中南大学高等数学答案知识讲解

中南大学高等数学答

案

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案

高等数学(专科)

一、填空题： 1.函数1

1

42-+

-=

x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。

2.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 。

解：62-x 3.sin lim

x x x

x →∞-= 。

答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim

=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x

x

x x x x x x x x x

4.已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ，

又由234

12lim 2lim 22

22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)

1)((lim

0x a x b

e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a

b

e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数?????

≥+<=0

1

01sin

)(x x x x

x x f 的间断点是x = 。

解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01

sin

lim 00

==+=+-→→f x x

x x x

所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，

又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。

7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则()

=+1n y

(1)!n +

8.2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。 答案：2)12(+x 或1442++x x 9.

函数22ln(1)

x y z --=

的定义域为 。

解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

???

????<+<≤????????≠+<+≤????????≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ?

的定义域为：{

10|),(22<+

解：令x y u +=，x y v -=，则,22

u v u v

x y +-=

=，()()()f x y x y xy x y +-=+

)(4

222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=

，22(,)()4x

f x y x y =-

11.设2

2),(y x x xy y x f ++

=,则=')1,0(x

f 。=')1,0(y f ∵ (0,1)000f =+=

20

00(,1)(0,1)

1(0,1)lim

lim 2x x x x

x f x f x f x

x

?→?→??+

-?-?+'===?? 0

0(0,1)(0,1)00

(0,1)lim

lim 0y y y f y f f y

y ?→?→?+--'===??。 12.设,,cos ,sin 32t y t x y x z ==+=则

t

z

d d ＝ 。 解：22sin 3cos dz

x t t y dt

=-+ 13.

=??

dx x f d d dx d

)( 。

解：由导数与积分互为逆运算得，)()(x f dx x f d d dx

d

=??。 14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =?

-1

3)(，则=)7(f 。

解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713=-x ，得2=x ，所以12

131

)7(2

2

=

=

=x x f . 15.若2

1

d e 0

=

?

∞

+-x kx ，则_________=k 。 答案：∵)d(e 1lim d e 210

0kx k x b kx b kx

--==??-+∞→∞+-

k

k k k kb b b kx b 1e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→

∴2=k

16.设函数f(x,y)连续，且满足??+=D

y d y x f x y x f 2),(),(σ，其中,:222a y x D ≤+则

f(x,y)=______.

解：.4

44

2

x a y π+ 记??=D

d y x f A σ),(，则2),(y Ax y x f +=，两端在D 上积分有：

????+=D

D

d y Axd A σσ2，其中??=D

xd A 0σ（由对称性），

????=

=a

D

a d d d y

4

2

320

2

.4

sin πρ?ρ?σπ

即 4

4

a A π=

，所以，.4

),(4

2

x a y y x f π+

=

17.求曲线2

,422ay

x ax y =

=所围成图形的面积为 ，（a>0） 解：223

a 18.∑

∞

=--1

2

2212n n n

x n ；

解：令2

x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数∑

∞

=--1

1

212n n n

y n ，记其各项系数为n b ，因为21212lim 2122212lim lim 11=+-=+?-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，则20222

<≤?<<-x y ， 故22<<-x .

当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞

=-1

)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间

为)2,2(-.

19.()02

='-''y y 的满足初始条件()()411,1211='=y y 的特解为3

21121??

?

??-=x y 。

20.微分方程03='-''y y 的通解为x e c c y 321+=.

21.微分方程0136=+'+''y y y 的通解为()x c x c e y x 2sin 2cos 213+=-。 22.设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|1-*7-2A A |= .

答案：()

3

11n

- 23.1

11

1

11

1

1

x ---是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 .

答案： 2;

24.f (x )=312514

x

x x

是 次多项式，其一次项的系数是 。

解：由对角线法则知，f (x )为二次多项式，一次项系数为4。

25.A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC . 26.事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = .

解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B )

∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6

27.A ，B 二个事件互不相容，()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -= .

解：A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.8

28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则

在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .

解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为C B A C B A C B A ++，即有 P (C B A C B A C B A ++)

=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.36

29.已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.6,且P （AB ）＝0.4，则P

（A B ）＝ ；P （A B －）＝ ； 解：P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.9

P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.7–0.4=0.3

30.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 .

解：P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)(

二、单项选择题：

1.函数)1,0(1

1

)(≠>+-=a a a a x x f x

x （ ） A.是奇函数 B.是偶函数； C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)(11

)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x

x x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。

2.若函数221

)1(x

x x x f +=+，则=)(x f （ ）

A.2x

B. 22-x

C.2)1(-x

D.12-x

解：因为2)1(212122

2

22-+=-++=+

x x x

x x x ，所以2)1()1(2-+=+x x x x f 则2)(2-=x x f ，故选项B 正确。 3.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）．

A ． x

B ．x + 1

C ．x + 2

D ．x + 3 解：由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f

将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D

4.已知0)1

(

lim 2

=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ ） (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a

解：()()01

1lim )1(

lim 22=+-+--=--+∞→∞→x b

x b a x a b ax x x x x , 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C

5.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A.e 1x

x ,()→∞ B.

sin ,()x

x

x →∞； C.ln(),()11+→x x D.

x x x +-→11

0,()

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以0sin lim

=∞→x

x

x

而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。 6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）

(A))(1

sin ∞→=x x

x y ; (B)())(1∞→=-n n y n ;

(C))0(ln +→=x x y ； (D))0(1

cos 1→=

x x

x y

解：111sin lim 1sin

lim ==∞→∞

→x x x x x x ,故不选(A)。取12+=k m ,则()01

21

lim lim 1=+=∞→-∞→k n k n n ,

故不选(B)。取2

1π

π+

=

n x n , 则01

cos 1lim

=∞

→n

n n x x ,故不选(D)。答案：C 7.设?????

≤>=0

,0

,1sin )(x x x x

x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导 解：（B ）

0lim )(lim 0

==--→→x x f x x ，01

sin

lim )(lim 0

==++→→x

x x f x x ，0)0(=f 因此)(x f 在0=x 处连续

x

x x x x f x f f x x x 1sin lim 00

1

sin

lim 0

)

0()(lim )0(000

++

+

→→→+=--=--='，此极限不存在

从而)0(+'f 不存在，故)0(f '不存在

8.曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ ）．

A.22-=x y

B.22+-=x y

C.22+=x y

D.22--=x y 解：由导数的定义和它的几何意义可知，

1

3)()1(='

-='x x x y 2)

13(1

2=-==x x

是曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是

)1(20-=-x y ，即22-=x y

正确答案：A 9.已知4

4

1x y =

，则y ''=（ ）． A. 3x B. 23x C. x 6 D. 6 解：直接利用导数的公式计算：

34)4

1

(x x y ='=', 233)(x x y ='=''

正确答案：B

10.若x x

f =)1

(，则=')(x f （ ）。

A.

x 1 B.21x C.x 1

- D.21x

- 答案：D 先求出)(x f ，再求其导数。

11.22ln y x z -=的定义域为（ ）．

A.122≥-y x

B.022≥-y x

C.122>-y x

D.

02

2>-y x 解：z 的定义域为{

0),(22>-y x y x }个，选D 。 12.下列极限存在的是（ ）

A.y x x y x +→→00lim

B.y x y x +→→1lim 00

C.y x x y x +→→20

0lim D.y x x y x +→→1sin lim 00 解：A.当P 沿0=x 时，0),0(lim 0

=→y f y ，当P 沿直线0=y 时，1)0,(lim 0

=→x f x ，故0

lim →→y x

y

x x +不存在； B. ∞=+→→y x y x 1 lim 0

0，不存在； C. 如判断题中1 题可知y x x y x +→→2

0 lim 不存在； D.

因为0lim 1

sin

lim 0

=≤+→→→→x y x x y x y x ，所以01sin

lim 0

0=+→→y x x y x ，选D 13.若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在),0(,0)(,0)()0,(+∞<''>'-∞则在内x f x f 内（ ）.

A.0)(,0)(<''>'x f x f

B.0)(,0)(>''>'x f x f

C.0)(,0)(<''<'x f x f

D.0)(,0)(>''<'x f x f 解：).(,)(,)(,)(C x f x f x f 故应选为偶函数为奇函数则为偶函数因'''

14.设)(x f 为奇函数，且0>x 时0)(>'x f ，则)(x f 在]1,10[--上的最大值为（ ）

A.)10(-f

B.)1(-f

C.)10(f

D.)1(f 解：（B ）

因为)(x f 是奇函数，故)()(x f x f -=-，两边求导)()(x f x f '-=-'-，从而

)()(x f x f -'='，设0-x ，从而0)()(>-'='x f x f ，所以)(x f 在[-10，-1]上

单调增加，故最大值为)1(-f

15.函数22)(4),,(y x y x z y x f ---= ( )

A.有极大值8

B.有极小值8

C.无极值

D.有无极值不确定 解：42x f x =-，42y f y =--，02

02x y

f x f y =?=????→?

?==-??? 2002H -??

= ?-??

0 20H >-<，(2,2)8f -=为极大值 （A ） 16.设的值则为周期的连续函数是以?

+=T

a a

dx x f I T x f )(,)(（ ）。

A.依赖于T a ,

B.依赖于x T a 和,

C.依赖于x T ,，不依赖于a

D.依赖于T ，不依赖于a 解：根据周期函数定积分的性质有,).(,)()( 0

D dx x f dx x f T

T

l l

故应选??

=+

17.曲线)0( sin 2

3

π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为（ ）.

A.

34 B.π34 C.23

2π D.π32 解：所求旋转体的体积为

.3

4

]3cos [cos cos )cos 1(sin 030

2

3

2

πππππππ

π

π

=--=--===?

??x x x d x xdx dx y V

故应选(B)。

18.设?-+=2

2 42cos 1sin ππxdx x x M ，?-

+=2 2

43)cos (sin π

πdx x x N ， ?--=2

2

432)cos sin (π

πdx x x x P ，则有（ ）.

A.M P N <<

B.N P M <<

C.P M N <<

D.N M P <<

解：利用定积分的奇偶性质知0=M ，0cos 22

4

>=?π

xdx N ，0cos 22

4<-=?π

xdx P ，

所以N M P <<，故选（D ）。

19.下列不定积分中，常用分部积分法的是（ ）。

A.x x x d sin 2?

B.x x x d )12sin(?+

C.x x x d ln ?

D.x x

x d 1?+ 答案：B 。 20.设dxdy y x

I y x 3

1

2

4

2

)1(22--=

??≤+，则必有（ ）

（A ）I>0 (B)I<0 (C)I=0 （D ）I ≠0的符号位不能确定

解： D ：0202

r θπ

≤≤??

≤≤? 2

1422

223

3

000

3

d (1)d (1)04

I r r r r π

θπ=-=-?->??

21.设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（dxdy y x f t t y x t )(1lim 2

22

223

??

≤+→++

π）( )

（A ）等于0 （B ）等于

)0('3

2

f (C) 等于+∞ （D ）不存在且非∞ 答案：为(C ）

解：由极坐标，原极限2033

000002()12()lim ()lim lim 3t

t

t t t rf r dr f t d rf r dr t t t ππ?ππ+

+

+

→→→====+∞??? 22.设函数项级数∑∞

=1

)(n n x u ，下列结论中正确的是( ).

（A ）若函数列{})(x u n 定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间 （B ）若)(x S 为此级数的和函数，则余项)()()(x S x S x r n n -=，0)(lim =∞

→x r n n

（C ）若I x ∈0使∑∞=1

0)(n n x u 收敛，则||||0x x <所有x 都使∑∞

=1

)(n n x u 收敛

（D ）若)(x S 为此级数的和函数，则∑∞

=1

0)(n n x u 必收敛于)(0x S

解：选（B ）.

23.设0>a 为常数，则级数)cos 1()1(1

n a

n n --∑∞

=（ ）.

（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性与a 有关

解：因为22222sin 2)cos 1()1(n a n a n a n

≤=--，而∑∞

=1222n n

a 收敛，因此原级数绝对收敛。故选（A ）。

24.若级数∑∞

=--1

)()1(n n

n

n a x 在0>x 时发散，在0=x 处收敛，则常数=a （ ）.

（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）2

解：由于∑∞

=--1)()1(n n n

n a 收敛，由此知1≤a .当11≤<-a 时，由于∑∞=--1

)()1(n n n n a x 的收敛

半径为1，因此该幂级数在区间)1,1(+-a a 内收敛，特别地，在)1,0(+a 内收敛，此与幂级数在0>x 时发散矛盾，因此1-=a .故选（B ）. 25.x e y y y x 2cos 52-=+'+''的特解可设为（ ）

（A ）;2cos *x A e y x -= （B ）;2cos *x A xe y x -=

（C ）();2sin 2cos *x B x A xe y x +=- （D ）().2sin 2cos *x B x A e y x +=- 解：C

26.微分方程的阶数是指（ ）

（A ）方程中未知函数的最高阶数； （B ）方程中未知函数导数或微分的最高阶数；

（C ）方程中未知函数的最高次数； （D ）方程中函数的次数. 解：B

27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解.

（A ）;22c y x =+ （B ）;3221c x c x c y ++= （C ）;cos sin 2221x c x c y += （D ）()().cos ln ln 21x c x c y += 解：C

28.A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则A 、B 的伴随矩阵*)(AB =（ ）.

（A ）**B A ； （B ）1-1-B A AB ||； （C ）1-1-A B （D ）**A B ； 解答：D

29.设A 、B 均为n 阶方阵，则必有[ ]。 (A ) |A +B |=|A |+|B | (B ) AB =BA (C ) |AB |=|BA | (D ) (A +B )–1=A –1+B –1

解：正确答案为(C )

30.A,B 都是n 阶矩阵,则下列各式成立的是 （ ） （A ）()T T T

B A AB = （B ）()T T T

B A B A +=+

（C ）()111

---=B A AB （D ）()111

---+=+B A B A

解答：B

31.在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（ ）

A.AC BC

B.ABC

C.ABC ABC ABC

D.A B C

解：由事件间的关系及运算知，可选（A ）

32.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）

A.38

B.5

3188?? ??? C.3

4831C 88

?? ??? D.485C 解：基本事件总数为48C ，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为

1

5C =5，故P (A )=

4

85

C ，故应选（

D ）。 33.已知()0P 1,B ＜＜()10P 1,A ＜＜()20P A 1＜＜，且()()12P A |A B

()1A |P B =()2|P A B +,则下列选项成立的是（ ） （A ）()(

)()()

1212P A |A ||A B P B P A B =+;

（B ）()()()()1

212P A |A A B P P A =+

（C ）()()()()()121122P A A |A |B A B P P B P A P B A =+

（D ）()()()()()1122P A |A |B P P B P A P B A =+

解：由题可知A 1、A 2互斥，又0

三、解答题： 1.设函数

???

?

???>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f

问（1）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续？

解：（1）要)(x f 在0=x 处有极限存在，即要)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→=成立。

因为b b x

x x f x x =+=--→→)1

sin

(lim )(lim 0

所以，当1=b 时，有)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→=成立，即1=b 时，函数在0=x 处有极限存

在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a 可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 )()(lim )(lim 00

x f x f x f x x x x ==+-→→

于是有a f b ===)0(1，即1==b a 时函数在0=x 处连续。

2.已知82

lim

232=-++→x b

ax x x ，试确定a 和b 的值 1sin lim )(lim 0

==+

+→→x

x

x f x x

解：82

lim

232=-++→x b

ax x x ,()

048lim 232=++=++∴→b a b ax x x ,即a b 48--= ()[]

8124422lim 2

8

4lim 2lim 22232232=+=++++=---+=-++∴→→→a a x a x x a ax x x b ax x x x x , ,1-=∴a 故4-=b

3.设?????≤<-+>=-0

1),1ln(0 ,)(1

1

x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型

解：)(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+1

1

1

lim x x e

,0lim 1

11=-→-x x e

, ()00=f , 因此, 1

=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 11

10

--→→==++e e

x f x x x

()()01ln lim lim 0

0=+=--

→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.

4.求方程中y 是x 的隐函数的导数 （1）1e e =+-y x xy ,y '

解：方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即

1)e ()e ()('='+'-'y x xy 0e e ='+-'+y y x y y x

y y x x y -='+e )e (

整理得 y

x x y

y e

e +-=' （2）设)sin(y x y +=，求dx dy

，22dx

y d ；

解：)1()cos(y y x y '+?+=' )

cos(1)

cos(y x y x y +-+=

'

y y x y y x y ''?++'+?+-='')cos()1()sin(2，

3

3)]

cos(1[)]cos(1[)sin(y x y

y x y x y +--=+-+-

=''

5.设),(y x z z =由方程y

z x z -=+e

所确定, 求x

y z

???2.

解：设x z z y x F y z --=-e ),,(,

1-=x F , y z y F --=e , 1e -=-y z z F ,

1

e 1

-=??-y

z x z , z

y y z y z y z ----=-=??e 111e e , 3

)

(222)

e 1(e )e 1(e )e 11(z y z y z y z y z y x z x x y z ------=???--=-??=???∴. 6.设函数)(x

f 在[0,1]上可导，且1)(0<

()(), [0 ,1] () .

() [0 ,1] ,()()0,[,] [0 ,1] ,

121212(,) , ()0 ()10()1,12 (0 ,1 F x f x x F x F x c c F c F c c c Rolle c c F f f ζζζζ=-==?'''∈=-=?=设在上用零点定理，得至少有一个零点反设在上存在两个零点，即由定理可得至少有使即与题设矛盾，故在) , ().

x f x x =内有且只有一个使

7.求函数12)1(-+=x x y 的单调区间和极值.

解：函数12)1(-+=x x y 的定义域是),1()1,(∞+---∞

221)1)(1()1(2--+-++='x x x x y

22)1()1(2x x x x +-+=2

)1()

2(x x x ++=

令 0)1()

2(2

=++=

'x x x y ，得驻点21-=x ，02=x

故函数的单调增加区间是)2,(--∞和),0(∞+，单调减少区间是)1,2(--及)0,1(-，当=x -2时，极大值4)2(-=-f ；当=x 0时，极小值0)0(=f .

8.在过点)6,3,1(P 的所有平面中, 求一平面，使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。

解：设平面方程为1=++Cz By Ax , 其中C B A ,,均为正, 则它与三坐标平面围成四面体

的体积为ABC

V 1

61=

, 且163=++C B A , 令

)163(),,,(-+++=C B A ABC C B A F λλ, 则由

?????

??????=++=+=??=+=??=+=??16306030C B A AB A F AC A

F BC A F

λλλ, 求得 ??

?

??

????===181913

1C B A . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 11893=++z y x , 且8118936

1

min =???=V . 9.求下列积分 (1)x x

d 11

3

1?

+∞

解：)1(2

3

lim 13

11

lim d 1

lim

d 132

1

32

1

311

3

1-=+-==+∞→+∞→+∞→∞

+?

?

b x x x

x x

b b

b b

b 极限不存在，则积分发散. (2)

??

≤+--2

22222a y x d y x a σ

解：(,)f x y =D

上的半球面，由D

I σ=的几何意义知I =V 半球

=323

a π

(3)??D

yd σ ，D 由 1,1,0x y x y x +=-== 的围成。

解：关于x 轴对称，且(,)f x y y =是关于y 的奇函数，

由I 几何意义知， d 0D

y σ?=??。

10.判别级数∑∞

=--1

)cos 1()1(n n n a

（常数0>a ）的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收

敛?

解：由n

a

n a n cos 1)cos 1()1(-=--，而

02

1)2(2lim 12sin 2lim 1cos 1lim

2

2

2222≠===-∞→∞→∞

→a n n a n n a n n a n n n ，

由正项级数的比较判别法知，∑∞

=-1)cos 1(n n a 与∑∞

=121

n n 同时敛散.

而∑∞

=121n n

收敛，故∑∞

=-1)cos 1(n n a

收敛，从而原级数绝对收敛.

11.判别级数n

n n

ln 1

)1(2

∑∞

=-的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 解：记)1ln(1)1(1

+-=-n u n n ，则n n v n u ?

=+≥1

1.

显见∑

∞

=1

1

n n 去掉首项后所得级数∑∞=1

n n v 仍是发散的，由比较法知∑∞=1n n u 发散，从而∑∞

=2n n u 发散。又显见)1ln(1)

1(1

1

+-∑∞

=-n n n 是Leibniz 型级数，它收敛. 即n n n ln 1

)1(2

∑∞

=-收敛，从而

原级数条件收敛.

12.求幂级数∑∞

=+1)

1(n n

n n x 在收敛区间上的和函数)(x S ：

解：1)2)(1()

1(lim lim

1=+++==∞→+∞→n n n n a a n n

n n ρ，所以1=R 。

又当1±=x 时，级数成为∑∞

=+±1

)1()1(n n

n n ，都收敛，故级数的收敛域为]1,1[-.

设级数的和函数为)(x S ，即∑∞

=+=1)

1()(n n

n n x x S .

再令∑∞

=++==1

1

)1()()(n n n n x x xS x f ，

逐项微分得，∑∞

=='1)(n n n x x f ，x x x f n n -==''∑∞

=-11

)(1

1，

)1ln(11

)( 0 0

x dx x

dx x f x

x

--=-=''?

?

， 0)0( ),1ln()()0()(='--='='-'f x x f f x f ，

?

??

----=--='x

x

x

x

dx x

x

x x dx x dx x f 0 0 0

1)1ln()1ln()( x x x x x x x +--=-++--=)1ln()1()1ln()1ln(，

故)1ln()1()(x x x x f --+=，又显然有1)1(=S ，故

???

?

???==≠--+=.1 ,1,0 ,0,1,0 ),1ln(11)(x x x x x x

x S

13.求解微分方程

(1)0122=+-ydy dx y x 的所有解。 解：原方程可化为xdx y ydy 212

-=-，（当12≠y ），两边积分得c x y +-=--221，

即

c y x =--221为通解。当12=y 时，即1±=y ，显然满足原方程，所以原方程的全部解为c y x =--221及1±=y 。 (2);22y x y y x -=-'

解：当0>x 时，原方程可化为2

1??

?

??-=-'x y x y y ，令u x y =，得xu y =，原方程化为

21u u x -='，解之得c x u +=ln arcsin ；

当0

1??

?

??--=-'x y x y y ，类似地可解得

c x u +-=ln arcsin 。综合上述，有??

?<+->+=.0ln ;

0ln arcsin x c x x c x x y 。 (3);2sin 2

1

cos x x y y =

+'

解：由公式得 x xdx xdx ce x c dx xe e y sin cos cos 1sin 2sin 21--+-=??

????+??=?。

三、求解下列各题：

1.计算下列行列式： (1)

（2）

9

87654321，

解：

126063

032

1

9876543

21=----=

（3）15

03

100004

30021-

解：

160)16(101531.43214-=-?=-=

D

2.设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中??????-=0121A ，?

??

???=2003B ，求X 解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为

[]??????-=10010121I A ??????→11200121???

????

?-→212

11010

01 所以 ???????

?-=-2121

10

1A 且 B A X 1

-=???????????????-=2003212110???

?

????-=1 2320 解法二： 因为 []??????-=20010321B A ???

???→23200321100230112-??→?????? 所以 02312X -??

=??????