高三(下)第一次月考(理科)试题

高20佃级高三（下）第一次月考

考试说明：1.考试时间：120分钟

2.

试题总分：150分 3.

试卷张数：1张（4页）

注意事项：

1、 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考号填写在答题卷上相应位置； 并将机读卡相应部分用 2B 铅笔填涂.

2、 选择题每小题答案，填（涂）在答题卷上对应的位置，在试卷上作答不得分.

3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液?不按以上要 求作答的答案无效.

4、 考生必须保持答题卷的整洁?考试结束后，将答题卷交回；试卷要妥善保管，以备老师评讲.

I 卷（选择题50分）

一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1 ?已知全集 U =Z, A 二｛-1,0,1,2｝, B 二｛x|x

2 = x ｝，则 AdC u B 为（ ）

2.直线x ? 3y ? 1 = 0的倾斜角是（ ）

2 ■:

A .

- B .

- C .

D

6 3

3

3.已知:■,'-,为平面，命题p:若：?— 一：」_ ，则〉// ;命题q :若〉上不共线的三点到一：的 距离相等，则:// '■ ?对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）

A.命题"p 且q ”为真 B .命题"p 或—q ”为假

C.命题“ p 或q ”为假

D

.命题“ 一 p ”且“ 一 q ”为假

5

1

4

?设 a =log 32,b =log 23,c =log —，则（

）

2

5

5. 已知函数y =2sin （「x ?力为偶函数（0 ：：：「::二）,其图像与直线y = 2某两个交点的横坐标分别

A {-1,2}

B ? {1,2} C. {-1,0}

D. {-1,0,2}

5■:

A. a :: b :: c

B. a :: c ：： b

C. b ::: a ::: c

D. b . c ：： a

为X i 、X 2，若|X 2 -X i |的最小值为二，则该函数在区间（ ）上是增函数.

内的一个动点，则目标函数 z = x + 3y 的最大值为

为20千米的轮船从 A 地到B 地最少需要 —小时，则：?为（

）

60

5

A. 一

B . —

C. 一

D.

6 4 3 12

7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 2=i0, S 5 =55，则过点P （n 耳）和

Q （n - 2,a n 2

）（n ? N ）的直线的一个方向向量的坐标可以是（

a ::

b ，则必有（

2

10.过抛物线y =2px （p 0）准线上一点Q 作抛物线的切线，分别切于 A,B 两点，则 ABQ 的 面积的最小值为（

）

2

A. 2p 2 B . 4p 2 C . — D . P 2

2

第口卷（主观题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上。

*

n

2

n

n

11.设 n ? N ，若 1 ? x i ； ? a “x ? a ?x ? |l 「a .x ,且 a, a^ 21，则在 1 x 的展开 式的各项系数中，最大系数的值是 ___________________

2 2

12

.设双曲线芋器1的两条渐近线与左准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，P （x ，y ）为D

A.

6.设A B 两地位于北纬 鳥的纬线上，且两地的经度差为

D

- 4,3

4

90，若地球的半径为 R 千米，且时速

A.( 2, -4 )

B .(

—) C

1

，一—)

.(-1厂1)

&已知0、 A 、B 、C 是不共线的四点，若存在一组正实数

?'3，使讪 OA + -"2 OB +

3

OC = 0, 则三个角 AOB 、 BOC 、? COA (

)

A.都是锐角 .至多有两个钝角

C

恰有两个钝角

D.至少有两个钝角

9. f （x ）是定义在 （0, ?::）上的非负可导函数 ，且满足xf （x ）乞f （x ），对任意的正数 a 、b ，若

A. af(a)乞 bf(b)

B . af (a) _ bf (b)

.af(b)乞 bf(a) D. af(b)_bf(a)

C.

13?如果把个位数字是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由 1,2,3,4四个数字 组成的有重复数字的四位数中“好数”共有 ___________ 个.

14?在 cABC 中，AB =3、、3,AC =5.3,. BAC=120°，其所在平面外一点 P 到 A 、B 、C 三个 顶点的距离都是 25，贝U P 点到平面 ABC 的距离为 ____________ ? 15?直线y =2x ? m 和圆x 2 y 2 = 1交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，

OA 为终边（0是

坐标原点）的角为_：匚，OB 为终边的角为：，那么sin （圧亠『■）的值是 ________ ? 三、解答题：本大题共 6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

1

16.（本小题满分 13 分）已知 a = 2sin x, -cos2x , b = 6, -2 sinx ,c=（?cosx, sin x ）.

其中0乞x 匸

2

T 4

（i ）若 a//b ，求 sin x 的值；

2

（n ）设 f x [=a e-c ），3b ，求 f x 的最大值.

17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，SA 丄底面ABCD ,Z BAD =也ABC = 90°, 且

AB =AD =1,BC =3 , SB 与平面ABCD 所成的角为45°, E 为SD 的中点. 1

（I ）若F 为线段BC 上的一点且BF BC ,求证：EF //平面SAB ；

6

BG 的长；若不存在，说明理由.

18?（本小题满分13分）已知由正数组成的数列 {a n },它的前n 项和为S n .

（n ）求点B 到平面SDC 的距离；

（川）在线段BC 上是否存在一点 G ，使二面角

G-SD-C 的大小为arccos ，?若存在，求出

3

(I)若数列｛a n｝满足：a n += qa n( q式0)，试判断数列is n｝是等比数列还是等差数列？并说明理由。

1 1

(n)若数列｛a n｝满足：3! ，且S n与的等比中项为n(n?N ”)，求lim S .

2 3n Y

19.(本小题满分12分)已知函数f x是定义在［_e,0) 一(0,e］上的奇函数，当x 0,el时，

f x =ax I n x .

(I )求f x的解析式；

(Il )是否存在实数a，使得当l-e,0时，f x的最小值是3 ?如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由.

2

x

= 1(a_2)，直线l与椭圆交于A、B两点，M是线

20.(本小题满分12分)已知椭圆—y

a

段AB的中点，连接0M并延长交椭圆于点

(I)设直线AB与直线0M的斜率分别为

k1 k2 ，求椭圆的离心率.

2

(n)若直线AB经过椭圆的右焦点F，且四边形OACB是平

行四边形，求直线AB斜率的取值范围.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)二e x( e为自然对数

的底数)，g(x) =ln(f(x)，a) ( a为常数)，g(x)是实数集上的奇函数.

(I)求证：f (x) _ x 1(x R)；

(n)设n ? N，证明: ▼ z n汀w n ：：：—^ ( e为自然对数的底

数).

e「1

理科数学答案

I. A 2 . D 3 . C 4 . A 5 . A 6 . B 7 . C 8 . D 9 . C 10 . D

4

II. 20 12. 4 13

. 12 14. 24

15

5

4 4

16.解：(1)由 a//b 得

2sin x( _2 sin x) = _6cos 2x

2 2 2

.-4sin x 2sin x = -6 1「2sin x . 5sin x 2sin x - 3 = 0 sin x 1 5sin x - 3 = 0 3 0_x_—

. sinx=-

2

5

1

(2) b -c = (6 cos x, -2)

2

^cosx) 2cos2x 3[36 (-2 sin x)2

] 2

2

= 12sin x -sin xcosx 2cos 2x 108 3sin x -12sin x 12 1

1 -cos2x

= 120 - sin2x 2cos 2x 3

2

2

=120 3in2x ^cos2x

2 2 2

E 是SD 的中点

1

HE//AD,HE 二—AD ； BAD 二 ABC =90°

2

AD // BC

1 1

BF//AD,BF BC AD . HE//且HE 二BF,?

6 2

四边形EFBH 为平行四边形

EF // BH 又 BH 平面 SAB, EF 二平面 SAB

f x = 2sin x(6 - z.24^ __2 sin(2x

)

2 4

JI

10分

,*

n

2

n

n

2x —— 4 4

17.解: 1) 取 SA 的中点 f x

max

H,连结 EH,BH

243

三(二)=122

12分

S

4分

-EF // 平面SAB

(2) T SA_底面ABCD . . SBA 是SB 与平面ABCD 所成的角

：SA_AB, SBA = 45°, SA 二 AB =1

以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，SA 为z 轴，如图所示建立直角坐标系, 则 B 1,0,0 ,S 0,0,1 ,D

0,1,0 ,C 1,3,0

T

T T

DC 二 1,2,0 ,DS 二 0,-1,1 ,BC 二 0,3,0

设n,

X j , y 1

, Z j 是平面SDC 的法向量，则DC n^ = 0, DS

F 1 =_2y1 取==(—2,1,1)

力=Z1

(3)设 BG =a ，则 G 1,a,0 0 . a :: 3 . DG =]1,a —1,0

设压=x 2,y 2,z 2是平面GSD 的法向量，贝U DG n 2 =0, DS n 2 = 0

?- f2+(V 1)y

2：0 取； =(1-a,1,1) I —『2+12=0

? a = 3 , 故存在G 点满足要求，BG =3

2 2

18

、解：①由

q = O 得｛ a n

｝为等比数列，假设＜L S n *是等比数列，则S 2

- S ! S 3

，整理得q = 0

a n

与q = 0矛盾所以 不是等比数列；假设 是等差数列，则2S 2 = 3+S 3整理得 q =1或q 二0 (舍)所以q=1时 空1是等差数列，q = 1 ^S n ?不是等差数列

1

① 由条件得 n 2 二 S n

，即 S n 二 n 2a n , S n4 =

(n- 1)2a n4 相减得 a n

( n 2-1) = ( n- 1)2a^1

a n

2

n(n 1)所以 S

n 韦a

n =柿得 n i

m ：S

n =

1

x

go

-y1 w =0

13分

(n -2) -a

^ 二口得a n

a n 4 n 1

则B 到平面SDC 的距离为

刁6

由CT 。诗

2 2 得

a 2 = 2 亠

〔1 _ a