2332高等数学基础
2332高等数学基础习题
一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1.函数2
e e x
x y -=-的图形关于（A ）对称．
(A) 坐标原点 (B) x 轴(C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． (A) )(1sin
∞→x x
x (B) )0(1sin →x x
(C) )0()
1ln(→+x x (D) )(e
1∞→x x
3.设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000
（C ）．
(A) )(0x f ' (B) )(20x f '(C) )(0x f '- (D) )(20x f '-
4.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x
d )(ln 1
（B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x
+)(ln 1 (D) c x F +)1
(
5.下列积分计算正确的是（D ）． (A)
0d sin 1
1
=?
-x x x (B)
1d e 0
=?
∞
--x x
(C)
πd 2sin 0
=?
∞
-x x (D)
0d cos 1
1
=?
-x x x
6.函数2
22x
x y +=-的图形关于（B ）对称．
(A) 坐标原点 (B) y 轴 (C) x 轴 (D) x y = 7.在下列指定的变化过程中，（A ）是无穷小量． (A) )0(1sin →x x
x (B) )(1sin
∞→x x
x
(C) )0(ln →x x
(D) )(e ∞→x x
8.下列等式中正确的是（B ）． (A) x x x d ln )1(d =(B) x x x d )(ln d =
(C) x x
x d 3)3(d =(D) x x x d )(d = 9.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x
d )(1（C ）．
(A) )(x F (B) c x F +)( (C) c x F +)(2 (D) )(2x F 10.下列无穷限积分收敛的是（D ）． (A)
?
+∞
1
d 1
x x (B) ?+∞0d e x x (C) ?+∞1d 1x x
(D) ?+∞12d 1x x
11.函数2
e e x
x y -=-的图形关于（A ）对称．
(A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 12.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． (A) )(1sin
∞→x x
x (B) )0(1sin →x x
(C) )0()
1ln(→+x x (D) )(e
1∞→x x
13.设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000
（C ）．
(A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '-
14.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x d )(ln 1
（B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x
+)(ln 1 (D) c x F +)1
(
15.下列积分计算正确的是（D ）． (A)
0d sin 1
1
=?
-x x x (B) 1d e 0=?∞
--x x (C) πd 2sin 0=?∞
-x x (D) 0d cos 1
1
=?-x x x
16下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
(A) 2
)()(x x f =，x x g =)( (B) 2)(x x f =
，x x g =)(
(C) 3
ln )(x x f =，x x g ln 3)(= (D) 4
ln )(x x f =，x x g ln 4)(=
17设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． (A) x y = (B) y 轴 (C) x 轴 (D) 坐标原点 18当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．
(A) x 1 (B) x
x sin (C) 1e -x
(D) 32x x
19设)(x f 在点1=x 处可导，则=--→h
f h f h )
1()21(lim
（D ）．
(A) )1(f ' (B) )1(f '- (C) )1(2f ' (D) )1(2f '- 20函数322
-+=x x y 在区间)4,2(内满足（B ）． (A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升(D) 单调下降 21若x x f cos )(=，则
='?x x f d )(（B ）．
(A) c x +sin (B) c x +cos (C) c x +-sin (D) c x +-cos
22
=+-?
-x x x x d )22cos (2π2
π7（D ）．
(A) 0 (B) π (C)
2
π
(D) 2π 23若)(x f 的一个原函数是x 1
，则=')(x f （B ）．
(A) x ln (B) 32x (C) x 1 (D) 21
x
-
24下列无穷积分收敛的是（B ）． (A)
?
∞
+0
d cos x x (B) ?
∞
+-0
3d e x x (C) ?
∞
+1
d 1x x
(D) ?
∞
+1
d 1
x x
25.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 26.当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．
(A)
x 1 (B) x x sin (C) 1e -x (D) 2x
x 27.设x
x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x )1()1(lim
0（B ）． (A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 2
1
28.=?x x xf x
d )(d d 2
（A ）． (A) )(2x xf (B) x x f d )(21 (C) )(2
1x f (D) x x xf d )(2
29.下列无穷限积分收敛的是（B ）． (A)
?
+∞
d e x x (B) ?+∞
-0
d e x x (C) ?
+∞
1
d 1
x x (D) ?+∞1d 1x x
30． 下列函数中（ B ）的图像关于坐标原点对称。 A ．x ln B ． cos x x C ．sin x x D ． x
a 规律：（1）1．奇偶函数定义：
()()()()()(),;f x f x f x f x f x f x -=--=是奇函数，是偶函数；
（2）．常见的偶函数：224
3
,,...,,cos ,,x x x x x 常数 常见的奇函数：(
)
135
23
11,,,...,,sin ,ln 1,ln
,ln 11x x
x x x x x x x x x
+-++-+ 常见的非奇非偶函数：,,,,ln x
x
x
x
a e a e x --；
（3）．奇偶函数运算性质：
奇±奇=奇；奇±偶=非；偶±偶=偶；奇×奇=偶；奇×偶=奇；偶×偶=偶；
（4）．奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称。
解：A ．非奇非偶； B ．奇×偶=奇（原点）； C ．奇×奇=偶（y 轴）； D ．非奇非偶 31．下列函数中（ B ）不是奇函数。
A ．x
x
e e --； B ．sin(1)x +； C ．x x cos sin ； D ． (
)
2ln 1x x +
+
解：A ．奇函数（定义）； B ．非奇非偶（定义）；C ．奇函数（奇×偶）；D ．奇函数（定义） 32．下列函数中，其图像关于y 轴对称的是（ A ）。
A ．2
sin(1)x - B ．cos x
e x C ． x
x
+-11ln
D ．cos(1)x - 解：A ．偶函数（y 轴）； B ．非奇非偶（定义）；C ．奇函数（常见）；D ．非奇非偶（定义） 33．下列极限正确的是（ B ）。
A ．01
lim 0x x e x
→-= B ． 33
11lim 313x x x →∞-=+ C. sin lim
1x x x →∞= D ． 01
lim(1)x x e x
→+=
解：A 错。∵0x →，1x
e -～x ∴01lim x x e x
→-=0lim 1x x x →=；
B 正确。分子分母最高次幂前的系数之比；
C 错。∵x →∞，
10x →即1x 是无穷小，sin 1x ≤即sin x 是有界变量，∴sin lim 0x x
x
→∞=；
D 错。第二个重要极限应为1lim(1)x x e x
→∞+=或1
0lim(1)x x x e →+=，其类型为1∞
。
34．当1x →-时，（ D ）为无穷小量。 A ．
2
11x x +- B ．1
sin 1
x + C ．cos(1)x + D ． ln(2)x + 解：A ． 211lim 1x x x →-+-0
011lim 2x x →-＝1
02
-≠；
B ．1x →-，10x +→，
11x →∞+， 11
lim sin 1
x x →-+不存在；
C ．1x →-，cos(1)cos01x +→=；
D ．1x →-，ln(2)ln10x +→=。 35. 下列等式中，成立的是（ B ）。 A ．222x
x e
dx de --=- B ． 331
3
x x e dx de --=-
C ．
2dx d x x
= D ． 1
ln 33dx d x x =
解：A ．错，正确的应为222x
x e
dx de ---= B 。 正确，333x x e dx de ---=即331
3
x x e dx de --=-
C ．错，正确的应为
12dx d x x
= D ．错，正确的应为
1
3ln 33d x d x x
= 36．设)(x f 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则下列结论成立的是（ C ）。 A ． 0x x =是)(x f 的极小值点 B ． 0x x =是)(x f 的极大值点 ； C ．0x x =是)(x f 的驻点； D ． 0x x =是)(x f 的最大值点；
解：驻点定义：设()f x 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则0x x =是()f x 的驻点。驻点为可能的极值点。
37．函数()ln f x x =，则 3()(3)
lim 3
x f x f x →-=-（ D ）。
A ． 3 ；
B ．ln 3 ；
C ． 1
x
； D ．13
解一：3
()(3)
lim
3
x f x f x →-=-()()()333
1'3'l 1
n 3
'x x x f f x x x ======
=
解二： 3()(3)lim 3x f x f x →-=-3ln ln 3lim 3x x x →--0
031113
lim x x →= 38．设()sin f x x =，则0()
lim
x f x x
→=（ B ）。
A ． 0 ；
B ． 1 ；
C ．2 ；
D ． 不存在
()0
0sin :lim
lim 1x x f x x
x x →→==解一 ()()()
0sin 0:lim
lim sin cos 10
x x x x f x x x x x x ==→→-'====-解二
39．曲线3
2
391y x x x =--+在区间(1,3)内是（ A ）。
A ．下降且凹
B ．上升且凹
C ．下降且凸
D ． 上升且凸
解：
()()()22369323331,13,06613,0y x x x x x x x y y x x y '=--=--=-+'<<<''=''<<>在任取一点x 带入可知，曲线下降－，
在中任取一点x 带入可知，曲线是凹的
40．曲线x
y e x =-在(0,)+∞内是（ B ）。
A ． 下降且凹；
B ．上升且凹；
C ．下降且凸；
D ．上升且凸 解：
()''10'0''0''0x x x
y e x e x y y e
x y =-=->>=>>曲线当时上升，，当时，，曲线是凹的
41．曲线2y x =在点(1,2)M 处的法线方程为（ B ）。 A.2(1)y x -=-；B.2(1)y x -=--；C ．22(1)y x -=-- D.1
1(2)2
y x -=- 规律：曲线()y f x =在x=0x 处的法线方程为()()
()0001
y f x x x f x -=-
-'
解：()2y f x x ==，()()
1'2'f x x x ==
，()1
1'11x f x
===
故法线方程为B ．2(1)y x -=--；
42．下列结论中正确的是（ C ）。
A ．函数的驻点一定是极值点
B ．函数的极值点一定是驻点
C ．函数一阶导数为0的点一定是驻点
D ．函数的极值点处导数必为0
解：驻点定义：设()f x 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则0x x =是()f x 的驻点。驻点为可能的极值点。
43．设函数()cos f x x =，则=)(x df （ A ）。
A ．
sin 2x dx x -； B ．sin 2x dx x ； C ．sin x dx x
-； D ．sin x
dx x
解：()()
si ()cos cos 'si n '2n df x d x x d x
dx x
x x
x dx ===-
-= 44．当函数()f x 不恒为0，,a b 为常数时，下列等式不成立的是（ B ）。
A.)())((x f dx x f ='?
B.
)()(x f dx x f dx d b
a
=? C. c x f dx x f +='?)()( D. )()()(a f b f x f d b a
-=? 解：
A. 成立，(())()f x dx f x '=?
为不定积分的性质； B. 不成立，()b
a
f x dx =?
常数，而常数的导数为零；
C. 成立，
()()f x dx f x c '=+?为不定积分的性质；
D. 成立，
()()()b
a
d f x f b f a =-?
为牛顿－莱布尼兹公式。
45．设函数)(x f 的原函数为()F x ，则
211()f dx x x =?（ A ）。
A ． 1()F C x -+；
B ．()F x
C +； C ．1()F C x +；
D ．1
()f C x
+
解：函数()f x 的原函数为()F x ?()()f u du F u C =+?，211
dx d x x
-=
211()f dx x x
=?2111()11f dx f d x x x x F C x ??
??--=-= ? ????
-+ ???
??
??? 46．下列无穷积分为收敛的是（ B ）。 A.
sin xdx +∞?
B. 0
2x
e dx -∞? C.0
12x e dx --∞? D.11dx x
+∞? 规律：⑴
1,1(0)1,a
dx x αααα+∞≤>>?
发散收敛 ⑵00,,0,px
p e dx p --∞≤>?收敛发散
⑶
sin a
xdx +∞?、cos a xdx +∞?发散 ⑷0
0,,N
0,n px p x e dx n p +∞
-≤∈>?
发散
收敛
解：A.
sin xdx +∞?
；B.20p =-<，收敛； C.10p =>，发散； D. 1
12
α=
≤，发散 47．下列无穷积分为收敛的是（ C ）。 A.
2
1
x dx +∞?
B.1
1dx x
+∞?
C. 2
1x dx +∞-? D. 21x e dx +∞?
解：A. 发散；B. 发散；C. 收敛；D. 发散；
48.函数2
22x
x y +=-的图形关于（B ）对称．
(A) 坐标原点 (B) y 轴 (C) x 轴 (D) x y =
49.在下列指定的变化过程中，（ A ）是无穷小量． (A) )0(1sin →x x
x (B) )(1sin
∞→x x
x
(C) )0(ln →x x
(D) )(e ∞→x x
50.下列等式中正确的是（B ）．
(A) x x x d ln )1(d = (B) x
x x d )(ln d = (C) x x
x
d 3)3(d = (D) x
x x d )(d =
51.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x
d )(1（C ）．
(A) )(x F (B) c x F +)( (C) c x F +)(2 (D) )(2x F 52.下列无穷限积分收敛的是（D ）． (A)
?+∞
1d 1
x x
(B) ?+∞0d e x x
(C)
?
+∞
1
d 1x x
(D) ?
+∞
1
2d 1
x x
53.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点
54.当0→x 时，变量（ D ）是无穷小量． (A)
x 1 (B) x
x sin (C) x 2 (D) 1)ln(+x
3.下列等式中正确的是（B ）． (A) d d (
)arctan 112+=x
x x (B) d d ()12
x x
x =- (C) d d (ln )222x
x
x =(D) d d (tan )cot x x x = 55.下列等式成立的是（ A ）． (A)
)(d )(d d
x f x x f x =?
(B) )(d )(x f x x f ='? (C) )(d )(d x f x x f =? (D) )()(d x f x f =?
56.下列无穷限积分收敛的是（ C ）． (A)
x x d 11
?∞
+ (B) x x
d 11
?
∞
+ (C)
x x
d 1
1
3
4
?
∞
+ (D) x x d sin 1
?
+∞
1.函数2
e e x
x y -=
-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y =
57.在下列指定的变化过程中，（ C ）是无穷小量． (A) )(1sin
∞→x x
x (B) )0(1sin →x x
(C) )0()
1ln(→+x x (D) )(e
1∞→x x
58.设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000
（ C ）．
(A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 59.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x
d )(ln 1
（B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C)
c x F x
+)(ln 1 (D) c x F +)1
(
60.下列积分计算正确的是（ D ）． (A) 0d sin 1
1=?-x x x (B) 1d e 0
=?∞--x x
(C)
πd 2sin 0
=?
∞
-x x (D) 0d cos 1
1
=?-x x x
二、填空题（每小题4分，共20分）
1.函数)
1ln(92
--=x x y 的定义域是 ]3,2()2,1( ．
2.函数??
?≤>-=0
sin 0
1x x x x y 的间断点是 0=x ．
3.曲线1)(+=
x x f 在)2,1(处的切线斜率是
2
1
． 4.函数1)1(2
++=x y 的单调减少区间是 )1,(--∞ ． 5.='?
x x d )(sin c x +sin ． 6.函数2
4)1ln(x
x y -+=
的定义域是)2,1(- ．
7.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(21
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
8.曲线1)(3
+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 ． 9.函数x y arctan =的单调增加区间是 ),(∞+-∞ ． 10.若
?+=c x x x f sin d )(，则=')(x f x sin - ．
11.函数2
4)1ln(x
x y -+=
的定义域是)2,1(-．
12.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(21
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
13.曲线1)(3
+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是3 ． 14.函数x y arctan =的单调增加区间是 ),(∞+-∞ ． 15.若
?+=c x x x f sin d )(，则=')(x f x sin - ．
16.函数)
1ln(1
-+=
x x y 的定义域是 ),2()2,1(∞+ ．
17.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(1
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
18.曲线x x f =)(在)1,1(处的切线斜率是
2
1． 19.函数)1ln(2
x y +=的单调增加区间是 ),0(∞+． 20.='?
x x d )(cos c x +cos ． 21.函数x x x
y ++-=
2)
2ln(的定义域是 )2,1()1,2[ - ．
22.函数??
?≤>+=0
sin 0
2x x x x y 的间断点是0=x ．
23.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(31
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ． 24.曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是
4
1
． 25.函数1)2(2
--=x y 的单调增加区间是),2(∞+ ． 26．若
?+=c x x x f 3sin d )(，则=)(x f x 3cos 3 ．
27．
=?
x x x d e d d 2
2e x ．
28．函数4
ln(1)
x y x +=
-的定义域为12x x >≠且。
()40410121ln 1011
x x x x x x x x +≥?≥-???->??>≠>????-≠-≠??
解：且 29．函数2
ln(1)4x y x
+=
-的定义域是12x -<<。
2
101
122240x x x x x +>>-????-<?
?解： 30．函数2
3
x y x +=
-的定义域是23x x ≥-≠且。 202
303
x x x x +≥≥-????
?-≠≠??解： 31．设2
(2)2f x x +=-，则=)(x f 2
46x x -+ 。
解：设2x t +=，则2x t =-且原式2
(2)2f x x +=-
即()2
()22f t t =--＝2
42t t -+
亦即()f x =2
42x x -+
32．若函数4
(1),
0(),
x x x f x k x ??
-≠=??=?在0x =处连续，则k = 4e - 。
()()()()()()
()41
440
04
lim lim 1lim ,lim 1(0)x
x
x x x f x x x e f k k e -?--→→→→-=-=-==∴==x 0
函数f x 在x=0连0 续x 则f f
33．曲线x
y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。
曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()0
00x y y y x x '-=-
解：()
00
1x
x x y e
-=='=-=-，00001x y e ===时，
1(0)1y x y x -=--?-=-，
34. 函数ln(3)
1
x y x +=
+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。
初等函数在其定义区间连续。
ln(3)
1x y x +=+?3010
x x +>??+≠??3x >-且1x ≠-?()()3,1,1,---+∞
35．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。
()
()
1111
ln 1,0111
x x x y x x
y x y x ===''
==
=∴-=-?=-解：
36. 设函数(ln 2)y f x =可导，则=dy
1
'(ln 2)f x dx x
。 解：'dy y dx =＝[](ln 2)'f x dx ＝()'(ln 2)ln 2'f x x dx ＝()1
'(ln 2)
2'2f x x dx x
＝()1'(ln 2)
2'2f x x dx x ＝1
'(ln 2)f x dx x
37.（判断单调性、凹凸性）曲线32
1233
y x x x =-+在区间()2,3内是 单调递减且凹 。
解：()()24331,230y x x x x x y ''=-+=--<<
20y x y ''''=?
>?－4曲线是凹的
38．设2
()1f x x =+，则='))((x f f 2
41x + 。
解：()
2'()1'2f x x x =+=，()()2
2
(())22141f f x f x x x '==+=+，
39．
131(1cos )x x dx --=?
0 。
解：3
x 是奇函数；1cos x 和是偶函数，由于偶+偶=偶，则1cos x -是偶函数， 因为奇?偶＝奇，所以3
x
()1cos x -是奇函数，[]1,1-是对称区间
奇函数在对称区间上的积分为零 40．
1
2
1
(1)x x x dx --+=? 23
。 解：
121
(1)x x x dx --+=
?
1221
(1)x x x dx --+=
?
11
221
1
1x dx x x dx ---+?
?
21x x +是奇函数（奇?偶＝奇），故1
2110x x dx -+=?；
而2
x 是偶函数，故
1
1
12
2301
22233
x dx x dx x -==
=?
? 41．设()()F x f x '=，则
(ln 3)
f x dx x
=?
()ln3F x C + 。
解：
()()11
ln 3ln 3ln 3x dx x dx d x x x ''=∴== ()()1
(ln 3)ln 3ln 3ln 3f x dx f x d x F x C x
==+??
42．已知()()F x f x '=，则2(1)xf x dx -=?
()21
12
F x C -+ 。 解：()()()()()2
222
2111(1)12111222
xf x dx f x xdx f x d x F x C -=
-=--=-+?
?? 43．设()F x 为()f x 的原函数，那么(sin )cos f x xdx =? ()sin F x C + 。
分析：()F x 为()f x 的原函数?()()f u du F u C =+?，cos sin xdx d x =
解：
()()(sin )cos sin sin sin f x xdx f x d x F x C ==+??
44．设()f x 的一个原函数是sin x , 则()f x '= sin x - 。
解：()f x 的一个原函数为()F x ?()f x ＝'()F x ?()f x '=()sin ''x ＝()cos 'x ＝sin x - 45．0
()cos 2x
F x t t dt =
?
，那么()F x '= cos2x x - 。
解：
()()
()x
a
f t dt f x '
=?
()
()cos 2cos 2x
F x t t dt x x ''?=-=-? 46．
()02t x d
t e dt dx -=?_______2x x e --__________。 解：
()02t
x
d t
e dt dx
-=?
()
20
x t d
t e dt dx
--=?
2x x e --
47．设sin 0
()x
t
F x e dt -=?，则()2
F π'= 1e - 。 解：()()sin sin sin 120
2x
t
x
F x e dt e
F e e π
π----'
?
?''==?== ???
?
48．
02
cos x d t dt dx ?= 2cos x - 。
解：02
cos x d t dt dx ?＝－20
cos x d t dt dx ?＝2cos x - 49.函数)
1ln(1
-+=
x x y 的定义域是),2()2,1(∞+
50.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(1
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
51.曲线x x f =)(在)1,1(处的切线斜率是
2
1．
52.函数)1ln(2
x y +=的单调增加区间是),0(∞+． 53.='?
x x d )(cos c x +cos ．
54.函数2
4
)(2--=
x x x f 的定义域是),2(]2,(∞+--∞ ．
55.函数1
2
++=
x x y 的间断点是1-=x ． 56.曲线x
x f 1)(=
在)1,1(处的切线斜率是2
1
-
． 57.函数)1ln(2
x y +=的单调增加区间是),0(∞+． 58.=?
-x x d e
d 2
x x d e
2
-．1.函数2
4)1ln(x
x y -+=
的定义域是)2,1(- ．
59.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(21
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
60.曲线1)(3
+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是3． 61.函数x y arctan =的单调增加区间是),(∞+-∞ ． 62.若
?+=c x x x f sin d )(，则=')(x f x sin -．
三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限1
)
1sin(lim 21-+-→x x x ． 解：21)1)(1()1sin(lim 1
)1sin(lim
121-=-++=-+-→-→x x x x x x x
2.设x
x y e cos ln +=，求'y ． 解：x x x
y e sin e 1
-=
' 3.计算不定积分
?x x x
d e
21．
解：由换元积分法得
c u x x x
u
u x x
+-=-=-=???e d e )1(d e d e 121
c x +-=1
e
4.计算定积分
?
e
1
d ln x x ．
解：由分部积分法得
??
-=e
1
e
1e
1
)d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e
1
?=-=x
5.计算极限x
x
x 5sin 6sin lim
0→．
解：56
55sin lim 66sin lim
5
655sin 66sin 56lim 5sin 6sin lim
0000=?=?=→→→→x
x x x
x x x x x x x x x x 6.设2
2sin x
x y x
+=，求y '． 解：由导数四则运算法则得
4
224222sin 22ln 2cos )2(sin 2)2(sin x
x x x x x x x x x x x y x
x x x --+=+-'+=' 3
1
2sin 22ln 2cos x x x x x x x +--+=
7.设x
y e sin 2=，求'y ．
解：)e 2sin(e e cos e sin e 2x
x x x x y =='
8.设y y x =()是由方程y
x y e cos =确定的函数，求d y ． 解：等式两端求微分得
左端y x x y x y d cos )(cos d )cos (d +==y x x x y d cos d sin +-= 右端y y
y
d e )e (d ==
由此得y y x x x y y
d e d cos d sin =+- 整理后得x x x
y y y
d e cos sin d -=
9.计算不定积分?
x x x d 3cos ． 解：由分部积分法得
??-=
x x x x x x x d 3sin 313sin 31d 3cos c x x x ++=3cos 91
3sin 31 10.计算定积分?+e 1d ln 2x x
x
． 解：由换元积分法得
???
=++=+32e 1e
1
d )ln 2()d ln 2(d ln 2u u x x x x
x
2
5
23
2
2=
=
u 三．计算题
1、求极限1241lim 41x
x x x -→∞-??
?+??
2、求极限24lim 43x
x x x →∞??
?+??
解：∵
4141221414141x x x x x -+--==++++ 解：∵44333
1434343
x x x x x +--==+
+++ ()212lim
41x x x →∞--+＝1 32lim 43x x x →∞-?+3
＝-2
∴原题＝e ∴原题＝3
2
e
-
3、求极限01lim ln(1)
x x e x x x →--+解：∵0x →，()ln 1x +～x ，1x
e -～x
∴原题＝01lim
x x e x
x x
→--?()()0
2
1lim
x
x e x x →'
--'
=01
lim 2x x e x →-0lim 2x x e →＝12
4、求极限0
sin 3lim
141
x x
x →--解：∵0x →，sin3x ～3x ，141x --～2x -
∴原题＝03lim
2x x x →-＝3
2
-
5、求极限20ln(13)lim sin 2x x x x
→-解：∵0x →，2ln(13)x -～2
3x -，sin 2x ～2x
∴原题＝203lim 2x x x x →-?＝3
2
-
6、求极限sin 201
lim tan 4x x e x
→-
解：∵0x →，sin 21x
e
-～sin 2x ～2x ，tan 4x ～4x
∴原题＝02lim
4x x x →＝12
7、设函数3
ln(2)y x x =-，求dy
解：()
()3
3
''ln(2)ln 2'y x x x x =-+-????()2
3
1
3ln(2)2'2x x x x x
=-+?
-- 3
2
3ln(2)2x x x x
=---
dy 323ln(2)2x x x dx x ??-??-??
=-
8、设函数(
)
cos 2x
y x e x =-，求dy 。
解：3cos 2
2x
y xe
x =-
()3cos 2''2'x
y xe
x ??=- ???
()1cos cos 2
'3x x e x e x =+-()1cos cos 2cos '3x x e xe x x =+- 1
cos cos 2
sin 3x
x
e
x xe
x =--
dy 1
cos cos 2sin 3x x
e x xe x dx ??-- ???
=
9、设函数2
1
2cos(ln 2)x y x e e -=++，求dy 。
解：(
)
21
2cosln 2x y x e
e -'
'=++
()()
()212cosln 2x x e e -'
''=++
()()2
12sin ln 2ln 210x x x e x -''=-+-+
()()211sin ln 2222x x x e x x
-'=-+? 21sin ln 2x x
xe x
-=-
+ 21sin ln 22x x x y x d e dx -??+ ???
=-
10、设函数32x
e y x
=-，求dy 。
()()()()()()()
()3333322
22321222x x x x x e x e x e x x e e y x x x ''''------??'=== ?---??
解： ()()332322x x e x e x -+=- ()()
332
322x x
e x d e y dx x -+-=
11、设函数sin 3cos 1
x
y x =
+，求dy 。
解：()()()()
2
sin 31cos sin 31cos sin 31cos 1cos x x x x x y x x '''+-+?
?'== ?+??+
()()()
()2
cos331cos sin 3sin 1cos x x x x x x '+--=
+
()()2
3cos31cos sin 3sin 1cos x x x x
x ++=
+
()()
23cos31cos sin 3sin 1cos d x x x x
dx x y +++=
12、计算不定积分 2
sin
2
x x dx ?
2:x 解 2x 2 0
+ — + sin
2x 2cos 2x - 4-sin 2x 8cos 2x 2
sin 2
x x dx ?
＝2
2cos
8sin 16cos 222
x x x
x x C -+++ 13、计算不定积分 3x xe dx -?
解：x 1 0
＋ —
3x e - 31
3
x e -- 319x e -
3x
xe dx -?＝313
x xe --319x e C --+ 14.计算极限4)2sin(lim 22--→x x x 解：41
2.设x x x y e
sin 2+=，求y ' 解：x
x x x x e sin cos 22+++ 3.设2
e sin x y =，求'y ． 解：2
2
e cos e
2x x x
4.设y y x =()是由方程3
e ln y x y
=+确定的函数，求d y ．解：
x y x y
d )
e 3(12
-
5.计算不定积分?
x x x d 1
cos
2
． 解：c x +-1sin 6.计算定积分?e 1d ln x x x ． 解：
9
4
e 923+ 15.计算极限4
58
6lim 224+-+-→x x x x x ．
16. 解：3
2
)1)(4()2)(4(lim 4586lim 42
24=----=+-+-→→x x x x x x x x x x 17.设x x x y ln cos ln 2
+=，求d y ． 解：由微分运算法则得
)ln (d )cos (ln d )ln cos (ln d d 2
2
x x x x x x y +=+=
)(ln d )(d ln )(cos d cos 1
22x x x x x x ++=
x x
x x x x x x x d 1
d ln 2d cos sin 2?++-=
x x x x x d )ln 2tan (++-=
18.计算不定积分
x x
x d cos ?
．
解：由换元积分法得
c x x x x x
x +==??
sin 2)d(cos 2d cos
19.计算定积分
?
e
1
d ln x x x ．
解：由分部积分法得
??
-=e
1
2e
1
2e
1
)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x
4
14e d 212e 2e 12+=-=?x x 20.计算极限1
)
1sin(lim 21-+-→x x x ． 解：21)1)(1()1sin(lim 1
)1sin(lim
121-=-++=-+-→-→x x x x x x x 21.设x
x
y 3e cos +=，求y d ．
解：)3(d )e (cos d )3e (cos d d x
x
x
x
y +=+= x x
x
x
ln3d 3)e (d e sin +-= x x x
x
x
ln3d 3d e sin e +-=
x x
x x ln3)d 3e sin e (+-=
22.计算不定积分
?x x x
d e
21．
解：由换元积分法得
c u x x x
u
u x x
+-=-=-=???e d e )1(d e d e 1
21
c x
+-=1
e
23.计算定积分
?
e
1
d ln x x ．
解：由分部积分法得
??
-=e
1
e
1e
1
)d(ln ln d ln x x x x x x
1d e e
1
?=-=x
24.设x
x y e cos ln +=，求'y ． 解：x x x
y e sin e 1
-=
' 四、应用题（本题16分）
1某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为
r
V r rh r S 2π2π2π222+=+= 2
2π4r V r S -
=' 由0='S ，得唯一驻点3
π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3
π2V 与3π
4V
时，用料最省． 2 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足
2
22l r h =+ 圆柱体的体积公式为 h r V 2
π= 将2
22h l r -=代入得
h h l V )(π2
2
-=
l