浅析多元函数的最值问题
浅析多元函数最值问题
作者-欧金秀
宜宾学院数学学院数学与应用数学学院2008级2班四川宜宾 644000
指导老师-张玲
摘要：最值问题是数学永恒的话题，也是历年各类考试的热门考点。而在最值求解中，尤以多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活性多变而具有挑战性，本文主要通过消元法、不等式法以及数形结合的方法结合典型的例子阐述求多元函数最值问题的方法技巧与创新思维。
关键词：多元函数最值消元不等式数形结合
目录
1、引言及相关定义 (2)
2、求最值的方法 (3)
2.1消元法 (3)
2.1.1 直接消元 (3)
2.1.2 拉格朗日乘数法 (5)
2.2 不等式法 (6)
2.2.1均值不等式 (6)
2.2.2琴生不等式 (9)
2.2.3幂平均不等式 (11)
2.2.4柯西不等式 (12)
2.3 数形结合法 (13)
结束语 (15)
致谢词 (16)
参考文献 (16)
1、引言及相关定义
函数是数学最重要的内容之一，同时又是解决数学问题的重要理论之一。在科技生产、经济管理等诸多领域中，常常需要解决在一定条件下怎样使得投入最小，产出最多、效益最高等问题。而这些问题即为函数的最值问题，故函数最值的研究也具有重要的价值。如何用最简单高效的方法求函数是最值问题，仍需要不断的探索与创新。
定义1【竞赛数学】： 设函数()x f 的定义域为D 。如果存在0x ∈D 。使得任意实数x ∈D ，都有f(x) ≤()0x f ，则称()0x f 为函数()x f 在D 上的最大值。可以简记为max f
如果存在0y ∈D ，使得任意实数x ∈D ，都有f(x) ≥()0y f ，则称为()0y f 函数()x f 在D 上的最小值。可以简记为min f
一元函数最值的概念可以类似的推广到多元函数的情形。 对于定义域在Ｄ上的ｎ元函数ｕ＝()n x x x f ...,21
设（0201,x x .0
n x ）∈D ，若对一切（n x x x ...,21），总有()
()n n x x x f x x x f ,,...,2100201≥， [或者()
00201...,n x x x f ≤()n x x x f ...,21]称()n x x x f ...,21在点（0201,x x ...0n x ）达到最大（小）值，而点（0201,x x ...0n x ）为最值点。
定义2【竞赛数学】： 若有n 个变量n x x x ,,21满足方程（不等式）组 ()0,,21=n i x x x F ()m i ,2,1=， ○1
其中m ＜n 。求出变量()n i x i ,2,1=的一组值，使得函数 y=()n x x x f ...,21 ○2
取得最大值（最小值）。也就是说，如果（0201,x x 0
n x ）满足方程○
1，且对满足○1的一切（n x x x ...,21），总有
()0
0201...,n
x x x f ≥()n x x x f ...,21 或()00201...,n x x x f ≤()n x x x f ...,21 则分别称()
0201...,n
x x x f 为函数○2在条件下○1的最大值（最小值）。这种最值称为条件最值，条件○1中的等号也可以部分或全部改为不等号，并称为约束条件，而称○2为目标函数。
最值定理： 若函数在闭区间上连续，则该区间上一定有最值。
注：相关定义及定理在此不做证明，可参考《数学分析》及《竞赛数学》等。
2、求函数最值的方法
2.1消元法求函数最值
消元法是指通过消去变量(或未知数) 从而达到解题目的的方法。如果能先消去一些变量(或未知数) 使其减少到一个,使数量关系单一化,则便于找到解题途径。多元函数最值难求,关键在于变量较多。如果能够采取合理的手段消元,使变量减少甚至只剩下一个变量,则问题往往迎刃而解。消元法是求多元函数最值的最基本方法。 2.1.1直接消元法
有的函数很容易根据约束条件消去一些变元，就可直接消元。 例1. 已知21,x x 是方程()()
53222=+++--k k x k x ()R k ∈的两个实数根，问当k
为何值时，2
2
21x x +有最大值，并求出其最大值。 分析： 根据方程有根的条件得出关于k 的范围，再由根与系数的关系得到约束条件，进而根据目标函数求其最值。
解： 由于所给二次方程有实数根，故判别式
()[]()
05314222
≥++??---=?k k k ，
即 0161632
≤++k k ○
1 韦达定理，有 221-=+k x x ○
2 532
21++=?k k x x ○
3 因此，本题实际上就是求在约束条件○
1○2 ○3下，求目标函数 2
22
1x x y += ○
4 的最大值。这里包含的变元有21,x x ，k 。为了消去21,x x ，将○
2○3代入○4，得 ()212
212
2212x x x x x x y -+=+=
6102
---=k k ()1952
++-=k
记 ()k f ()1952
++-=k
而由○
1可知 3
4
4-≤≤-k 于是问题转化求()k f 在区间??
???
?--3
4,4上的最大值，由()x f 在I 的单调性可知
当4-=k 时，2
2
21x x +有最大值18. 例2
]
1[. 在约束条件04422=-+y x 下，求函数 ()y x y xy x y x f 242,22++++=
的最大值。
分析：约束条件很显然是个椭圆方程，我们可以利用其参数方程将二元转化为一元，达到消元的目的，从而利用一元函数求最值的方法求其最值
解：约束条件 0442
2
=-+y x 可化为 14
22
=+y x 令 θ
θsin cos 2==y x ， 则 ()y x y xy x y x f 242,22++++=
有 ()()
()θθθθθθθsin cos 2sin sin cos cos 422++++=f
()θθθθsin cos 2sin cos 44+++= ○1 令μθθ=+sin cos ，
24sin 2≤??
?
?
?
+
=πθμ，由○
1转化为讨论函数 ()()
μμμ21242+-+=g ()
122++=μμ， 当μ取得最大值2时，()y x f ,取得最大值()
232+ 此时 4
π
θ=
， 解得 2
2,2=
=y x 注： 如果约束条件符合某些特征，根据解析几何的有关知识，将其化为参数（或极坐标）
方程（或不等式），从而达到消元的目的。 例3 设192
2
=++y xy x ，求2
2
y x +的最值。 解： 设
θ
θsin ,cos r y r x == （θ为参数），则
(
)θθθθ22
2
2
2
sin sin cos cos +?+=++r y xy x
192sin 2112
=??
?
??
+=θr 从而 2
2
y x +θ2sin 2
1
119
2+=
=r ，因12sin 1≤≤-θ，故当 12sin =θ
即 3
19=
=y x 时，()338min 2
2=+y x ，
当 12sin -=θ（即19,19-==y x 或19,19=-=y x ）时，()
38max
2
2=+y x
本题实际上是在极坐标下，求原点到椭圆1922=++y xy x 上各点的最大和最小距离。一般来说，对于一个条件最值问题，若条件式（等式或不等式）及目标函数都是二元二次的，在极坐标下求解会比较简单。
综上述： 值得注意是，消元后，留下的元（变量或未知数）的取值范围往往并不是任意的，而要根据题设条件挖掘出来，而这往往成为解题的关键。
2.1.2 Lagrange 乘数法 当有些函数很难消元，或者消元后反而使函数变得更复杂，则可利用拉格朗日乘数法求最值。
例1
]
2[. 要设计一个容量为0V 的长方体开口水箱, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材
料最省？
解：设 x , y , z 分别表示长、宽、高， 则有0V xyz =，所求表面积为 ()xy yz xz S ++=2
令()()()02,,V xyz xy yz xz z y x L -+++=λ
解方程组
()0
02020
20=-==++==++==++=V xyz L xz y x L xz x z L yz y z L z y x λλλλ 得唯一驻点3022V z y x ===
即最值点为???
?
??2232,20
30
30V V V ，
此时()xy yz xz S ++=2=32
043V
∴ min s =32043V
例2
]
3[. 求表面积为2
a 而体积为最大的长方体的体积.
分析：这是一个有关函数最值的实际问题，先找到目标函数，确定定义域即约束条件，求其极值点，进而确定最值。 解： 设长方体的三棱长为z y x ,,
，则有 2xy+2yz+2xz=2
a
即(,,)x y z ?=2xy+2yz+2xz-2
a =0 (1)
作拉格朗日函数 L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2xz-2
a ), 由 X L =yz+2λ(y+z)=0
Y L =xz+2λ(x+z)=0 得
z
y z
x y x ++=， x z x y z y ++=，
Z L =xy+2λ(x+y)=0
得 x=y=z (2) 将(2)代入 (1)，得唯一可能极值点x=y=z=
6
6a 。 由该问题的实际意义可知，此点就为所求最大值点。 即正方形的体积最大，最大体积为V=
3
36
6a 。 综上述：应用拉格朗日求函数的最值要先找到目标函数，确定定义域即约束条件，求其可能最值点，进而确定最值。
2.2 不等式法
不等式与函数的最值问题是密切相关。由一个最值问题的解，可以得到一个不等式。例如，若()x f 在[]b a ,上的最大值及最小值是A,B 则有()()b x a A x f B ≤≤≤≤。而由
()A x f B ≤≤，使不等式成为求最值的重要工具之一，
2.2.1 均值不等式
z
x
y
均值不等式：设n a a a ......
2,1是n 个正数，则)()()()
(n n n n Q A G H ≤≤≤
其中 n
a a a n n
H 1
11
)( (2)
1+++=
n n a a a G ...21)(= n
a a a A n n +++=...21)
( n
a a a Q n
n 2
2221)(...+++=
当且仅当n a a a ===...21时取等
定理1：设正变数n x x x ,,21满足方程n n x a x a x a ++2211=S, 这里S a a a n ,,21 都是正常数，那么乘积n x x x 21当n n x a x a x a ==2211时为最大。
定理2：设正变数n x x x ,,21满足方程M x x x n = 21，若M a a a n ,,21 都是正常数，那么函数n n x a x a x a ++2211当n n x a x a x a ==2211时为最小。
在将均值不等式应用于求最值时,要求比较高,可概括为:“一正、二定、三相等”。即: (1) 所涉及的量必须都正数; (2) 这些正数的“和”或“积”是定值:当积为定值时,可以求和的最小值;当和为定值时,可以求积的最大值; (3) 这些正数必须相等。这三点缺一不可,否则,结论不成立。
例1. 如图在平面直角坐标系中，在Y 轴的正半轴（原点除外）上给定两个定点A 、B ，试在X 轴（原点除外）上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。
解：设点A(0，a) B （0，b ） C （x ，0）
其中a ＞b ＞c ，x ﹥0，设α=∠ACB,β=∠OCB,
则∠OCA=α+β, 0＜α＜β ,
x
ab ab
x +
22=?
≥x ab ab
x ， 因当ab x =时，x ab
ab
x + 取最大值2， 且在??
?
??2,
0π内，αtan 是增函数 故当ab x =
时，α=∠ACB 取最大值ab
b
a 2arctan
-，C 点坐标为（0,ab ）。 例2
]
4[. 已知a ，b ，c ，d ，e 是满足,8=++++e d c b a ，16
2
2222=++++e d c b a 的实数，试确定e 的最大值。
解：有题设有e d c b a -=+++8，2
222216e d c b a -=+++
于是由均值不等式2
2n
n A Q ≥ 得 2
222244??
?
??+++≥+++d c b a d c b a
有 ()
()2
22224d c b a d c b a +++≥+++
即 ()
()2
28164e e -≥-
即 ()0165≤-e e 所以 5
16
0≤
≤e 以上不等式当且仅当a=b=c=d 时等号成立，由此可知516max =e ，此时a=b=c=d=5
6。 注：此题也可以构造柯西不等式去证明。 例3
]
5[. 求函数32
64
8x
x x y +
+= （x ＞0）的最小值。 解： 设 =??
?
????? ??n
m
nx m x x 32
648常数
32
648x
m x x ==
其中m ，n 是待定的正整数，这就有 032=-+n m 且m ，n 分别是8,64的因数，于是m=4，n=2，因此 3
2
648x x x y +
+= )3232(
)2222(222x
x x x x x x ++++++=
()72
34
2
3227??
?
??≥x x x =28
其中等号当且仅当32
32
2x
x x =
=，即x=2时成立，故28min =y 注：932
2648=??
? ????? ??n
m
nx m x x 常数，但不能由246483332=??≥x x x y 导出24min =y 。这是因为不存在实数x ，使得32
64
8x
x x =
=，也就是说，不等式中不可能取等号。 注： 用均值不等式求最值的解题要点是“和定”积最大，积定和最小”，即当题目条件是和( 积)的形式为定值， 求积(和)的形式的最值时往往可用均值不等式解之．
均值不等式是解决多元函数求最值的行之有效的方法。只要满足了“一正、二定、三相等”的条件,就屡试不爽。但在具体解题时,因其技巧性较强, 简单的可以目测，难的可以通过待定系数，进行拆分项或恰当配凑因式。例3很好的证明了此技巧。创设使用均值不等式的条件,因此,需要多做题,细揣摩,才能把握好。
2.2.2琴生不等式
定理：若()x f 在区间I 内的上凸函数，则对任意的n x x x ...,21∈I ，以及任意的
+∈R n λλλ ,,21121=+++n λλλ ，
必有
()()()()n n n n x f x f x f x x x f λλλλλλ+++≥+++ 22112211。若()x f 在区
间I 内的下凸函数，则不等号反向。其中等号当且仅当n x x x === 21时成立。 推论：若()x f 在区间I 内的上凸函数，则对任意的n x x x ...,21∈I ，总有
()()()n x f x f x f n x x x f n n ++≥
??
? ??+++2121。若()x f 在区间I 内的下凸函数，则不等号反向。其中等号当且仅当n x x x === 21时成立。 注：○1上述重要定理及其推论就是重要的琴生不等式。
○2利用琴生不等式考察最值问题时，必须选择恰当的函数，使其在某个区间内为上凸或下凸函数。
例1]
6[ 设a ，b ∈+R ，且1=+b a 。求2
21)1(??? ?
?+++b b a a 的最值。
分析：用琴生不等式考察最值问题时，必须构建恰当的函数，使其在某个区间内为上凸或下凸函数。
解： 构建函数()2
1??? ?
?
+=x x x f x>0
()
()()
3
2
442412x
x x x x x f ++-="
因为x>0，所以()"
x f >0，即()x f 为（0，+∞）的下凸函数。 由琴生不等式有， ??
?
??+221x x f ≤
()()221x f x f + （1） 令a x =1，b x =2。有，
??? ??+221x x f =??
? ??+2b a f =425 ()()221x f x f +=2
21)1(??? ?
?
+++b b a a
由（1）知，2
21)1(??
? ??
+++b b a a ≧425
当且仅当21x x =即a=b =
2
1
时取等。 注：此题还可以用柯西不等式或均值不等式求解。 例3
]
7[ 证明:在圆的内接n 边形中，以正n 边形的面积为最大。
证明： 设圆的半径为r ，内接n 边形的面积为s ，各边所对的圆心角分别为
n θθθ 21,，则
S=
()n r θθθsin sin sin 2
1212
++ 设()x x f sin =，由于它在（0，π）内上凸，于是有 n θθθsin sin sin 21+++ ≤n
n n
θθθ+++ 21sin
=n
n π2sin
所以当n θθθ=== 21时，s 取最大，也就是以正n 边形的面积最大。
综上述：由重要不等式求函数的最值只需构造不等式中相应是形式（或满足条件的函数）并注意不等式取等的条件。
2.2.3幂平均不等式
幂平均不等式：若βα<=>,...2,1,0n i x i ，则
ββαβαααα1
211
21)...()...(n
x x x n x x x n
n +++≤+++
等号当且仅当n 个正数相等时成立。
注：当条件最值里的约束条件是一些正数的同次幂的和为定值时，就可以用幂平均不等式去确定这些正数的另一个同次幂的和的最大值（最小值）。
例2]
8[ 若a ﹥0，b ﹥0，c ﹥0，且1=++c b a .3
33111??? ??++??? ??++??? ?
?
+=c c b b a a μ的最
小值。
分析： 观察要求函数的形式有三次方，而柯西不等式、均值不等式都不含有三次方的形式，且一次的和为定值，可选择幂平均不等式来求解。 解： 考察三个正数a a 1+
，b b 1+，c
c 1
+的幂平均数，13M M ≥ 得3
11131113
13
3
3
?
?? ??++??? ??++??? ?
?
+≥??????
?
????
????
??
??++??? ??++??? ?
?+c c b b a a c c b b a a
=3
1111c b a +++
其中等号在a a 1+
=b b 1+=c
c 1
+时取得，即a=b=c 时成立。 另一方面，考虑三个正数a ，b ，c 的幂平均数
由11
M M ≤-得 3
31111
c b a c b a ++≤
???
?
?
?
??????++-=31
于是有
91
11≥++c
b a 。把这个结果代入到前面的不等式 得3
13
3
3
3111?????
?
?
????
????
?? ??++??? ??++??? ?
?+c c b b a a ≥310
即3
33111??? ??++??? ??++??? ?
?
+=c c b b a a μ≥310
当a=b=c=
31时，所求函数值最小为9
1000
注：利用幂平均不等式求最值问题时应注意：0
1.各字母必须是正数；0
2.须恰当选择幂平
均数的指数； 0
3.几个正数相等的条件必须具备。
2.2.4柯西不等式
柯西不等式：设),...2,1(,,n i R b a i i =∈，则
∑∑∑=Λ
==≥n
i i i i i
n i i b a b
a 1
21
21
2)(,
当且仅当
n
n a b
a b a b ===...2211时，不等式取等 柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用广泛,灵活巧妙地运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。在使用时,往往要采取一些方法(如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等) 构造符合柯西不等式的模式及条件,从而达到解决问题的目的。
例1 设,,0x y z >,且1x y z ++=,求u =149
x y z
++的最小值。 解:由柯西不等式可得,
()149
149u x y z x y z x y z ??=
++=++?++????
2
≥
()2
12336=++=
由22
2
49
y z x =
=及1x y z ++=可得,111,,632x y z ===， ∴ min 36u =.
本题构造出了符合柯西不等式的形式及条件,继而达到解题目的。 例2
]
8[. 设1=++z y x ，求函数2
2232z y x ++=μ的最小值。
解：根据已知条件和柯西不等式，我们有
z y x z y x ?+?+
?=
++=133
122
11
()
2
1
2222
13213121z y x ++??
? ??++≤=μ?611
因此，116≥μ，由此推得116min ≥μ只要能找到一组x ，y ，z 使得μ恰好取得116
就证明
了11
6
min =μ。为此应用柯西不等式中等号成立的条件，可列出方程
λλ
λ
==
=
z y x ,3
3,2
2 即3
,2
λ
λ
=
=
y x ，λ=z 代入1=++z y x ，求得
116=
λ，所以11
6
,112,113===
z y x ∴ 116min =μ 当且仅当11
6
,112,113===z y x
2.3数形结合法
数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合。通过构造图形，培养思维的灵活性、直观性，创造性，使问题化抽象为具体化难为易，。关键是找出满足条件结论的几何特征，构建几何模型，从而达到解决问题的目的。
例1 求函数2
12
+-=x x y 的值域。
解： 012
≥-x []1,1-∈∴x
02
12
≥+-∴x x 0≥∴y
212+-=x x y 可以看成 ()
20
12----=x x y
即点()21,x x -与点()2,-x 的斜率
而点()2
1,
x x -在半圆122
=+y x
0≥y 上， 如下图所示
PA k y ≤≤∴0 而 3
3121tan 2
2=
-=
=
∠=AP
OA APO k PA
∴y 的值域为??
?
???33,0
例2
]
9[ 关于x 的二次方程0212=+++m z x z x 中，m z z ,,21均是复数，且
i z z 20164221+=- 设这个方程的两个根α，β满足72=-βα，求m 的最大值和最
小值。
解：根据韦达定理有1z -=+βα，m z +=2αβ。
由()()m z z 44422
12
2
--=-+=-αββαβα，所以()
2212
44z z m --=-β
α=28，
例3]
10[ 若实数x ，y 满足5=+y x ，试求x y x t 222-+=的最大值与最小值。
分析： x ，y 满足5=+y x ，所确定的点集为一个正方形ABCD 边界而目标函数可化
为()1122+=+-t y x ，把t 作为一个参数。它表示以点H （1,0）为圆心的圆心族。
因此，要求t 的最值，只需求圆族中与正方形ABCD 的边界的公共点的具有最值的半
径的圆。
于是得()
712
22
m i n =-=t ，最小点有两个E(3,2) F(3,-2)
总结：利用给定的函数的特征，构造其函数的特征图，以形助数，利用图形的性质求函数的最值。
()ββαtan tan 1++x ab
x b a +-
例4]
11[ 设0 < u
v > 0 ,
求2
29 ()s u v v ?=-+??的最小值。
分析：观察所求函数的最值跟两点间的距离公式很相似，而这两点又刚好在圆和双曲线上，利用其几何特征，解决问题。
解:
设(9,,P u Q v v ??
???
,则2 ||s PQ =，此时,P
的轨迹是
()
222,00x y x y +=<<>,
Q 的轨迹是9xy =,(0x >)
在平面直角坐标系中做出动点P ,Q 的轨迹(如图) ,则
2
228118OQ v v =+
≥,即| OQ | min
= 2
281v v
=,
数形结合解题的关键是寻找满足条件的几何特征，根据特征画出起图形，根据图形的性质达到解决问题的目的。
结束语
综上可知，多元函数最值的求法种类还有很多，而且随着数学的发展，还会更加丰富，更加有趣。函数最值问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定的模式。其常用方法有：消元法、不等式法、换元法、数形结合法、向量法等，其解法具有技巧性强、难度大、方法多、灵活性多变的特点具有挑战性。本文主要通过消元法、不等式法以及数形结合的方法结合典型的例子阐述求多元函数最值问题的方法技巧与创新。在解题时因题而异，上述方法可以独立使用，也可相互渗透。本文采取不同的形式论述各种求最值方法.在论述简单的方法时，引用定理，甚至推论，再辅以例题论述；比较难些的，采用更加详细的提出、分析、解决的步骤，使论述更加浅显易懂。因此解题的关键在分析和思考，因题而异选择恰当的方法，在平时的学习中需要扎实基本功，培养敏锐的思维。如何用最简单高效的方法求函数是最值问题，仍需要不断的探索与创新。
致谢词
时间如梭，转眼毕业在即。回想在大学求学的四年，心中充满无限感激和留恋之情。感谢母校为我们提供的良好学习环境，使我们能够在此专心学习，陶冶情操。谨向我的论文指导老师及学院老师致以最诚挚的谢意！张老师不仅在学业上言传身教，而且以其高尚的品格给我以情操上的熏陶。本文的写作更是直接得益于她的悉心指点，从论文的选题到体系的安排，从观点推敲到字句斟酌，无不凝聚着她的心血。
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2016年高中数学多元函数求最值问题专题
多元函数求最值问题 一.【问题背景】 多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。 二.【常见的方法】 导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等 主要思想方法：数形结合、化归思想等 三.【范例】 例1：已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则21 3x y x y ++-的最小值为 。 方法一 因为422x y +≥，所以 ( )2121 4( )()[(3)()]3323333x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++-+-+--+=+ + +-+≥≥ 当且仅当1,3x y ==-取等号，故 213x y x y ++- 的最小值34 + 【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数， 再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。 方法二 利用不等式()2 22a b a b p q p q +++≥ ，引证： 记向量x y == ，因为() 222x y x y ?? ≤ 所以 ()2 2 2 a b a b p q p q +++≥ ，则 ) () 2 12132x y x y x y ++-+ ≥ 【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使 复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 0,2x y x y >>+≤，所以 01y << 又因为 ()() 2121332222211y x y x y y y y y -++=+-+-+-≥
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
“图解法解二元函数的最值问题”
“图解法解二元函数的最值问题” 教学课例 昌平区第一中学 回春荣
“图解法解二元函数的最值问题”教学课例 一、设计意图： 在新课程背景下的教学中，课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思，以“变”的方式诱导学生灵活善变，使整堂课有张有弛，真正突出了学生是教学活动的主体的原则。本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上，利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元函数的深化和再认识、再理解，是直线、圆和不等式的综合运用，同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用，所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识，熟练方法，理解新知识的承上启下的作用。图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用，这节课为学生提供了广阔的思维空间，对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。教学上通过设置问题情境、多媒体展示，学生动手操作，使学生在“做中学”，学生在实际操作中，既发展了学生的个性潜能，又培养了他们的合作精神。 二、本课教学目标 1、知识与技能:通过识图、画图，学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。 2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组，目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程，提炼出解决这类问题的方法——以图定位，以算定量。 3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究，培养学生科学严谨的治学态度，勇于探索、敢于创新的学习精神，同时感受合作交流的快乐。 三、教学过程与教学资源设计 （一）、教学内容：图解法解二元函数的最值问题 （二）、教学设计流程图：
多元函数求最值
多元函数求最值（范围）问题 主备人:刘美良 知识要点：1.;2,22 22 2 b a ab ab b a +≤ ≥+()R b a ac bc ab c b a ∈++≥++,,222 2.2 2,2??? ??+≤≥+b a ab ab b a ??? ??∈+≥ ++R b a b a b a ,,41 1 3.22112 2 2b a b a ab b a +≤+≤≤+。 推广： n a a a n a a a a a a a a a n n n n n n 2 2 212212121111ΛΛΛΛ++≤++≤≤++()0>i a 4. 若d c b a ,,,是实数，则2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时，等号成立。 一般形式：设n a a a a ,...,,,321，n b b b b ,...,,,321是实数，则 222112 222122221)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当 0=i b [来]),...,2,1(n i =或存在一个数k ，使得i i kb a =),...,2,1(n i =时，等号成立。 推论： （1）当121n b b b ===L 时，柯西不等式即为2222 1212()()n n n a a a a a a ++≥++L L ，若 i a R + ∈（1,2,i n =L ） 12n a a a n +++≥L ，此即上面提到的平方平均≥算术平均。 （2）当1i i b a = （1,2,i n =L ）时，有222 212222 12111()()n n a a a n a a a ++++≥L L 。 当,i i a b R +∈（1,2,i n =L ），则 ( )212121 2n n n a a a b b b b b b ?? +++++≥ ???L L L (3)权方和不等式：()y x b a y b x a ++≥+2 22；()??? ? ??+≥+222 2b a b a
关于多元函数的极值和最值计算
关于多元函数的极值和最值计算 （一） 可微函数的无条件极值 如果(,)z f x y =在区域D 上存在二阶连续偏导数，我们可以用下面的方法求出极值。 首先，通过解方程''00 x y f f ?=??=?? 得到驻点。其次，对每个驻点求出二阶偏导数： '''''',,xx xy yy A f B f C f === 最后利用课本定理7.8进行判断。 20,0,AC B A ->> 函数在此点取极小值； 20,0,AC B A ->< 函数在此点取极大值； 20,AC B -< 函数在此点不取极值； 20,AC B -= 不能确定。 （二） 如何求多元函数的最值 如果函数(,)z f x y =在有界闭域D 上连续，那么函数(,)z f x y =在有界闭域D 上一定存在最大值和最小值。下面介绍如何求出(,)z f x y =在有界闭域D 上的最值。 首先， 在D 的内部求出函数(,)z f x y =的驻点 及 偏导数不存在的点。 其次，求出函数(,)z f x y =在D 的边界上的最大值点和最小值点。这里分两种情况处理： 第一种情况：D 的边界是由显函数来表示 的（包括边界是分段用显函数表示的情形），可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的最值问题 来解决。 第二种情况：D 的边界是由 隐函数(,)0x y ?=来表示 的，而且函数(,)z f x y =，(,)x y ?在包含D 的区域上存在二阶连续偏导数，此时可以用拉格朗日乘数法求出驻点。 最后， 通过比较函数(,)z f x y =在我们得到的点上的函数值，就可得到(,)z f x y =在有界闭域D 上的最值。 （三） 如何求条件极值 下面介绍求函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ?=下的条件极值。 第一种情况：如果(,)0x y ?=确定了显函数)(y g x =或者)(x h y =，可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的极值问题 来解决。 第二种情况：如果函数(,)z f x y =，(,)0x y ?=在区域D 上存在二阶连续偏导数，而且(,)0x y ?=确定了隐函数，此时可以用拉格朗日乘数法。首先，求出拉格朗日函数),,(λy x L 在区域D 内的驻点。
多元函数最值问题(1)
多元函数最值问题 一．方法综述 多元函数的最值问题就是在多个约束条件下,某一个问题的最大和最小值.在所列的式子之中,有多个未知数.求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等. 二．解题策略 类型一 导数法 例1.【2018上海市长宁、嘉定区一模】若不等式()2 2 2x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ， y 恒成立，则实数c 的最大值为__________． 【答案】4 【举一反三】【2018江西省临川二中、新余四中联考】已知函数()f x 的定义域是R ， ()()()2 10 811(0) x a x x f x ln x x ?-++≤?=?++>??（a 为小于0的常数）设12x x <且()()12 ''f x f x =，若2 1 x x -的最小值 大于5，则a 的范围是__________． 【答案】(),4-∞-
类型二 消元法 例2.【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数x ，都存在实数y 与之对应，则当 ()220x y y x e y x a e ----=时，实数a 的取值范围为（ ） A. 1, 2e ? ? -∞ ?? ? B. (),0-∞ C. 10,3e ?? ??? D. 1,3e ??-∞ ?? ? 【答案】D 【解析】由题设有()33x y a y x e -=-，令x y t -=，则3,t a t e t R =-∈，所以()3'13,t a t e t R =-+∈，当 1,3t ??∈-∞- ???时， '0a >， 3t a te =在1,3??-∞- ???为增函数；当1,3t ??∈-+∞ ???时， '0a <， 3t a te =在 1,3? ?-∞- ? ?? 为减函数，所以m a x 13a e =，注意到当0t >时， 0a <，故选D. 【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把x y -看成整体，从而把问题转化为一元函数的值域来讨论. 类型三.基本不等式法 例 3.【2018湖南省长沙市第一中学模拟】设二次函数()2 f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为
多元函数求最值
多元函数求最值
多元函数求最值问题 一.【问题背景】 多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。 二.【常见的方法】 导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等 主要思想方法：数形结合、化归思想等 三.【范例】 例1：已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则21 3x y x y ++- 的最小值为 。 方法一 因为422x y +≥，所以
()2121 4( )()[(3)()]332333322 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++-+-+--+=+ + +-+≥≥ 当且仅当221,32 x y ==-取等号，故 21 3x y x y ++-的最小值324+ 【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。 方法二 利用不等式()2 2 2 a b a b p q p q +++≥，引证： 记向量 (,)x y p q p q ==，因为()2 2 2 x y x y ??≤ 所 以 ()2 22a b a b p q p q +++≥， 则 () () 2 2121 32x y x y x y ++-+≥ 322+ 【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造 向量模型，利用向量数量积的性质，常可使复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 0,2x y x y >>+≤，所以 01y << 又因为 ()() 2121332222211y x y x y y y y y -++=+-+-+-≥
多元目标函数最值问题
多元目标函数最值问题 目标：1.达到灵活运用基本不等式2(0,0)a b ab a b +≥≥≥来解决高考中有关最值问题。 2.善于观察、联想，迅速研判最值题型，通过变型或转换寻找条件与结论的衔接点，创造性地解决最值问题。 3.能通过减元来研究目标函数最值 一．激活思维 1、若正数,a b 满足1ab =，则2a b +最小值 . 2、已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b =+的最小值是 . 3、设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 . 4、已知,a b 均为正实数，且1a b +=，求11()()y a b a b =++的最小值。 二．分类解密 目标1 两元以下函数最值问题 例1：若不等式 ，对任意恒成立，则实数的最大值为 。 变式1 若 则 。 变式2 若 ，则的最小值 。
例2．若,x y 满足20403x y x y x -≥??+-≥??≤?，则3322x y x y +的取值范围是 变式1 已知,x y 为正数，则22x y x y x y +++的最大值为 变式2 设(,)P x y 为函数21(3)y x x =->图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-= +--，则当m 最小是P 的坐标为 目标2 多元问题处理 例3. 若实数 ，则的最小值为 。 变式1 设 为正实数，且满足的最小值是 。 变式2已知正实数 满足的最小值为 。 变式3 若 ，且则 。 例4．已知,,x y z R +∈，求 2221612xy yz x y z +++的最大值 变式训练 1 若关于x 的一元二次不等式()20ax bx c a b ++≥<的解集为R ，则24a b c M b a ++= -的最小值是 三． 1、设，则 的最小值为 。