)

6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )

A ．(－5，－10)

B ．(－4，－8)

C ．(－3，－6)

D ．(－2，－4)

7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n

等于( )

A. 12 B ．2 C ．－12

D ．－2

8.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________. 9.．已知M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝________.

10.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，如果A 、B 、C 三点共线，则实数k ＝

________.

11.如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试

确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线．

10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：

(1)t 为何值时，P 在x 轴上，P 在y 轴上，P 在第二象限？

(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出t 的值，若不能，请说明理由．

13.已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于( )

A. 34 B ．－34 C. 43 D ．－43

14.已知A (2,3)，B (6，－3)，P 是靠近A 的线段AB 的一个三等分点，则点P 的坐标是________．

15.已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →时，求x ，y 应满足的关

系式．

16.设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .

17.已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13

BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 18.已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．

(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；

(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．

19.下列向量中，不是单位向量的有：（）

（1）()θθsin ,cos -=a （2）()5lg ,2lg =

b （3）()22,x x

c -=

（4）()x x d ,1-=

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

平面向量基本定理教案(区公开课)

仁爱/诚信/勤奋/创新授课教师：蒋金凤课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班

授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重点平面向量基本定理难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证突破方法通过实例画图和类比平面直角坐标系的象限归纳总结教学模式讲授式、探究式板书设计平面向量基本定理平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影小结：教学过程教学活动学生活动设计意图一、情景引入两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算（1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？看图观察并思考，说出自己的判断和依据学生口述，作图过程得结果独立完成，个别展示从实际生活问题入手，贴近学生的日常生活，能很好地激发学生的求知欲望复习向量的线性运算和共线向量定理，为后续的向量的分解和唯一性作铺垫进入向量分解的探究，刚刚作图的过程还记忆犹新，按照来的痕迹寻找构造平行四边形的方法

向量的坐标表示及其运算

资源信息表

（2）向量的坐标表示及其运算（2）一、教学内容分析向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充

要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点课本例5的演绎证明；分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计：复习向量平行的概念：提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向

量。（2）实数与向量相乘有何几何意义（3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行（4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要由此，通过改进引出课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明，（Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即

2.3.1平面向量基本定理教案(人教A必修4)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时 λa = 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R ) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线). 五、小结（略）

2.3.4平面向量共线的坐标表示

平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示一、教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。 2、过程与方法：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 3情感态度与价值观：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。三、教学重点与难点教学重点：平面向量的坐标运算。教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确. 四、教学设想（一）导入新课思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行向量的共线用代数运算如何体现思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢（二）推进新课、新知探究、提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗 ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗标出点P 后,你能总结出什么结论活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:

(完整版)平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是（） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

2.3.1平面向量基本定理(教学设计)

2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点：平面向量基本定理．一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解：思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1．平面向量基本定理（1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得

平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底，则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为

2.3.1平面向量基本定理教案

2.3.1 平面向量的基本定理教学目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量．教学重点：平面向量的基本定理及其应用．教学难点：平面向量的基本定理．教学过程：一、复习提问： 1．向量的加法运算（平行四边形法则）； 2．向量的减法运算； 3．实数与向量的积； 4．向量共线定理。二、新课： 1．提出问题：由平行四边形想到：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课 1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量， =1e ，=λ1 2e ，=a =+=λ1 1e +λ2 2e ， =2e ，=λ 2 2e ． 1e 2e a C

得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ 1 1e +λ2 2e ．注意几个问题：（1）1e ,2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；（2）这个定理也叫共面向量定理；（3）λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量．例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e +32e ．作法：（1）取点O ，作=-2.51e ，=32e ，（2）作平行四边形OACB ，即为所求．已知两个非零向量a 、b ，作OA = a ，OB = b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向，如果a 与b 的夹角为90°，我们说a 与b 垂直，记作：a ⊥b ．三、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合． 1 e 2e

平面向量共线的坐标表示

课时跟踪检测（二十一）平面向量共线的坐标表示层级一学业水平达标 1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝????12 ，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12 e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ―→，则实数λ的值为( ) A ．－23 B.32 C.23 D ．－32 解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ―→＝(3,1)， ∵a ∥AB ―→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23 ，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2,1) B ．(－6，－3) C ．(－1,2) D ．(－4，－8) 解析：选D AB ―→＝(1,2)，向量(2,1)，(－6，－3)，(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8) 与(1,2)平行且方向相反． 4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6 解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6. 5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝? ???1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．15°

(完整版)向量共线的坐标表示

《平面向量共线的坐标表示》教案教学目标 (1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式； (2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力； (3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识. 教学重点和难点 (1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解； (2)难点：定比分点的理解和应用。教学过程一、新知导入（一）、复习回顾 1、向量共线充要条件: 2.平面向量的坐标运算：（1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则 a + b =(x 1+x 2,y 1+y 2). a - b =(x 1-x 2,y 1-y 2). λa =(λx 1,λy 1). （2）. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. （二）、问题引入已知下列几组向量： (1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)； (4)a ＝????12，1，b ＝??? ?－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？ ),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则. ,)(//λλ=?≠使存在唯一实数

二、新知探究思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?21 21y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2 211x y x y = ？（不能。 ∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)???===?. 01221y x y x b a λ 三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用） 1．向量共线问题：例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．变式练习1： 2．证明三点共线问题：例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．已知a //b,且a =(x,2),b =(2,1),求x 的值.

高中数学优质课比赛平面向量基本定理教案

《平面向量基本定理》教学教案 ----新余一中蒋小林一、背景分析 1．教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。 2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．二.学习目标 1）知识与技能目标 1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。 2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。 2）过程与方法目标 1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培

养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。 2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 3）情感、态度与价值观目标 1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识； 2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现了培养学生核心素养的要求．三．教学过程设计教学过程 1．创设问题、引出新课（一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。 [设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。 2.问题驱动、探究新知问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。 [设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示

人教版高中数学高一A版必修4 平面向量共线的坐标表示

主动成长夯基达标 1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,-2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,7) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(21,-4 3) 解析：平面内任意两个不共线的向量都可作为所在平面内所有向量的基底. 对于A,e 1=0与任何向量共线, C 中,2e 1=e 2,∴e 1与e 2共线. D 中,4 1e 1=e 2,∴e 1与e 2共线. 答案：B 2.已知a =(-1,3),b =(x,-1),且a 、b 共线,则x 等于( ) A.3 B.-3 C. 31 D.-31 解析：因为a 、b 共线,所以1=3x,∴x= 31. 答案：C 3.已知A(-1,-4),B(8, 2 1),且A 、B 、C 三点共线,则C 点的坐标为( ) A.(9,1) B.(-9,1) C.(9,-1) D.(-9,-1) 解析：设C(x,y),=(8, 21)-(-1,-4)=(9,29), =(x,y)-(8,21)=(x-8,y-2 1), =(x,y)-(-1,-4)=(x+1,y+4), ∵A 、B 、C 三点共线, ∴AB 与BC 与AC 三个向量共线. ∴??? ????+-=+--=-).1)(21()4)(8(),8(29)21(9x y y x x y 经检验x=9,y=1适合. 答案：A 4.设a =( 31,tanα),b =(cosα, 23),且a 、b 共线,则锐角α的值为( ) A.12π B.6π C.4π D.3 π 解析：∵a 、b 共线,∴31×2 3-tanα·cosα=0,

平面向量基本定理03913

2.3.1平面向量基本定理学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学：［基础初探］教材整理1平面向量基本定理阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一

组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.

平面向量基本定理教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

§2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 b =λa . 二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：

平面向量的坐标表示

7.2.2平面向量的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示课型：新授课课时：1课时一、教材分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得b a λ=,那么与共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能目标进一步掌握平面向量正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件. 2、过程与方法在平面向量坐标表示的基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题，培养学生应用能力. 3、情感态度与价值观通过学习向量共线的坐标表示，让学生领悟到数形结合的思想；使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；培养学生勇于创新的精神.

必修四平面向量基本定理

平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .

思考在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一对向量的基底认识例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)

平面向量基本定理(教案)

《2.3.1 平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】 1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。 2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。 3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。【目标分析】知识与技能 1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合； 2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。过程与方法 1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念； 2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。情感态度价值观 1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程； 2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。【学情分析】有利因素 1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备； 2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了认知准备。不利因素

平面向量的基本定理

平面向量的基本定理各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析一、说教材 1.关于教材内容的分析（1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。（2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。（3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量

②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。二、说教学方法与教学手段结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习，采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。