指数对数幂函数知识点总结

高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2

整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m

，

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r

s

r s

a a a

a r s R +?=>∈.

(2)()(0,,)r s

rs

a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r

r r

ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x

≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x

≠>=且，总有a )1(f =；

二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；

○

2 x N N a a x

=?=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式．

两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；

○

2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。规律：底数a 保持不变

幂值 真数

（二）对数的运算性质

(1)负数和零没有对数；

(2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M

M N N

=-; (3)log log ()n

a a M n M n R =∈. (4)N n

N a n a log 1log =

（5）对数的换底公式

log log log m a m N

N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).

a b b a log 1

log = (a ＞0,且 b ＞0).

（6）指数恒等式：a

N a N

l o g =

（由②N log b ①N a a b

==，,将②代入①得a N a N

l o g =）

（7） 对数恒等式：log log ()n

a a a n a n n R ==∈

（四）对数值的正负判断规律：

对数N a log 的底数a 与真数N 同属于区间(0,1)或（1，+∞）时log 0a N > 例：0.33log 0.80;log 20>> 对数N a log 的底数a 与真数N 分别属于区间(0,1)或（1，+∞）时log 0a N <

例：0.3 1.6log 80;log 0.70<<

（五）对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，

5

log 5

x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 3、对数函数的性质：

,则0>a ，且0a ，且0≥?.单独检验.

4．几个特殊值为底数的函数图象：

三、幂函数

1定义：形如

)(R x y ∈=αα

的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

注意：幂函数与指数函数有何不同？

【提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．

2．由具体幂函数的图像和性质：

(0,)+∞ ,0)(0,)+∞

奇

上减

归纳：幂函数在第一象限的性质：

0>α，图像过定点（0,0）（1,1），在区间(0,)+∞上单调递增。

0<α，图像过定点（1,1），在区间(0,)+∞上单调递减。

附：拓展探究*(有余力的同学可以思考)： 整数m,n 的奇偶与幂函数n

m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关

系？（先转化为根式再判断）

结果：形如

n

m x

y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性（1）当m ，n 都为奇数时，f （x ）为奇函数，图象关于原点对称；

（2）当m 为奇数n 为偶数时，f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称；

（3）当m 为偶数n 为奇数时，f （x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.