高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案含解析

坐标系与参数方程考向一：极坐标方程极坐标

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．极坐标与直角坐标的互化yMx，则它们之间的关)，极坐标是((是平面内任意一点，它的直角坐标是ρ，，θ设) 系为：03 ?222yx＝□ρ＋，01??x?＝□，cosρθ??y0402x?

＝□θtan??y＝□θ；ρsin x?

22yxOyCx25.

6)1、［2016?全国Ⅱ，23］在直角坐标系＋中，圆＝的方程为(＋Cx轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；(1)以坐标原点为极点，tx，cos＝α??ABlClABt，与＝交于|，两点，()为参数，|10(2)直线的参数方程是?tyα＝sin??l的斜率．求2Cyx0. 11＝＝ρsinθ可得圆ρ的极坐标方程＋12ρcosθ(1)解由＋＝ρcosθ，l．在(1)中建立的极坐标系中，直线θ的极坐标方程为＝α(ρ∈R)(2)2ClABρ，将的极坐标方程得的极坐标方程代入，ρ所对应的极径分别为，ρ设210.

＋12ρcosα＝＋1111.

ρρ＝ρ＋＝－12cosα，于是ρ22112AB

4－ρ|||＝ρ－ρ|ρ＝＋ρρ222111244.

＝－144cosα1532AB.

α，tan由|＝±|＝10得cosα＝381515l的斜率为. 所以或－33 0Cl的方程得解法二：将的参数方程代入tttt11. ，α＝于是＋＝－12cos22112ttAB44

α－||＝|－144cos|＝211532AB.

α，＝cos10由||＝得αtan＝±38．

1515l. 的斜率为或－所以33πllCMNCMN的交于两点，求△ρ∈R)，，条件探究：若直线与的极坐标方程为θ＝(4面积．

2CBlAρ的极坐标方程得，ρ，将ρ设的极坐标方程代入，＋所对应的极径分别为ρ210.

＝＋1111.

＝，ρ于是ρ＋ρρ＝－21212AB

ρρρ|＝＝ρ＋ρ－|4|＝|ρ－212121CMNC.

的面积为圆的半径为5，△

???(2,0)A)C(2,B(2,)Ox，中，【2019，，年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系2、

44?M)?(1,0)(1,D(2,?))(1,是弧，，，曲线，弧，，，所在圆的圆心分别是CDBC ABAB12MM 是弧．，曲线曲线是弧CDBC32MMM的极坐标方程； 1）分别写出，，（312MMM|OP|?3PM PM 的极坐标．在，求，上，且（2）曲线构成，若点由，321

π??????2cos??0MM的极坐标方程为【答案】（1），的极坐标方程为??214??π3ππ3??????????π????2sin??2cos?M的极坐标方程为．，????3444????πππ52π????????3,3,3,3,或．或或（2）???????? 6633??????????CD,BC,AB2cos?，所在圆的极坐标方程分别为1）由题设可得，弧【解析】（????2cos??2sin?，．π?????MM???2cos0为程标极坐方的所以极坐标程为，方的??214??π3π3π??????????M??π?2sin????2cos．，的极坐标方程为????3444????．

??)(,P，由题设及（1（2）设）知ππ???32cos??0??若，解得，则；64πππ3π2????32sin?????若，则；，解得或3443π3π5???π32cos?????，解得，则．若64ππππ52????????3,3,3,3,P综上，．或的极坐标为或或????????6336????????xxOy轴正半轴为极轴建在直角坐标系中，以坐标原点为极点，?全国Ⅱ，22］20173、［C4.

立极坐标系，曲线＝的极坐标方程为ρcosθ1POPMCPOMOM的轨迹(1)|为曲线＝上的动点，点|·|

在线段16上，且满足|，求点1

C 的直角坐标方程；2

π????OABCAB ，2 上，求△在曲线面积的最

大值．(2)设点，点的极坐标为 2??3MP θ)(ρ>0)θ)(ρ>0)，

．的极坐标为(ρ解 (1)设，的极坐标为(ρ，11

4OMOP .

|＝ρ由题设知||＝ρ，|＝

1

θcos COMOP ．ρ>0)16得(的极坐标方程为ρ＝由|4cos|·|

θ|＝222

xyCx 的直角坐标方程为(4(－2)＋≠0)．因此＝2

B >0)．ρ的极坐标为(ρ，α)((2)设点

BB

OABOA 的面积2，ρ＝4cos α由题设知|，于是△|＝B

π1????????AOBSOA －α ·sin ＝4cos ＝|· in ∠|·ρα B

????32??π3??????3. ＝2≤ ＋－2α－sin ??3??2πS 3. ＋取得最大值当α＝－时，2 12OAB 3.

2面积的最大值为所以△＋???0),)(M (?O 在曲线4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，为极点，点000??A (4,0):?4sin C OM Pl ．上，直线且与过点 垂直，垂足为???=l 的极坐标方程；1 ）当及时，求（0 03MCPOMP 点轨迹的极坐标方程．上运动且上时，求）当（2在线段在

?????

?cos2??3?2l ；

，）的极坐标方程为 【答案】（1?? 03?????????,,??4cos 2）．（?? 24??

????

????,M 324sin ???C 在上，

当时，【解析】（1）因为． 000033?2cos ??|OA ||OP | 由

已知得．

3???????OPQ △Rt 2|?cos ?|?OP )Q (,Pl 上除的任意一点．在设中，为，??

3????????2?cos ?)P (2, 在曲线上．经检验，点?? 33???????2cos ??l 所以，．的极坐标方程为?? 3????????OAP △Rt 4cos ?4cos ?,|OP |?|OA |cos ),P ( 中，即2（）设，

在．?????OM ?AP ,OMP 的取值范围是上，且，故因为．在线段??

24?????????,,?4cos ?P

点轨迹的极坐标方程为所以，．??

24?? 考向二：参数方程

x ，＝θ3cos ??CxOy (］在直角坐标系中，曲线θ的参数方程为22、1［2017?全国Ⅰ，?y θsin ＝??

txa ，＝＋4??tl )，直线为参数)．的参数方程为 (为参数?ty －＝1??laC 与的交点坐标；，求若(1)＝－1aCl .

，求17距离的最大值为上的点到若(2)．

2

x 2

yC 1.

解 (1)曲线＝的普通方程为＋

9yxal

0.

＋4＝－＝－1时，直线3的普通方程为当21?yxx?，0－3＋4＝，＝－??25x，3＝????2解得或由x?2yy240＝，1＋＝?????9y?.＝252421lC.

从而，与）的交点坐标为(3，0)，（－2525dlClxya的距离为到θ)上的点(2)直线(3cos 的普通方程为θ＋4，－4－＝0，故sin a4|－|3cosθ＋4sinθ－.

＝17a9＋da.

的最大值为4当时，≥－17a9＋a＝8；由题设得＝17，所以17a1＋－ad的最大值为时，.

＜－当417a＋－1由题设得＝17， 17a＝－所以16.

aa＝－或16.

＝8综上，2?t?1x?，??2t?1CxOy的参数方程为中，曲线2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系?t4??y?2t?1?lOxt的极坐标为极点，为参数）．以坐标原点轴的正半轴为极

轴建立极坐标系，直线（????011sin2?cos??3方程为．lC和）求的直角坐标方程；1（lC

上的点到）求距离的最小值．（22y2l1)?x?1(x??0?y?1127；；．（【答案】1）的直角坐

标方程为（）42t1???1?1，）解法一：【解析】（1，2

t?1，，

，

2y2??1(x??1)x C的直角坐标方程为. 所以422222??t1?ty?14t??2?1??11???x?因为，解法二:，

??222t1?t1?2??2??t1?2y2?1)xx???1(C的直角坐标方程为且????

所以．4l011?3y?2x?的直角坐标方程为．?,cos x????π??π?C（）．为参数，（2）由（1）可设的参数方程为??2sin y??π???114cos????

??11||2cos??23sin3???l C上的点到的距离为．77ππ2??

??l711?4cos???C．上的点到7时，取得最小值当，故距离的最小值为??33??x，

θ＝cos??OxOyθ的参数方程为中，⊙22?全国Ⅲ，］在平面直角坐标系(3、［2018?yθ＝sin??BOAl 交于的直线两点．与⊙，为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的取值范围；α(1)求PAB中点的轨迹的参数方程．(2)求π22OlOxy与⊙交于两点．解析一：⊙解：(1)α的直角坐标方程为＝＋时，＝1.当22πOklykxl交于两点当且仅当记tanα＝与⊙，则的方程为－＝2.时，当α≠22k＋1kk－1或，<1，解得>1<π3ππ3πππ.

α的取值范围是（，）∈（∈（，）或α，）.综上α即422444tx，cosα＝??tl解析二：设为参数，的参数方程为?tyαsin2＝－＋2ttO0.

＝＋2－21代入⊙sin的直角坐标方程得α0BOAl， in in直线与⊙交于，，两点，所以

ππ3.

），α的取值范围是（44tx，cos＝α?π3π?tl. α为参数，的参数方程为<<(2) 44?tyαsin＋2＝－

tt＋BA2tttttttABPtα，且＝2设，，2，满足对应的参数分别为sin，，－，则BPAPBA20.

＋1＝ttt.

α＝＋＝2sin22sinα，于是PAB tx，αcos＝?P?yPx的坐标(又点)，满足?ty，α＝－2＋sin P 2??x，α＝sin22π3π?P.

所以点<的轨迹的参数方程是α为参数，<α4422??yα＝－－cos222 ，BOAl两点，若，与⊙交于(0，－2)，过点M条件探究：点的直线l 的方程。求直线tx，＝αcos?ππ3?tl. 为参数，<解：α的参数方程为<44?tyα＝－2＋sin2ttttBttttA0. ＝＋2 =21，且，sin设，满足对应的参数分别为α，－，则2BABBA A ttttsin，.＝1，得于是= ＋α＝22sinα，BAAB

l 所以直线的方程为x，2cosθ＝??C2018xOy(的参数方程为中，曲线［θ?全国Ⅱ，22］在直角坐标系4、?yθ＝4sin??tx，＝1＋αcos??tl为参数的参数方程为)(．为参数)，直线?tyαsin＝2＋??Cl的直角坐标方程；和(1)求Cll的斜率．若曲线(1,2)截直线，求所得线段的中点坐标为(2)22yxC1.

的直角坐标方程为＋＝解 (1)曲线164lxly的时，tanα，当cosα＝当cosα≠0时，0的直角坐标方程为＝tanα·－＋2x1.

＝直角坐标方程为tCl的直角坐标方程，整理得关于将(2)的方程的参数方程代入22tt 8＝0.①α)＋4(2cosα＋sinα)－3cos(1＋tCtlC，则所得线段的中点(1,2)在因为曲线截直线，内，所以①有两个解，设为21tt0.

＝＋21ααsin＋tt，＋＝－又由①得

212α

3cos1＋kl2. tan0α＋2cos故αsin＝，于是直线的斜率＝α＝－