2010年高考理科数学新课标全国卷 逐题解析

2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)

理科数学

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．已知集合{||2}A x R x =∈≤

},{|

4}B x Z =∈≤,则A B =

A ．(0,2)

B ．[0,2]

C ．{0,2]

D ．{0,1,2} D 【解析】{||2,}{22}A x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，

{|4}{016}B x Z x Z x =∈≤=∈≤≤，故{0,1,2}A B ?=．应选D ．

2

．已知复数z =

z 是z 的共轭复数，则z z ?= A ．

14 B ．1

2

C ． 1

D ．2 A

【解析】11

)(1))84z i i =

====

111

))444

z z i i ?=?+=．应选A ．

另解：由221221z ====可得2

14z z z ?==． 3．曲线2

x

y x =

+在点(1,1)--处的切线方程为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =-- D ．22y x =-- A 【解析】由2

122

x y x x =

=-++可得122,2,12(1)

(2)x y k y y x x =-''=

==+=++，21y x =+，应选A ．

4．如图，质点P 在半径为2

的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为

1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为

A B C D

C 【解析】通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离d ，于是可以排除答案A,

D ，再根据当4

t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B ，应选C ．

5．已知命题

1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，

则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ?∨和4q ：()12p p ∧?中，真命题是

A ．1q ，3q

B ．2q ，3q

C ．1q ，4q

D ．2q ，4q

C 【解析】1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数为真命题，而函数22x x

y -=+为偶函数，

则22x x y -=+在R 不可能为减函数，2p ：函数22x x

y -=+在R 为减函数为假命题，

则1p ?为假命题，2p ?

为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C ．

6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再

补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A ．100 B ．200 C ．300 D ．400

B 【解析】由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即~(1000,0.1)B ξ,

而2X ξ=，则2210000.1200EX E ξ==??=．应选B ． 7．如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于

A ．

54 B ．4

5

C ．65

D ．56

D 【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：

11111

01223344556S =+

++++

?????， 11111111115

1122334455666=-+-+-+-+-=-=，应选D ．

8．设偶函数()f x 满足3

()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=

A ．{|24}x x x <->或

B ．{|04}x x x <>或

C ．{|06}x x x <>或

D ．{|22}x x x <->或

B 【解析】当0x <时，则0x ->，由偶函数满()f x 足3

()8(0)f x x x =-≥可得，

()()f x f x =-=3

8x --，则()f x =33

8(0)

8(0)

x x x x ?-≥?--

(2)8(2)

(2)8(2)

x x x x ?--≥?---，可解得4,0x x ><或．应选B ．

另解：由偶函数满()f x 足3

()8(0)f x x x =-≥可得3

()()8f x f x x ==-， 则3

(2)(2)28f x f x x -=-=--，要使(2)0f x ->， 只需3

280,22x x -->->，解得4,0x x ><或．应选B ．

9．若4cos 5α=-

，α是第三象限的角，则

1tan

21tan 2

α

α+=- A ．12- B ．12

C ．2

D ．2-

A 【解析】由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3

sin 5

α=-．

311tan cos sin

1sin 152224cos 21tan cos sin 2225

ααα

ααααα-+++===

=----，应选A ． 另解：由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3

sin 5

α=-．

3sin sin 52tan 3421cos cos 125ααααα-=

===-+-，1tan

13121321tan

2

αα+-==-+-． 10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积

为

A ．2

a π B ．2

73

a π

C ．

2

113

a π D ．25a π B 【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，则其外接球的半径为

2)60R ==22

2774123

a R a ππ=?=，应选B ．

11．已知函数|lg |,010,

()16,10.2

x x f x x x <≤??

=?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc

的取值范围是

A ．(1,10)

B ．(5,6)

C ．(10,12)

D ．(20,24)

C 【解析】作出函数()f x 的图象如图，

不妨设a b c <<，则1

lg lg 10(0,1)2

a b c -==-+∈ 则(10,12)abc c =∈．应选C ．

12．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两

点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为

A ．

22136x y -= B ．22

145x y -= C ．22

163x y -= D ．22

154

x y -= B 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为

2222

221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312

y y x x b b x x a y y a -+-+=?=?==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，

故E 的方程式为

22

145

x y -=．应选B ．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近

似计算积分

1

()f x dx ?

，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N

x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)

(1,2,i i x y i N =…,，再数出其中满足

()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1

()f x dx ?的近似

值为 ．

【解析】：由题意可知1

1()1

f x dx N

N

≈

?

得

1

1

()N f x dx N

≈

?

，故积分10()f x dx ?的近似值为

1

N N

．

14．正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）

【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等． 15．过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为____． 【解析】设圆的方程为2

2

2

()()x a y b r -+-=，

则2

2

2

2

2

2

1

(4)(1),(2)(1),1,2

b a b r a b r a --+-=-+-==--

解得3,0,a b r ===

22(3)2x y -+=．

16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，1

2

BD DC =

，∠ADB =120°，AD =2，

若△ADC

的面积为3，则∠BAC =_______． 【解析】由△ADC

的面积为3可得

13sin 6032

ADC S AD DC DC ?=

???==31

(3sin

22

ABC S AB AC BAC ?==??

∠

解得2DC =,则1,3BD BC =

=．

2222

cos120AB AD BD AD BD =+-??

241)1)6

=++

=

,AB = 22222cos 6041)1)24AC AD CD

AD CD =+

-??=+-=-1)AC =

则222cos 2

BA AC BC BAC AB AC +-∠=

?1

2

===

故60BAC ∠=．

A

B

D C

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足21

112,32n n n a a a -+=-=?．

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)令n n b na =，求数列的前n 项和n S ．

【解析】(Ⅰ)由已知，当1n ≥时，

111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+

21233(222)2n n --=++

++2(1)12n +-=．

而12,a =

所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=．

(Ⅱ)由212n n n b na n -==?知

35211222322n n S n -=?+?+?+

+? ①

从而

22n S ?=357211222322n n +?+?+?+???+? ②

①-②得

(2

12-)n S ?=3

5

212122222n n n -++++

+-?．

即n S =211

[(31)22]9

n n +-+．

18．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB CD ∥，AC BD ⊥，垂足为H ，

PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点．

(Ⅰ)证明：PE BC ⊥；

(Ⅱ)若60APB ADB ∠=∠=，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．

【解析】以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空

间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B

(Ⅰ)设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <> 则(0,,0)D m ,1(,,0)22

m

E ． 可得PE =1(,

,)22

m

n -,BC =(,1,0)m -． 因为0022

m m

PE BC ?=-+=，

所以PE ⊥BC ． (Ⅱ)由已知条件可得

1,33m n C =-

=-故 (，

1(0,,0),(,(0,0,1)326

D E P -

-， 设 (,,)x y x =n 为平面PEH 的法向量

则00

HE HP ??=???=??n n

，即1020x y z ?=???=?

．

因此可以取=n ， 由(1,0,1)PA =-，

可得|cos <,PA n

>|=

4

， 所以直线PA 与平面PEH

．

19．(本小题12分)

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(Ⅱ)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (Ⅲ)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助

的老年人的比例？说明理由．

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

【解析】(Ⅰ)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，

需要帮助的老年人的比例的估算值为

70

14%500

=． (Ⅱ)2

2

500(4027030160)9.96720030070430

K ??-?=

=???． 由于9．967>6．635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

20．（本小题满分12分）

设12,F F 分别是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l

与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列． (Ⅰ)求E 的离心率；

(Ⅱ)设点(0,1)P -满足PA PB =，求E 的方程．

【解析】(Ⅰ)由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+，

得43

AB a =

． l 的方程为y x c =+

，其中c =

设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b

=+??

?+=??，

化简的()()

222222220a b x a cx a c b +++-=．

则()222212122222

2,a c b a c

x x x x a b a b

--+==++． 因为直线AB 斜率为1，所以AB

=

21x -=

得2

2

2

44,3ab a a b =+故222a b =， 所以E

的离心率2

c e a

a ==

=． (Ⅱ)设AB 的中点为()00,N x y ，由(I)知

212022

223x x a c x c a b +-===-+，003

c

y x c =+=． 由PA PB =，得1PN k =-， 即

00

1

1y x +=-， 得3

c =，从而3a b ==，

故椭圆E 的方程为

22

1189

x y +=．

21．（本小题满分12分）

设函数2

()1x

f x e x ax =---． (Ⅰ)若0a =，求()f x 的单调区间；

(Ⅱ)若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)0a =时，()1x

f x e x =--，'()1x

f x e =-．

当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加． (Ⅱ)'()12x

f x e ax =--，

由(Ⅰ)知1x

e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立．故

'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，

从而当120a -≥，即1

2

a ≤

时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥． 由1(0)x

e x x >+≠可得1(0)x

e

x x ->-≠．从而当1

2

a >

时， '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，

故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <． 综合得a 的取值范围为1

(,]2

-∞．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：

(Ⅰ)ACE ∠=BCD ∠；

(Ⅱ)2

BC =BE ×CD ．

【解析】(Ⅰ)因为AC BC =,所以BCD ABC ∠=∠．

又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠， 所以ACE BCD ∠=∠．

(Ⅱ)因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以BDC ?∽ECB ?，故BC CD

BE BC

=

， 即2

BC BE CD =?．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线1C ：1cos sin x t y t αα=+??=?(t 为参数)，圆2C cos sin x y θ

θ

=??

=?（θ为参数）． (Ⅰ)当α=

3

π

时，求1C 与2C 的交点坐标； (Ⅱ)过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨

迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

【解析】(Ⅰ)当3

π

α=

时，1C

的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为

221x y +=

．联立方程组221)

1y x x y ?=-??+=?? ，

解得1C 与2C 的交点为(1,0)

，122?- ??

，．

(Ⅱ)1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=． A 点坐标为(

)2

sin

cos sin ααα-，

故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：

()21sin 2

1sin cos 2

x y αααα

?

=???

?=-??为参数，P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+=．

故P 点轨迹是圆心为104?? ???

，

，半径为1

4

的圆．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数()f x =241x -+． (Ⅰ)画出函数()y f x =的图像；

(Ⅱ)若不等式()f x ax …的解集非空，求a 的取值范围．

【解析】(Ⅰ)由于252()23x x f x x -+

，，x 2则函数()y f x =的图像如图所示．

(Ⅱ)由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当1

2

a ≥

或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()122??

-∞-+∞????

，

，．