高中数学-平面向量章末检测题
高中数学-平面向量章末检测题 (时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知向量a =(4,2),b =(x,3),且a ∥b ,则x 的值是( ) A .-6 B .6 C .9 D .12 2.下列命题正确的是( ) A .单位向量都相等
B .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线
C .若|a +b |=|a -b |,则a ·b =0
D .若a 与b 都是单位向量,则a ·b =1.
3.设向量a =(m -2,m +3),b =(2m +1,m -2),若a 与b 的夹角大于90°,则实数m 的取值范围是( )
A .(-4
3
,2)
B .(-∞,-4
3)∪(2,+∞)
C .(-2,4
3
)
D .(-∞,2)∪(4
3
,+∞)
4.平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB →=(2,4),AC →=(1,3),则AD →·BD →
等于( ) A .8 B .6 C .-8 D .-6 5.已知|a |=1,|b |=6,a ·(b -a )=2,则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
6.关于平面向量a ,b ,c ,有下列四个命题: ①若a ∥b ,a ≠0,则存在λ∈R ,使得b =λa ; ②若a ·b =0,则a =0或b =0;
③存在不全为零的实数λ,μ使得c =λa +μb ; ④若a ·b =a ·c ,则a ⊥(b -c ). 其中正确的命题是( )
A .①③
B .①④
C .②③
D .②④ 7.已知|a |=5,|b |=3,且a ·b =-12,则向量a 在向量b 上的投影等于( )
A .-4
B .4
C .-125 D.12
5
8.设O ,A ,M ,B 为平面上四点,OM →=λOB →+(1-λ)·OA →
,且λ∈(1,2),则( ) A .点M 在线段AB 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上
D .O ,A ,B ,M 四点共线
9.P 是△ABC 内的一点,AP →=13
(AB →+AC →
),则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )
A.3
2
B .2
C .3
D .6 10.在△ABC 中,AR →=2RB →,CP →=2PR →,若AP →=mAB →+nAC →
,则m +n 等于( ) A.23 B.79 C.8
9
D .1 11.已知3a +4b +5c =0,且|a |=|b |=|c |=1,则a ·(b +c )等于( )
A .-45
B .-35
C .0 D.35
12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a =(m ,n ),b =(p ,q ),令a ⊙b =mq -np .下面说法错误的是( ) A .若a 与b 共线,则a ⊙b =0 B .a ⊙b =b ⊙a
C .对任意的λ∈R ,有(λa )⊙b =λ(a ⊙b ) 2222题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
13.设向量a =(1,2),b =(2,3),若向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线,则λ=________. 14.a ,b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=3,则|5a -b |=________.
15.已知向量a =(6,2),b =(-4,1
2
),直线l 过点A (3,-1),且与向量a +2b 垂直,则直
线l 的方程为________.
16.已知向量OP →=(2,1),OA →=(1,7),OB →
=(5,1),设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原
点),则MA →·MB →
的最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)如图所示,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?AOBD ,又BM →=13BC →,CN →=13
CD →
,用
a ,
b 表示OM →、ON →、MN →
.
18.(12分)已知a ,b 的夹角为120°,且|a |=4,|b |=2, 求:(1)(a -2b )·(a +b ); (2)|a +b |; (3)|3a -4b |.
19.(12分)已知a =(3,-1),b =????12,3
2,且存在实数k 和t ,使得x =a +(t 2-3)b ,y =
-ka +tb ,且x ⊥y ,试求k +t
2t
的最小值.
20.(12分)设OA →=(2,5),OB →=(3,1),OC →
=(6,3).在线段OC 上是否存在点M ,使MA ⊥MB ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.
22.(12分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ,且P 、Q 分别在OA 、OB 上,设OA →=a ,OB →
=
b ,OP →=m a ,OQ →
=n b .
求证:1m +1
n =3.
平面向量 答案
1.B [∵a ∥b ,∴4×3-2x =0,∴x =6.] 2.C [∵|a +b |2=a 2+b 2+2a ·b |a -b |2=a 2+b 2-2a ·b |a +b |=|a -b |.∴a ·b =0.] 3.A [∵a 与b 的夹角大于90°,∴a ·b <0,∴(m -2)(2m +1)+(m +3)(m -2)<0,即3m 2-
2m -8<0,∴-4
3
4.A [∵AD →=BC →=AC →-AB →=(-1,-1),∴BD →=AD →-AB → =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5), ∴AD →·BD →=(-1,-1)·(-3,-5)=8.] 5.C [∵a (b -a )=a ·b -|a |2=2,∴a ·b =3,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |=31×6=1 2 ,∴〈a ,b 〉 =π3 .] 6.B [由向量共线定理知①正确;若a ·b =0,则a =0或b =0或a ⊥b ,所以②错误;在a ,b 能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数λ,μ使得c =λa +μb ,所以③错误;若a ·b =a ·c ,则a (b -c )=0,所以a ⊥(b -c ),所以④正确,即正确命题序号是①④.] 7.A [向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ,b 〉=|a |·a ·b |a ||b |=a ·b |b |=-12 3 =-4.] 8.B [∵OM →=λOB →+(1-λ)OA →=OA →+λ(OB →-OA →)∴AM →=λAB → ,λ∈(1,2),∴点B 在线段AM 上,故选B.] 9.C [设△ABC 边BC 的中点为D ,则S △ABC S △ABP =2S △ABD S △ABP =2AD AP . ∵AP →=13(AB →+AC →)=23AD →,∴AD →=32AP →,∴|AD →|=32|AP → |.∴S △ABC S △ABP =3.] 10.B [AP →=AC →+CP →=AC →+23CR →=AC →+23(23AB →-AC →)=49AB →+13AC → 故有m +n =49+13=79 .] 11.B [由已知得4b =-3a -5c ,将等式两边平方得(4b )2=(-3a -5c )2,化简得a ·c =-3 5 . 同理由5c =-3a -4b 两边平方得a ·b =0,∴a ·(b +c )=a ·b +a ·c =-3 5 .] 12.B [若a =(m ,n )与b =(p ,q )共线,则mq -np =0,依运算“⊙”知a ⊙b =0,故A 正确.由于a ⊙b =mq -np ,又b ⊙a =np -mq ,因此a ⊙b =-b ⊙a ,故B 不正确.对于C ,由于λa =(λm ,λn ),因此(λa )⊙b =λmq -λnp ,又λ(a ⊙b )=λ(mq -np )=λmq -λnp ,故C 正确.对于D ,(a ⊙b )2+(a ·b )2=m 2q 2-2mnpq +n 2p 2+(mp +nq )2=m 2(p 2+q 2)+n 2(p 2+q 2)=(m 2+n 2)(p 2+q 2)=|a |2|b |2,故D 正确.] 13.2 解析 ∵a =(1,2),b =(2,3), ∴λa +b =(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3). ∵向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线, ∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0. ∴λ=2. 14.7 解析 ∵|5a -b |2=(5a -b )2=25a 2+b 2-10a ·b =25×12+32-10×1×3×(-1 2 )=49. ∴|5a -b |=7. 15.2x -3y -9=0 解析 设P (x ,y )是直线上任意一点,根据题意,有AP → ·(a +2b )=(x -3,y +1)·(-2,3)=0,整理化简得2x -3y -9=0. 16.-8 解析 设OM →=tOP →=(2t ,t ),故有MA →·MB → =(1-2t,7-t )·(5-2t,1-t )=5t 2-20t +12=5(t -2)2 -8,故当t =2时,MA →·MB → 取得最小值-8. 17.解 BA →=OA →-OB →=a -b .∴OM →=OB →+BM →=OB →+13BC →=OB →+16BA →=16a +5 6 b . 又OD →=a +b .ON →=OC →+CN →=12OD →+16OD →=23OD →=23a +23b , ∴MN →=ON →-OM →=23a +2 3b -16a -56b =12a -16 b. 18.解 a ·b =|a ||b |cos 120°=4×2×??? ?-1 2=-4. (1)(a -2b )·(a +b )=a 2-2a ·b +a ·b -2b 2=42-2×(-4)+(-4)-2×22=12. (2)∵|a +b |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=16+2×(-4)+4=12. ∴|a +b |=2 3. (3)|3a -4b |2=9a 2-24a ·b +16b 2=9×42-24×(-4)+16×22=16×19, ∴|3a -4b |=419. 19.解 由题意有|a |=(3)2+(-1)2=2,|b |=????122+??? ?322=1. ∵a·b =3×12-1×3 2 =0,∴a ⊥b . ∵x·y =0,∴[a +(t 2-3)b ](-k a +t b )=0.化简得k =t 3-3t 4 . ∴k +t 2t =14(t 2+4t -3)=14(t +2)2-74.即t =-2时,k +t 2t 有最小值为-74 . 20.解 设OM →=tOC →,t ∈[0,1],则OM →=(6t,3t ),即M (6t,3t ).MA →=OA →-OM → =(2-6t,5-3t ), MB →=OB →-OM →=(3-6t,1-3t ).若MA ⊥MB ,则MA →·MB →=(2-6t )(3-6t )+(5-3t )(1-3t )=0. 即45t 2-48t +11=0,t =13或t =11 15 .∴存在点M ,M 点的坐标为(2,1)或????225,115. 21.解 由向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角, 得(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)|2t e 1+7e 2|·|e 1+t e 2|<0, 即(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)<0. 整理得:2t e 21+(2t 2 +7)e 1·e 2+7t e 22<0.(*) ∵|e 1|=2,|e 2|=1,〈e 1,e 2〉=60°. ∴e 1·e 2=2×1×cos 60°=1 ∴(*)式化简得:2t 2+15t +7<0.解得:-7 2 . 当向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2夹角为180°时,设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2) (λ<0). 对比系数得????? 2t =λ7=λt λ<0,∴????? λ=-14t =-142 ∴所求实数t 的取值范围是? ???-7,- 142∪??? ? -142,-12. 22. 证明 如右图所示, ∵OD →=12(OA →+OB →)=1 2(a +b ), ∴OG →=23OD →=1 3 (a +b ). ∴PG →=OG →-OP →=1 3(a +b )-m a =(13-m )a +13 b . PQ →=OQ →-OP → =n b -m a . 又P 、G 、Q 三点共线, 所以存在一个实数λ,使得PG →=λPQ → . ∴(13-m )a +1 3b =λn b -λm a , ∴(13-m +λm )a +(1 3-λn )b =0. ∵a 与b 不共线, ∴? ?? 1 3-m +λm =0, ①1 3 -λn =0, ② 由①②消去λ得:1m +1 n =3. 平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1.下列向量给中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A .e 1=(0,0), e 2 =(1,-2) ; B .e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C .e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D .e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB =3a, CD =-5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是 ( ) A .平行四边形 B .菱形 C .等腰梯形 D .不等腰梯形 3. 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD → =2DB →, CD → =1 3 CA →+λCB → ,则λ 等于() A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4.已知向量a 、b ,且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是 ( ) A .A 、B 、D B .A 、B 、C C .B 、C 、D D .A 、C 、D 5.如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量,那么在下列各说法中错误的有 ( )①λe 1+μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量; ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1+μe 2的λ, μ有无数多对; ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2); ④若实数λ, μ使λe 1+μe 2=0,则λ=μ=0. A .①② B .②③ C .③④ D .仅② 6.过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ,若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0,则11 x y +的值 为 ( ) A .4 B .3 C .2 D .1 7.若向量a =(1,1),b =(1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A .-a +3b B .3a -b C .a -3b D .-3a +b 二、填空题 8.作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡,需加力F 3= ; 9.若A (2,3),B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ,y = ; 10.已知A (2,3),B (1,4)且12 AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β= * 11.已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行,则实数k 的值为 第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线 段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值. 平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4) 高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法平面向量基本定理练习题
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