离散数学期末复习要点与重点 (2)
离散数学期末复习要点与重点
离散数学计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程,共72学时,开设一学期.该课程的主要内容包括:集合论、图论、代数结构.
第6章 集合及其运算
复习要点
1.理解集合、元素、集合的包含、子集、相等,以及全集、空集和幂集等概念,熟练掌握集合的表示方法.
具有确定的,可以区分的若干事物的全体称为集合,其中的事物叫元素..
集合的表示方法:列举法和描述法.
注意:集合的表示中元素不能重复出现,集合中的元素无顺序之分.
掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念.
注意:元素与集合,集合与子集,子集与幂集,∈与?(?),空集?与所有集合等的关系. 空集?,是惟一的,它是任何集合的子集.
集合A 的幂集P (A )=}{A x x ?, A 的所有子集构成的集合.若∣A ∣=n ,则∣P (A )∣=2n .
2.熟练掌握集合A 和B 的并A ?B ,交A ?B ,补集~A (~A 补集总相对于一个全集).差集A -B ,对称差⊕,A ⊕B =(A -B )?(B -A ),或A ⊕B =(A ?B )-(A ?B )等运算,并会用文氏图表示.
掌握集合运算律(见教材)(运算的性质).
3.掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法.
集合的运算问题:其一是进行集合运算;其二是运算式的化简;其三是恒等式证明. 证明方法有二:(1)要证明A =B ,只需证明A ?B ,又A ?B ;
(2)通过运算律进行等式推导.
重点:集合概念,集合的运算,集合恒等式的证明.
第7、8章 关系与函数
复习要点
1.了解有序对和笛卡儿积的概念,掌握笛卡儿积的运算.
有序对就是有顺序二元组,如
注意:有序对≠,以a , b 为元素的集合{a , b }={b , a };有序对(a , a )有意义,而集合{a , a }是单元素集合,应记作{a }.
集合A ,B 的笛卡儿积A ×B 是一个集合,规定A ×B ={
2.理解关系的概念:二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图,掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法.
二元关系是一个有序对集合,},{B y A x y x R ∈∧∈><=,记作xRy .
关系的表示方法有三种:集合表示法,
关系矩阵:R ?A ×B ,R 的矩阵???
? ??==?????/==?n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(. 关系图:R 是集合上的二元关系,若∈R ,由结点a i 画有向弧到b j 构成的图形.
空关系?是唯一、是任何关系的子集的关系; 全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ?≡;
恒等关系},{A a a a I A ∈><=,恒等关系的矩阵M I 是单位矩阵.
关系的集合运算有并、交、补、差和对称差. 复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈><=?=;
复合关系矩阵:21R R R M M M ?=(按布尔运算);
有结合律:(R ?S )?T =R ?(S ?T ),一般不可交换. 逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-;
逆关系矩阵满足:T R R M M =-1;
复合关系与逆关系存在:(R ?S )-1=S -1?R -
1.
3.理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示),掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图,充分条件),知道关系闭包的定义和求法.
注:(1)关系性质的充分必要条件:
① R 是自反的?I A ?R ;
②R 是反自反的?I A ?R =?;
③R 是对称的 ?R =R -1;
④R 是反对称的?R ?R -1?I A ;
⑤R 是传递的?R ?R ?R .
(2)I A 具有自反性,对称性、反对称性和传递性.E A 具有自反性,对称性和传递性.故I A ,E A 是等价关系.?具有反自反性、对称性、反对称性和传递性.I A 也是偏序关系.
4.理解等价关系和偏序关系概念,掌握等价类的求法和作偏序集哈斯图的方法.知道极大(小)元,最大(小)元的概念,会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界. 等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系. ???==+??????+偏序关系
等价关系传递性反对称性对称性自反性 知道等价关系图的特点和等价类定义,会求等价类.
一个子集的极大(小)元可以有多个,而最大(小)元若有,则惟一.且极元、最元只在该子集内;而上界与下界可以在子集之外.由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元,极大(小)元.
5.理解函数概念:函数(映射),函数相等,复合函数和反函数.理解单射、满射和双射等概念,掌握其判别方法.
设f 是集合A 到B 的二元关系,?a ∈A ,存在惟一b ∈B ,使得∈f ,且Dom(f )=A ,f 是一个函数(映射).函数是一种特殊的关系.
集合A ×B 的任何子集都是关系,但不一定是函数.函数要求对于定义域A 中每一个元素a ,B 中有且仅有一个元素与a 对应,而关系没有这个限制.
二函数相等是指:定义域相同,对应关系相同,而且定义域内的每个元素的对应值都相同.
函数有:单射——若)()(2121a f a f a a ≠?≠;
满射——f (A )=B 或,,A x B y ∈?∈?使得y =f (x );
双射——单射且满射.
复合函数,:,:,:C A f g C B g B A f →→→ 则 即))(()(x f g x f g = .
复合成立的条件是:)(Dom )(Ran g f ?.一般g f f g ≠,但f g h f g h )()(=.
反函数——若f :A →B 是双射,则有反函数f -
1:B →A ,
},)(,,{1A a b a f B b a b f ∈=∈><=-,f f g f f g ==-----11111)(,)( 重点:关系概念与其性质,等价关系和偏序关系,函数.
第9、10、11章 代数结构
本章重点:代数运算及性质,群的概念,置换和置换群、交换群和循环群.
一、重点内容 1.代数运算及其性质
二元运算,非空集合A 上的函数(映射) f :A 2→A 就是A 上的二元代数运算, 就是说二元运算是一个变换(对应关系).
代数运算的性质:
交换律 ?x ,y ∈A ,有x y =y x , 在A 上适合交换律.
结合律 ?x ,y ∈A ,有(x y ) z =x (y z ),运算 在A 上适合结合律.
分配律 ?x ,y ,z ∈A ,有x *(y z )=(x *y ) (x *z ) 或(y z )*x =(y *x ) (z *x ),* 对 适合分配律.
幂等律 ?x ∈A ,有x x =x ,则运算 在A 上适合幂等律.
吸收律 ?x ,y ∈A , 有x *(x y )=x , x (x *y )=x , 和 * 满足吸收律.
单位元 e l , (或e r )∈A ,对?x ∈A , 有e l x =x (x e r =x ), e l (或e r )是A 的运算 的左单位元(或右单位元). e 既是右单位元又是左单位元就是单位元.
逆元 对x ∈A ,若x -1∈A , 有x -1 x =x x -1=e ,x -1是x 的逆元.
代数系统 在非空集合A 上,定义了若干代数运算f 1,f 2,…,f m , (A , f 1,f 2,…,f m )称为代数系统. 若B ?A ,f 1,f 2,…,f m 在B 上成立,(B , f 1,f 2,…,f m )称为子代数系统.
2.群
代数系统
子群群半群)(存在逆元、单位元具有结合律,*)(,***H G G H ??→???????→?????→?? 注意:由上可见,代数系统、半群、群(子群)是一条线下来,条件逐步加强,半群和群是我们讨论的重点.
群的性质:(1) (a -1)-1=a ; (2) (a *b )-1=b -1*a -
1;(3) a m *a n =a m +n ;(4) (a m )n =a mn ; (5)(方程的可解性) 方程a *x =b 或y *a =b 有唯一解; (6) (消去律) 由a *c =b *c 或 c *a =c *b ,可得a =b
3. 特殊群
交换群,群(G ,*)的二元运算*满足交换律,(G ,*)是交换群(阿贝尔群) .
循环群,群G 能表成
G ={a k ∣k ∈Z ,a ∈G }
G 是循环群. 记作G =,a 是群G 的生成元.
对称群 设S={1,2,…,N},S 上的所有n 元置换构成的集合Sn , 对于置换乘法,构成一个群,称为n 元对称群.
置换群,n 元集合S 上的所有n 元置换构成的集合S n ,关于置换乘法构成n 元对换群,它的子群叫置换群.
4. 置换,
置换,有限集合S ={a 1,a 2,…,a n }上的双射σ:S →S ,n 元置换 ????
??=)()()(11121a a a a a a n σσσσ
置换复合(乘法),设
??
?
?
?
?
=
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
n
n
a
a
a
a
a
a
σ
σ
σ
σ
,
??
?
?
?
?
=
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
n
n
a
a
a
a
a
a
τ
τ
τ
τ
那么
??
?
?
?
?
=
=
=
?
))
(
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
*
2
1
2
1
n
n
a
a
a
a
a
a
x
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
στ
τ
σ
单位置换,
??
?
?
?
?
=
n
n
a
a
a
a
a
a
I
2
1
2
1
逆置换,σ-1=
??
?
?
?
?
n
n
a
a
a
a
a
a
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(σ
σ
σ
n元集合S上的n元置换有n!个,有n元置换构成的集合,记作S n.
轮换,满足:(1)σ(a1)=a2, σ(a2)=a3, …,σ(a m)=a1;(2)σ(a)=a,当a≠a k,(k=1,2,…,m)时. 则σ是一个长度为m的轮换,记作(a1,a2,…,a m).
重要结论:置换有结合律;不相交的轮换有交换律;S n中任一置换都可以唯一地表示成一系列不相交的轮换之积. 而任何轮换又可以进一步表示成对换之积,所以任何n元置换都可以表示成对换之积。
5. 同态与同构
同态,代数系统(G,*)和(S, ?),f是从G到S上的一个映射. ?a,b∈G,有
f(a*b)=f(a) ?f(b)
则称f是由(G,*)到(S, ?)的一个同态映射. 并称G与S同态. 如果f是满射,则称G与S是满同态,记作G~S;如果f是单射,则称G与S是单同态.
(f(G), ?)称为(G,*)在f下的同态象..
同构,代数系统(G,*)到(S, ?),如果f是从G到S的一个双射,则称f是从G到S的同构,
群同构,设群(G,*)和(S, ?),存在从(G,*)到(S, ?)的同态双射,则称群(G,*)与(S, ?)同构.
6.环与域
定义10.4 设
(1) 若环中乘法·适合交换律,则称R是交换环。
(2) 若环中乘法·存在单位元,则称R是含幺环。
(3) 若?a,b∈R,ab=0 ? a=0∨b=0,
则称R是无零因子环。
(4) 若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环,
则称R是整环。
定义12.5 设R是整环,且R中至少含有两个元素. 若?a∈R*,其中R*=R-{0},都有a-1∈R,
则称R是域.
?能判别给定代数系统是环。
?能判断给定的环是交换环、含幺环、无零因子环与整环。
?能判断给定的代数系统是域。
第11章格与布尔代数
?偏序集构成格的条件:任意二元子集都有最大下界和最小上界。
?格作为代数系统的定义。
?如果格中一个运算对另一个运算是可分配的,称这个格是分配格。
? 分配格的两种判别法:
不存在与钻石格或五角格同构的子格;
对于任意元素a,b,c,有 a ∧b =a ∧c 且a ∨b =a ∨c ?b =c 。
? 有界格的定义及其实例。
? 格中元素的补元及其性质(分配格中补元的唯一性)。
? 有补格的定义。
? 布尔格或布尔代数的定义:如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或布尔代数。
第14章 图的基本概念
复习要点
1.理解图的概念:结点、边、有向图,无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理.
图是一个有序对
掌握无向边与无向图,有向边与有向图,混合图,零图,平凡图、自回路(环),无向平行边,有向平行边等概念.
简单图,不含平行边和环(自回路)的图、
在无向图中,与结点v (∈V )关联的边数为结点度数deg (v );在有向图中,以v (∈V )为终
点的边的条数为入度deg -(v ),以v (∈V )为起点的边的条数为出度deg +(v ),deg(v )=deg +(v )
+deg -
(v ). 无向完全图K n 以其边数)1(21-=
n n E ;有向完全图以其边数)1(-=n n E . 了解子图、真子图、补图和生成子图的概念. 生成子图——设图G =
重要定理:
(1) 握手定理 设G =
v E v 2)deg(; (2) 在有向图D =
;
(3) 奇数度结点的个数为偶数个.
2.了解通路与回路概念:通路(简单通路、基本通路和复杂通路),回路(简单回路、基本回路和复杂回路).会求通路和回路的长度.基本通路(回路)必是简单通路(回路).
了解无向图的连通性,会求无向图的连通分支.了解点割集、边割集、割点、割边等概念.了解有向图的强连通强性;会判别其类型.
设图G =
无向图G 中,结点u , v 存在通路,u , v 是连通的,G 中任意结点u , v 连通,G 是连通图.P (G )表示图G 连通分支的个数.
在无向图中,结点集V '?V ,使得P (G -V ')>P (G ),而任意V "?V ',有P (G -V ")=P (G ),V '为点割集. 若V '是单元集,该结点v 叫割点;边集E '?E ,使得P (G -V ')>P (G ),而任意E "?E ',有P (G -E ")=P (G ),E '为边割集.若E '是单元集,该边e 叫割边(桥).
要知道:强连通??→?必是
单侧连通??→?必是弱连通,反之不成立. 3.了解邻接矩阵和可达矩阵的概念,掌握其构造方法及其应用.
重点:图的概念,握手定理,通路、回路以及图的矩阵表示.
第14章 几种特殊图
复习要点
1.理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念,掌握欧拉图的判别方法.
通过连通图G 的每条边一次且仅一次的通路(回路)是欧拉通路(回路).存在欧拉回路的图是欧拉图.
欧拉回路要求边不能重复,结点可以重复.笔不离开纸,不重复地走完所有的边,走过所有结点,就是所谓的一笔画.
欧拉图或通路的判定定理
(1) 无向连通图G 是欧拉图?G 不含奇数度结点(即G 的所有结点为偶数度);
(2) 非平凡连通图G 含有欧拉通路?G 最多有两个奇数度的结点;
(3) 连通有向图D 含有有向欧拉回路?D 中每个结点的入度=出度.
连通有向图D 含有有向欧拉通路?D 中除两个结点外,其余每个结点的入度=出度,
且此两点满足deg -(u )-deg +(v )=±1.
2.理解汉密尔顿通路(回路)、汉密尔顿图的概念,会做简单判断.
通过连通图G 的每个结点一次,且仅一次的通路(回路),是汉密尔顿通路(回路).存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.
汉密尔顿图的充分条件和必要条件
(1) 在无向简单图G =
(2) 有向完全图D =
(3) 设无向图G =
若此条件不满足,即存在V 1?V ,使得P (G -V !)>∣V 1∣,则G 一定不是汉密尔顿图(非汉密尔顿图的充分条件).
3.掌握图论中常用的证明方法.
重点:欧拉图和哈密顿图、平面图的基本概念及判别.
离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;
2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;
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离散数学复习注意事项: 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做,检验一下第一遍与第二遍复习情况,要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1.下列句子中,()是命题。 A.2是常数。B.这朵花多好看呀! C.请把门关上!D.下午有会吗? 2.令p: 今天下雪了,q:路滑,r:他迟到了。则命题“下雪路滑,他迟到了” 可符号化为()。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3.令:p今天下雪了,:q路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为()。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4.设() Q x:x会飞,命题“有的鸟不会飞”可符号化为()。 P x:x是鸟,() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y:x大于等于y;命题“所有整数 f x:x的绝对值,(,) P x:x是整数,() 的绝对值大于等于0”可符号化为()。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人,() G x:x犯错误,命题“没有不犯错误的人”符号化为()。 A.(()()) ??→? x F x G x ?∧B.(()()) x F x G x C.(()()) ??∧? x F x G x ??∧D.(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是()。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8.设() R x:x为有理数;() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为()
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法:陈述句真值唯一,特殊:反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的:1∧1?1,0∨0?0,1→0?0,11?1,00?1详见P5 3、命题符号化步骤:A划分原子命题,找准联结词。特殊自然语言:不但而且,虽然但是用∧,只有P才Q,应为Q→P;除非P否则Q,应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定(重言式、矛盾式、可满足式)方法:其一根据所有真值赋值情况,其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤:①命题变元按字典序排列,共有2n个真值赋值。②对每个指派,以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂,可先列出各子公式的真值(若有括号,则应从里层向外层展开),最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念:置换规则,P规则,T规则,详见P24;合取范式,析取范式,详见P15;小项详见P16;大项详见P18,最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法:①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式:(1)双否定:??A?A。(2)交换律:A∧B?B∧A,A∨B?B∨A,A?B?B?A。3)结合律:(A∧B)∧C?A ∧(B∧C),(A∨B)∨C?A∨(B∨C),(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律:A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C),A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律:?(A∧B)??A∨?B,?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律:A∧A?A,A∨A?A。(7) 同一律:A∧T?A,A∨F?A。(8) 零律:A∧F?F,A∨T?T。(9) 吸收律:A∧(A∨B)?A,A∨(A∧B)?A。(10) 互补律:A∧?A?F,(矛盾律),A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律:A→B??A∨B,A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律:A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法:①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中,前件为真的行,后件也为真或者后件为假的行,前件也为假。④用定义,证A?B,即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤:①使用命题定律,消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词;②使用?(?P)?P和德·摩根律,将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前;③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤:(a)把给定公式化成析取(合取)范式;(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取(析取)式;(c)用等幂律化简简单合取(析取)式中同一命题变元的重复出现为一次出现,如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取(析取)式中未出现的所有命题变元,如Q,则P?P∧(?Q∨Q)或P?P∨(?Q∧Q),并用分配律展开之,将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现,这样得到了给定公式的主析取(合取)范式。 注意:主析取范式与主合取范式之间的联系。例如:(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2,即剩下的编码就是另一个主范式的编码,因此,求主范式,哪一个简单易求,就先求哪个,然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明:重点方法:演算、演绎法(常用的格式)、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则(主要蕴含式):(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P,(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q,(P→Q)??P拒取式(10) ?P,(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q),(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q),(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步:一命题符号化,二写出前提和结论,三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走,看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3.下列为两个命题变元P,Q的小项是() A.P∧Q∧? P B.? P∨Q C.? P∧Q D.? P∨P∨Q 4.下列语句中是真命题的是() A.我正在说谎B.严禁吸烟C.如果1+2=3,那么雪是黑的D.如果1+2=5,那雪是黑的 5.设P:我们划船,Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为() A.? P∧? Q B.? P∨? Q C.?(P?Q) D.?(? P∨? Q) 6.命题公式(P∧(P→Q))→Q是()A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.等价式 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是() A.000,001,110,B.001,011,101,110,111 C.全体指派D.无
离散数学重点笔记
第一章,0命题逻辑 素数 = 质数,合数有因子 和或假必真同为真 (p→q)∧(q←→r),(p∧q)∧┐r,p∧(q∧┐r)等都是合式公式,而pq→r,(p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是单个的命题变项,则称A为0层合式 (┐p∧q)→r,(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式 【例】求下列公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r 公式(1)的成假赋值为011,其余7个赋值都是成真赋值 第二章,命题逻辑等值演算 (1)双重否定律??A?A (2)等幂律 A∧A?A ; A∨A?A (3)交换律 A∧B?B∧A ; A∨B?B∨A (4)结合律(A∧B)∧C?A∧(B∧C);(A∨B)∨C?A∨(B∨C) (5)分配律(A∧B)∨C?(A∨C)∧(B∨C);(A∨B)∧C?(A∧C)∨(B∧C) (6)德·摩根律?(A∨B)??A∧?B ;?(A∧B)??A∨?B (7)吸收律 A∨(A∧B)?A;A∧(A∨B)?A (8)零一律 A∨1?1 ; A∧0?0 (9)同一律 A∨0?A ; A∧1?A (10)排中律 A∨?A?1 (11)矛盾律 A∧?A?0 (12)蕴涵等值式 A→B??A∨B (13)假言易位 A→B??B→?A (14)等价等值式 A?B?(A→B)∧(B→A) (15)等价否定等值式 A?B??A??B??B??A (16)归缪式(A→B)∧(A→?B)??A
A i(i=1,2,…,s)为简单合取式,则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【∧小真,∨大假】 ∧成真小写 【例】(p→q)→(┐q→┐p) = ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→) = (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式) = (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (*) = m2∨m0∨m1∨m1∨m3 = m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序) (*)由┐p及q派生的极小项的过程如下: ┐p = ┐p∧(┐q∨q) = (┐p∧┐q)∨(┐p∧q) q = (┐p∨p)∧q = (┐p∧q)∨(p∧q) 熟练之后,以上过程可不写在演算过程中。 该公式中含n=2个命题变项,它的主析取范式中含了22=4个极小项,故它为重言式, 00,01,10,11全为成真赋值。 【例】(p→q)∧┐p = (┐p∨q)∧┐p (消去→) = ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式
离散数学期末复习
离散数学期末复习 一、选择题 1、下列各选项错误的是 A、??? B、??? C、?∈{?} D、??{?} 2、命题公式(p∧q)→p是 A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、等值式 3、如果是R是A上的偏序关系,R-1是R的逆关系,则R∪R-1是 A、等价关系 B、偏序关系 C、全序关系 D、都不是 4、下列句子中那个是假命题? A、是无理数. B、2 + 5=8.
C、x+ 5>3 D、请不要讲话! 5、下列各选项错误的是? A、??? B、??{?} C、?∈{?} D、{?}?? 6、命题公式p→(p∨q∨r)是? A、重言式 B、矛盾式 C、可满足式 D、等值式 7、函数f : N→N, f(x)=x+5,函数f是 A、单射 B、满射 C、双射 D、都不是 8、设D=
D、不连通的 9、关系R1和R2具有反自反性,下面运算后,不能保持自反性的是 A、R1?R2 B、R1-1 C、R1?R2 D、R1-R2 10、连通平面图G有4个结点,3个面,则G有()条边。 A、7 B、6 C、5 D、4 二、填空题 1、将下面命题符号化。设p:天冷,q:小王穿羽绒服。只要天冷,小王就穿羽绒服.符号化为 2、将下面命题符号化,设p:天冷,q:小王穿羽绒服。因为天冷,所以小王穿羽绒服.符号化为 3、将下面命题符号化,设p:天冷,q:小王穿羽绒服。若小王不穿羽绒服,则天不冷.符号化为 4、将下面命题符号化,设p:天冷,q:小王穿羽绒服。只有天冷,小王才穿羽绒服.符号化为
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。
离散数学期末复习要点与重点
离散数学期末复习要点与重点 离散数学是中央广播电视大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程,共72学时,开设一学期.该课程的主要内容包括:集合论、图论、数理逻辑等. 下面按章给出复习要点与重点. 第1章 集合及其运算 复习要点 1.理解集合、元素、集合的包含、子集、相等,以及全集、空集和幂集等概念,熟练掌握集合的表示方法. 具有确定的,可以区分的若干事物的全体称为集合,其中的事物叫元素.. 集合的表示方法:列举法和描述法. 注意:集合的表示中元素不能重复出现,集合中的元素无顺序之分. 掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念. 注意:元素与集合,集合与子集,子集与幂集,∈与?(?),空集?与所有集合等的关系. 空集?,是惟一的,它是任何集合的子集. 集合A 的幂集P (A )=}{A x x ?, A 的所有子集构成的集合.若∣A ∣=n ,则∣P (A )∣=2n . 2.熟练掌握集合A 和B 的并A ?B ,交A ?B ,补集~A (~A 补集总相对于一个全集).差集A -B ,对称差⊕,A ⊕B =(A -B )?(B -A ),或A ⊕B =(A ?B )-(A ?B )等运算,并会用文氏图表示. 掌握集合运算律(见教材第9~11页)(运算的性质). 3.掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法. 集合的运算问题:其一是进行集合运算;其二是运算式的化简;其三是恒等式证明. 证明方法有二:(1)要证明A =B ,只需证明A ?B ,又A ?B ; (2)通过运算律进行等式推导. 重点:集合概念,集合的运算,集合恒等式的证明. 第2章 关系与函数 复习要点 1.了解有序对和笛卡儿积的概念,掌握笛卡儿积的运算. 有序对就是有顺序二元组,如
离散数学笔记(特级教师精心整理)
离散数学笔记(特级教师精心整理) 第一章命题逻辑 内容: 命题及命题联结词、命题公式的基本概念,真值表、基本等价式及永真蕴涵式,命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的: 1.熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2.熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3.熟练掌握(主)析/合取范式的求法及其应用。 4.熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5.熟练掌握形式演绎的方法。 教学重点: 1.命题的概念及判断 2.联结词,命题的翻译 3.主析(合)取范式的求法 4.逻辑推理 教学难点: 1.主析(合)取范式的求法 2.逻辑推理 1.1命题及其表示法 1.1.1 命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母A,B,…,Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i,[10],R等,例如A1:我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。R:我是一名大学生。 1.2命题联结词
(1) P↑P?﹁(P∧P)?﹁P; (2)(P↑Q)↑(P↑Q)?﹁(P↑Q)? P∧Q;(3)(P↑P)↑(Q↑Q)?﹁P↑﹁Q? P∨Q。 (1)P↓P?﹁(P∨Q)?﹁P;
(2)(P↓Q)↓(P↓Q)?﹁(P↓Q)?P∨Q; (3)(P↓P)↓(Q↓Q)?﹁P↓﹁Q?﹁(﹁P∨﹁Q)?P∧Q。 1.3 命题公式、翻译与解释 1.3.1 命题公式 定义命题公式,简称公式,定义为:(1)单个命题变元是公式;(2)如果P 是公式,则﹁P是公式;(3)如果P、Q是公式,则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式;(4)当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。 例如,下面的符号串都是公式: ((((﹁P)∧Q)→R)∨S) ((P→﹁Q)?(﹁R∧S))(﹁P∨Q)∧R 以下符号串都不是公式: ((P∨Q)?(∧Q))(∧Q) 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句,转变成数理逻辑中的符号形式,称为命题的翻译。 命题翻译时应注意下列事项: (1)确定所给句子是否为命题。 (2)句子中联结词是否为命题联结词。 (3)要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例:假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。 解:设P:上午下雨;Q:我去看电影;R:我在家里读书;S:我在家里看报。 本例可表示为:(?P→Q)∧(P→(R∨S))。 1.3.3 命题公式的解释定义 设P1,P2,…,P n是出现在命题公式G中的全部命题变元,指定P1,P2,…,P n的一组真值,称这组真值为G的一个解释或赋值,记作I,公式G在I下的真值记作T I(G)。 例如, 是G的一个解释,在这个解释下G的真值为1,即T I(G)=1。 1.4 真值表与等价公式 1.4.1 真值表 定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表,称为G的真值表。 构造真值表的方法如下: (1)找出公式G中的全部命题变元,并按一定的顺序排列成P1,P2,…,P n。
离散数学期末复习试题及答案
离散数学习题参考答案 第一章集合 1.分别用穷举法,描述法写出下列集合 (1)偶数集合 (2)36的正因子集合 (3)自然数中3的倍数 (4)大于1的正奇数 (1)E={?,-6,-4,-2,0,2,4,6,?} ={2 i | i∈I } (2) D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 } (3) N3= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | n∈N } (4) A d= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n∈N } 2.确定下列结论正确与否 (1)φ∈φ× (2)φ∈{φ}√ (3)φ?φ√ (4)φ?{φ}√ (5)φ∈{a}× (6)φ?{a}√ (7){a,b}∈{a,b,c,{a,b,c}}× (8){a,b}?{a,b,c,{a,b,c}}√(9){a,b}∈{a,b,{{a,b}}}× (10){a,b}?{a,b,{{a,b}}}√ 3.写出下列集合的幂集 (1){{a}} {φ, {{ a }}} ( 2 ) φ {φ} (3){φ,{φ}} {φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} } (4){φ,a,{a,b}} {φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }}, {a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} } (5)P(P(φ)) {φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} } 4.对任意集合A,B,C,确定下列结论的正确与否(1)若A∈B,且B?C,则A∈C√
(2)若A∈B,且B?C,则A?C× (3)若A?B,且B∈C,则A∈C× (4)若A?B,且B∈C,则A?C × 5.对任意集合A,B,C,证明 右 分配差差左=--=--)C A ()B A ()C B (A M .D )C B (A )C B (A ) C A ()B A ()C B (A )1(I Y I Y I I I I I Y 右 差分配差左右差的结论差左=--=-------=-)C A ()B A ()C A ()B A () C B (A M . D )C B (A )2)C A ()B A ()C A ()B A ()1()C B (A )1) C A ()B A ()C B (A )2(Y I Y I Y I I I Y I Y Y I 右 交换结合幂等差左=--=-)C A ()B A (,)C B ()A A () C B (A M . D )C B (A ) C A ()B A ()C B (A )3(I I I I I I I I Y I I Y ))B )B (A ())B B ()B A ((,)B )B A (()B )B A ((B )B A (B A B )B A )(4(I I Y I Y I I Y I I Y --⊕=⊕+结合分配对称差差左 右 零一互补==φ-φ-)B A ()B A () A ()U ) B A ((Y Y I I Y
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题 复合命题:由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1)表示 简单命题 用“1”表示真,用“0”表示假 例如,令p:是有理数,则p 的真值为 0 q:2 + 5 = 7,则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题,复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式,记作p. 符号称作否定联结词,并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式,记作p∧q. ∧称作合取联结词,并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意:描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明,而且用功. (3) 王晓虽然聪明,但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p:王晓用功,q:王晓聪明,则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 . 说明:
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).
(完整word版)离散数学必备知识点总结.docx
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项 (m) 之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为 0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为 1 的项为极小项,值为0 的项为极大项; 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项,这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法 (=>) :真值表法;分析法 (假定前键为真推出后键 为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则, T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取 ^;
3.既有存在又有全称量,先消存在量,再消全称量; 第四章集合 1.N ,表示自然数集, 1,2,3 ??,不包括 0; 2.基:集合 A 中不同元素的个数, |A|; 3.集:定集合 A,以集合 A 的所有子集元素成的集合,P(A) ; 4.若集合 A 有 n 个元素,集 P(A) 有2 n个元素, |P(A)|= 2| A| = 2 n; 5.集合的分划: (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合; ② 几个子集相交空,相并全(A); 6.集合的分划与覆盖的比: 分划:每个元素均出且出一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出,没有要求只出一次; 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素,集合 B 有 n 个元素,笛卡 A×B 的基数mn, A 到 B 上可以定2mn种不同的关系; 2.若集合 A 有 n 个元素, |A ×A|= n2,A 上有2n2个不同的关系; 3.全关系的性:自反性,称性,性; 空关系的性:反自反性,反称性,性;
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={