复变函数考试试卷试题及答案各种总结.doc
《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（ 20 分）：
1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数 f(z) 在 z 0 解析 .
( )
2. 有界整函数必在整个复平面为常数.
(
)
3. 若
{ z n }
收敛，则
{Re z n } 与
{Im
z n }
都收敛 .
( )
4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且
f '( z)
，则 f ( z)
C
（常数） . ( )
5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 . ( )
6. 若 z 0 是
f ( z)
的 m 阶零点，则 z 0 是 1/
f (z)
的 m 阶极点 .
(
)
lim f ( z)
7. 若 z
z 0
存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 . (
)
8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则
f ' (z) 0(
z D ) .
( )
9. 若 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线
C
f (z)dz 0 .
C
( )
10. 若函数 f(z) 在区域 二. 填空题（ 20 分）
D 内的某个圆内恒等于常数，则
f(z)
在区域
D 内恒等于常
数
. （
）
dz
1、 |z z 0 | 1 ( z
z )n
__________. （ n 为自然数）
2.
sin 2 z cos 2
z
_________.
3. 函数
sin z
的周期为 ___________.
f (z)
1
4. z
2
1
，则
f ( z)
的孤立奇点有 __________.
设 5. 幂级数
nz n 的收敛半径为 __________.
n 0
6. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.
lim z n
lim
z 1
z 2 ...
z n
7. 若 n
，则 n
n
______________.
Re s(
e z
n ,0)
，其中 n 为自然数 .
z
9.
sin z
的孤立奇点为 ________ .
z
若
z 0 是 f (z) lim f (z) ___
10. 的极点，则
z z
.
三. 计算题（ 40 分）：
f (z)
1
1. 设
(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .
1 dz.
|z| 1
cos z
2.
3. 设
f ( z) 3 2
7
1d
{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).
C
z
，其中 C
z 1
w
1 的实部与虚部 .
4.
求复数z
四 . 证明题 .(20 分 )
1. 函数
f (z)在区域 D 内解析 .
证明：如果
| f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内
为常数 .
2. 试证 : f (z) z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 ,
并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1
的值 .
《复变函数》考试试题（一）参考答案
一． 判断题
1．× 2．√ ３．√ ４．√ ５．√
6．√ ７．×８．×９．× 10．×
二．填空题
2 i n 1
；
2. 1 ；
3.
2k
， ( k z) ； 4.
z
i ； 5. 1
1.
n 1
6. 整函数；
7.
；
8.
1 ；
9. 0
；
10.
.
(n
1)!
三．计算题 .
1. 解
因为
0 z 1, 所以 0 z 1
f ( z)
1 1 1 z z
n
1 ( z )n
.
( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )
n 0
2 n 0 2
2
2. 解 因为
z
2
1
Re s f (z) lim
lim
1
,
cosz
sin z
z
2
z
z
2
2
Re s f (z)
lim z 2 lim
1 1 .
cosz
sin z
z
2
z
z
2
2
所以
1 dz
2 i(Re s f (z) Re s f (z) 0 .
z 2
cos z z 2 z 2
3. 解 令
( ) 3 2 7
1, 则它在 z 平面解析 , 由柯西公式有在 z 3内 ,
f (z)
c ( )
dz 2 i (z) .
z
所以 f (1
i ) 2 i (z) z 1 i
2 i (1
3 6i ) 2 ( 6 13i ) .
4. 解 令 z
a bi , 则
w
z 1 1
2
1 2( a 1 bi ) 1 2(a 1)
2b
.
z 1 z 1 ( a 1)2 b 2
( a 1)2 b 2 (a 1)2 b 2
故 Re( z
1 1 2(a 1)
, Im( z 1 2b
2
.
) 2 b 2
)
2
z 1 ( a 1)
z 1 (a 1) b
四.
证明题 .
1. 证明 设在 D 内 f ( z)
C .
令 f ( z) u iv ,
2
u 2 v 2 c 2 .
则 f ( z)
两边分别对 x, y 求偏导数 ,
得 uu x vv x 0
(1) uu y vv y 0
(2)
因为函数在 D 内解析 , 所以 u x v y , u y v x . 代入 (2)
则上述方程组变为
uu x vv x 0 . 消去 u x 得, (u 2 v 2 ) v x 0 .
vu x uv x 0
1) 若 u
2 v 2 0 , 则 f ( z)
0 为常数 .
2) 若 v x
0,
由方程 (1) (2)
及 C.
R. 方程有 u x 0, u y 0 , v y 0 .
所以 u
c 1, v c 2 . ( c 1, c 2 为常数 ).
所以 f ( z) c1 ic 2为常数.
2. 证明f ( z) z(1 z) 的支点为z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1的z平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .
由于当 z 从支割线上岸一点出发, 连续变动到z 0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以
f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该
2
z 1 的幅角为, 故f ( 1) i
2i .
分支在上岸之幅角为 0, 因而此分支在2e2
2
《复变函数》考试试题（二）
一 . 判断题 . （ 20 分）
1. 若函数 f (z) u(x, y) iv ( x, y)
在
D内连续，则 u
x,y
)
与 v x,y
)
都在 D内连
续
.
( (
z z
( )
2. cos 与sin 在复平面内有界 . ( )
f ( z) 在 z0 f ( z) 在z0
3. 若函数解析，则连续 . ( )
4. 有界整函数必为常数 . ( )
5. 如 z0是函数 f ( z) 的本性奇点，则 lim ( ) 一定不存在 . ( )
z z0
f z
6. 若函数 f ( z) 在 z0 可导，则 f ( z) 在z0 解析 . ( )
7. 若 f ( z) 在区域 D内解析 , 则对 D内任一简单闭曲线 C f ( z)dz 0 .
C
( )
8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n} 都收敛. ( )
9. 若 f ( z) 在区域 D 内解析，则 | f ( z)| 也在 D 内解析 .
( )
10. 存在一个在零点解析的函数 f ( z) 使 f ( 1 ) 0 且 f ( 1
) 1 , n 1,2,... .
n 1 2n 2n
( )
二. 填空题 . (20 分)
1. 设z i ，则| z | __,arg z __, z __
2. 设f ( z) ( x2 2 xy) i (1 sin( x2 y2 ), z x iy C ，则lim f ( z) ________.
z 1 i
dz
3.
|z z 0 | 1
( z
z )n _________.（ n 为自然数）
4. 幂级数
nz n 的收敛半径为 __________ .
n 0
5. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z 0 是 f '( z) 的_____零点 .
6.
函数 e z 的周期为 __________.
7. 方程 2z 5 z 3 3z 8 0 在单位圆内的零点个数为 ________.
8. 设 f ( z)
1 z
2 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 _________.
1
9. 函数 f (z) | z |的不解析点之集为 ________.
10.
Res(
z
4
1
,1) ____
.
z
三 . 计算题 . (40 分 )
1. 求函数
sin(2z 3 )
的幂级数展开式 .
2.
在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z
在正实轴取正实值的一个解析分支， 并求它在上半虚轴左沿的点及右
沿的点 z i 处的值 .
3. 计算积分：
I
i
1）
| z | dz ，积分路径为（ 1）单位圆（ | z|
i
的右半圆 .
4. 求 .
四 . 证明题 . (20 分 )
1.
设函数 f ( z) 在区域 D 内解析，试证：f ( z) 在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在
D 内解析 .
2.
试用儒歇定理证明代数基本定理 .
《复变函数》考试试题（二）参考答案
一. 判断题 .
1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．× 6．×７．×８．√ ９．× 10．× .
二. 填空题
， i ； 2.
3
(1 sin 2)i ； 3.
2 i n 1 ； 5.
m 1.
，
n ； 4. 1
2
1
6.
2k i ， ( k z) .
7.
0；
8.
i ；
9.
R ；
10.
0.
三. 计算题
1. 解 sin(2 z 3
)
( 1)n (2 z 3 )2n 1 ( 1)n 22n 1 z 6 n 3 .
n 0
(2 n 1)! n 0
(2 n 1)!
2. 解 令 z re i
.
i
2 k
2
则 f ( z)
z
re ,
(k
0,1).
又因为在正实轴去正实值，所以
k 0 .
所以 f (i)
i
e 4 .
3. 单位圆的右半圆周为 z e
i
, 2
.
2
i zdz
2 de
i
e
i
2 2i .
所以
i
2
2
4. 解 =0.
四.
证明题 .
1. 证明 (
必要性 ) 令 f ( z)
c 1
ic
2 , 则
f ( z)
c 1
ic 2 . (
c 1 ,c 2 为实常数
).
令 u(
x, y)
c 1, v( x, y)
c 2 .
则 u x
v y
u y
v x
0 .
即 u, v 满足 C.
( 充分性 ) 令 f ( z)
R., 且 u x , v y
u iv , 则 ,u y , v x 连续 ,
f (z) u iv
故 f (z) ,
在
D 内解析 .
因为
f ( z) 与 f ( z)
在
D 内解析
,
所以
u x v y , u y
比较等式两边得
v x ,
u x
且
u x v y
u y
(
v)y
v x
0 . v y , u y
从而在
D ( v x )
内 u, v v x .
均为常数
, 故
f (z) 在
D 内为常
数 .
2. 即要证“任一 n 次方程 a 0 z
n
a 1z
n 1
a n 1
z
a n
0 ( a 0 0) 有且只有
n
个根” .
证明 令 f (z) a 0 z n
a 1z n 1
a n 1z a n
0 , 取 R
max a 1
a n ,1 , 当
a 0
z
在
C : z R
上
时
,
有
( z) a 1 R n 1
a n 1 R a n ( a 1
a n )R n 1 a 0 R n .
f ( z) .
由儒歇定理知在圆
z
R 内 , 方程 a 0 z n a 1z n 1
a n 1 z
a n 0 与 a 0 z n
0 有相
同个数的根 . 而 a 0 z
n 0 在 z R 内有一个
n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R
内有 n 个根 .
《复变函数》考试试题（三）
一 . 判断题 . (20 分 ).
1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .
( )
2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )
3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )
4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .
( )
5.
若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区
域 D 内为常数 . ( )
6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ( )
7.
如果函数 f ( z) 在 D
{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则
| f ( z) | 1(| z | 1) .
（ ）
8.
若函数 f ( z) 在 z 0
处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.
( ) 9.
若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 .
( )
10. 若
z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z ) 0. ( )
二 . 填空题 . (20 分 )
1. 设 f ( z) 1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________. 2 z 1
2.
函数 e z 的周期为 _________.
3. 若 z n n 2 i (1
1
) n ，则 lim z n __________.
1 n
n
n
4. sin 2 z cos 2 z ___________.
dz
5.
|z z 0 | 1
(z z ) n
_________. （ n 为自然数）
6. 幂级数
nx n 的收敛半径为 __________.
n
设 f (z) 1
f
z 的孤立奇点有
z 2 1
，则
7.
( )
__________.
8.
设
e
z
1，则 z ___ .
9.
若 z 0 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .
z z 0
z
10.
Res(
e
n ,0) ____ .
z
三 . 计算题 . (40 分 )
1
1. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z
内展为 Laurent 级数 .
2. 试求幂级数
n!
z n
的收敛半径 .
n n
n
3. 算下列积分：
e z
dz
，其中 C 是 | z | 1
.
C
z 2 (z
2
9)
4. 求 z
9
2z
6
z 2
8z 2 0 在| z|<1 内根的个数 .
四 . 证明题 . (20 分)
1.
函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它
在 D 内为常数 .
2.
设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，
使得当 | z|
R 时
| f ( z) |
M | z |n
，
证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（三）参考答案
一. 判断题 1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√ 6．√７． √ ８．√ ９．√ 10 ．√ .
二. 填空题 .
1.
z z i ,且z C ; 2. 2k i (k
z) ;
3.
1 ei ;
4. 1;
5.
2 i n
1
n ;
1
6. 1;
7.
i ;
8.
z
(2k 1) i ;
9.
;
10.
1
(n .
1)!
三. 计算题 .
1
z 2
(1
1
1
z n 2 . 1. 解 z 2 e
z
)
z
2! z 2
n 0
n!
2. 解
lim
c n
n
c
n 1
所以收敛半径为
3. 解 令
f (z)
lim n! (n 1)n 1 lim( n n
(n 1)! n
n
e .
e z
, 则 Re s f ( z)
2
2
z (z
9) z 0
n 1)n
lim(1 1)n
e .
n n
n
e z 1 .
z
2
9
z 0
9
故原式
2 i Re s f ( z)
2 i
9 .
z 0
4. 解 令 f (z) z 9
2z 6 z 2 2 ,
( z) 8z .
则在 C : z 1 上 f ( z)与 (z) 均解析 , 且 f ( z) 6 (z) 8 , 故由儒歇定理有
N ( f , C ) N ( f
,C ) 1. 即在 z 1 内, 方程只有一个根 .
四. 证明题 .
1. 证明
证明 设在 D 内 f (z) C .
令 f ( z) u
iv , 则 f ( z) 2
u 2
v
2
c 2
.
两边分别对 x, y 求偏导数 ,
得 uu x vv x 0
(1) uu y
vv y 0
(2)
因为函数在 D 内解析 , 所以 u x v y , u y v x . 代入 (2)
则上述方程组变为
uu x vv x 0 . 消去 u x 得, (u 2 v 2 ) v x 0 .
vu x uv x 0
1) u
2 v 2
0 , 则 f ( z) 0 为常数 .
2)
若 v x
0 , 由方程 (1) (2)
及 C.
R. 方程有 u x
0, u y 0 , v y 0 .
所以 u c 1, v c 2 . ( c 1, c 2 为常数 ).
所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .
2.
证 明
取
r R
, 则 对 一 切 正 整 数
k n
时 ,
f (k ) (0) k !
z r
f ( z)
k !Mr n
2 z k 1 dz
r k
.
于是由 r 的任意性知对一切
k n 均有 f ( k) (0) 0 .
n
即 f (z) 是一个至多 n 次多项式或常数 .
故 f ( z)
k 0
c n z n ,
《复变函数》考试试题（四）
一、判断题（ 24 分） 1. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个领域内可导 . （ ）
2. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 满足 Cauchy-Riemann 条件 . （ ）
3.
如果 z 0 是 f (z) 的可去奇点，则
lim f (z) 一定存在且等于零 . （
）
z z 0
4. 若函数 f ( z) 是区域 D 内的单叶函数，则
f ( z) 0( z D ) . （
）
5. 若函数 f ( z) 是区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数 . （ ）
6.
若函数 f ( z) 在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域
D 内恒等于
常数 . （
）
7.
1 的 m 阶极点 . （ ）
若
z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点，则 z 0 是
f ( z)
二、填空题（ 20 分）
1.
若 z n sin 1 i (1 1
) n ，则 lim z n ___________.
1 n n 2.
设 f (z)
z ，则 f ( z) 的定义域为 ____________________________.
z 2
1
3.
函数 e z 的周期为 ______________.
4. sin 2 z cos 2
z
_______________.
5. 幂级数
n 2 z n 2 的收敛半径为 ________________.
n 0
6.
若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点且 m 1，则 z 0 是 f ( z) 的 ____________零点 .
7.
若函数 f ( z) 在整个复平面处处解析，则称它是 ______________.
8.
函数 f ( z) z 的不解析点之集为 __________.
9.
方程 3z 8
z 3 3z 8 0 在单位圆内的零点个数为 ___________.
10.
Re ( e z
,0)
_________________.
s
z n
三、计算题（ 30 分）
1、 求
1 i
2
1 i 2
.
2
2
2、 设 f (z)
C 3 2 7 1 d ，其中 C z : z 3 ，试求 f
(1 i ) .
z
3、设 f ( z)
e z ，求 Re s(
f (z),0) .
z 2
4、求函数
z
在 1
z 2 内的罗朗展式 .
1)(z
( z 1)
5、求复数 w
z 1
的实部与虚部 .
z 1
dx
6、利用留数定理计算积分： 2 ，
(a 1) .
a cosx
四、证明题（ 20 分）
1、方程 24 z 7 9z 6 6z 3 z 3 1 0 在单位圆内的根的个数为
7.
2、若函数 f ( z) u( x, y) iv ( x, y) 在区域 D 内解析，
f ( z) 等于常数，则 f ( z) 在 D 恒等
于常数 .
3、 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点，则 z 0 1
的 m 阶极点 .
是
f (z)
五、计算题（ 10 分）
求一个单叶函数， 去将 z 平面上的上半单位圆盘 z: z
1,Im z 0 保形映射为 w 平面的单
位圆盘 w : w
1
《复变函数》考试试题（四）参考答案
一、判断题： 1. √ 2. √ 3. × 4. √ 5.
√ 6.
√ 7.
√ 8.
×
二、填空题： 1.
ei 2.
z 1
3. 2 i
4. 1
5. 1
6.
m 1 阶 7. 整函数
8. ￡
9. 0
10.
1
( n 1)!
三、计算题：
1. 解： (
1 i
) 2
(1 i )2
i i
0.
2
2
2. 解： Q 1
i 2 3,
f ( z)
1 i f ( ) d
2 C z
3
2
7
1
d .
C
z
因此 f ( )
2 i (
3 2 7 1)
故 f ( z)
2 i (3z 2
7z 1)
f (1 i )
2 i (6 z 7) 1 i
2 i (1
3 6i )
2 ( 6 13i ) .
e z
z n
3. 解： n 0
n!
1 1 1 L ,
z
2
z
2
z 2
z 2
因此 Re s( f ( z),0) 1.
4. 解：
z
1 2 1 1
( z 1)(z
2) z 1 z 2 1 z
z(1 ) 1
z 2
由于 1
z
2 ，从而 1
1,
z
1.
z
2
因此在 1 z 2 内
有
( z
z
2)
1 (1 )n
( z )n
[( 1)n 1
( z
)n ].
1)( z
z n 0
z
n 0
2
n 0
z
2
5．解：设 z
x iy , 则 w
z 1 x 1 iy
(x 2 y 2 1) 2 yi
z 1 z 1 iy
( x 1)2
y
2
.
x 2 y 2 1
2y
Re w (x 1)
2
y 2
, Im w ( x 1)
2
y 2
.
6. 解：设 z e i ，则 d
dz ,cos
1 (z 1 ) ，
iz 2 z 2
d dz
2 2idz
a cos
z 1
iz
2a z
1
z 1
z
2
2az 1
z
Q a 1，故奇点为 z 0
a 2 1 a
2
d 4
Re s f ( z)
4
1
2
a
cos
2 a 2 1 a 2
1
.
z z 0
四、证明题：
1. 证明：设 f (z) 24z 7 , g ( z)
9 z 6 6z 3 z 2
1,
则在 z
1上， f ( z) 24, g( z) 9 6 1 1 17, 即有 f (z) g( z) .
根据儒歇定理知在 z 1内 f (z) 与 f ( z) g( z) 在单位圆内有相同个数的零点，而在
z 1
内 f (z) 的零点个数为 7，故 24z
7
9z 6 6z 3 z 2
1 0 在单位圆内的根的个数为
7.
2. 证明：设
f ( z) u 2 v 2 c ，则
2u u x 2v v x 0, 2u u y
2v v y
0.
已知 f ( z) 在区域 D 内解析，从而有 u x v y , u y v x 将此代入上上述两式得
uu x vu y
0, uu y vu x
0.
因此有 u x 0, u y 0, 于是有 v x 0, v y
0 .
即有
u c 1 ,v c 2 ,
f (z) c 1
ic 2
故 f (z) 在区域 D 恒为常数 .
3. 证明：由于 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点，从而可设
f ( z) ( z z 0 )m g( z) ，
其中 g(z) 在 z 0 的某邻域内解析且 g ( z 0 )
0 ，
1
1
1
于是
( z z 0 ) m g( z)
f ( z)
由 g( z 0 ) 0 可知存在 z 0 的某邻域 D 1 ，在 D 1 内恒有 g ( z) 1
在内 D 1 解析，故
0 ，因此
g( z)
1 的 m 阶极点 .
z 0 为
f ( z)
五、计算题
解：根据线性变换的保对称点性知 i 关于实轴的对称点
i 应该变到 w 0 关于圆周的对
称点 w
z i
，故可设 w k
i
z
《复变函数》考试试题（五）
一、判断题（ 20 分）
1、若函数 f (z) 在 z 0 解析，则 f (z) 在 z 0 连续 . （ ）
2、若函数 f (z) 在 z 0 满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f ( z) 在 z 0 处解析 . （ ）
3、如果 z 0 是 f (z) 的本性奇点，则 lim f (z) 一定不存在 . （
）
z z 0
4、若函数 f ( z) 是区域 D 内解析， 并且 f ( z) 0( z D ) ，则 f ( z) 是区域 D 的单叶函数 .
（ ）
5
f (z) 是区域 D 内的解析函数，则它在 D
内有任意阶导数 .
（ ）
、若函数
6、若函数 f (z) 是单连通区域 D 内的每一点均可导，则它在 D 内有任意阶导数 . （ ）
7、若函数 f (z) 在区域 D 内解析且 f ( z) 0 ，则 f ( z) 在 D 内恒为常数 . （ ）
1. 存在一个在零点解析的函数
f ( z) 使 f ( 1 ) 0 且 f ( 1 )
1
, n 1,2,L . （ ）
n 1 2n 2n
2.
如果函数 f ( z) 在 D （ ）
3.
sin z 是一个有界函
数二、填空题（ 20 分） z : z 1 上解析，且 f (z) 1( z 1) ，则 f (z) 1( z 1) .
. （ ）
1、若 z n
n 2 i (1 1
)n ，则 lim z n ___________.
1 n n
2、设 f ( z) ln z ，则 f (z) 的定义域为 ____________________________.
3、函数 sin z 的周期为 ______________.
4、若 lim z n
，则 lim
z 1z
2
L
z n
_______________.
n
n
n
5、幂级数
nz n 5 的收敛半径为 ________________.
n 0
6、函数 f ( z)
1
的幂级数展开式为 ______________________________. 1 z 2
7、若 C 是单位圆周， n 是自然数，则
1
n dz
______________.
C
(z z 0 )
8、函数 f ( z) z 的不解析点之集为 __________.
9、方程 15 z 5 z 3 4z 2 8 0 在单位圆内的零点个数为
___________.
10、若 f (z)
1 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 _________________.
1 z
2
三、计算题（ 30 分）
1、求e z
1
sin zdz
1 i z 3 ( z dz
4)
z 1
2 1)(z
2、设 f ( z)
C 3 2 7 1 d ，其中 C z : z 3 ，试求 f (1 i) .
z
3、设
e z
) .
f ( z) z 2 ，求 Re s( f ( z),
1
4、求函数
z 10
在 2 z
( z 1)(z 2
2)
5、求复数 w
z 1
的实部与虚部 .
z
1
内的罗朗展式 .
四、证明题（ 20 分）
1、方程 15 z 7 5z 6 6z 3 1
0 在单位圆内的根的个数为 7.
2、若函数 f ( z) u( x, y) iv (x, y) 在区域 D 内连续， 则二元函数 u(x, y) 与 v(x, y) 都在 D
内连续 .
1、 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点，则 z 0 是
1 的 m 阶极点 .
f (z)
一、计算题（ 10 分）
求一个单叶函数，去将
z 平面上的区域 z : 0 arg z
4 保形映射为 w 平面的单位圆盘
5
w : w 1 .
《复变函数》考试试题（五）参考答案
一、判断题： 1. √ 2. × 3. √ 4.
× 5. √ 6. √ 7.
√ 8. × 9. √ 10. ×
二、填空题： 1.
1 ei 2. z 0， 3.
2
4.
5. 1
6.
(iz )
2 k
7.
0, n 1
8.
￡ 9. 5
10.
z 1
2 i ,n 1
k=0
三、计算题：
1. 解：由于 e z 1 sin z 在 z 1 解析，
所以
e z 1 sin zdz 0
z 1
1
1
dz
1 dz
1
( z 4)
而
2 i
z 3
( z 1)
3 2 i z 3 ( z 1)( z 4)
因此
e z 1 sin zdz
1 dz
1 . z 1
2 i z
3 (z 1)(z 4)
3
2. 解： Q 1 i
2 3,
f ( z)
1 i f ( ) d
2 C z
C
3
2
7
z 1
d .
因此
f ( ) 2 i (3 2 7 1)
故 f ( z)
2 i (3z 2 7z 1)
f (1 i ) 2 i (6 z 7) 1 i 2 i (13 6i ) 2 ( 6 13i ) .
3. 解： f ( z)
e z
e z
(
1
1 )
z 2
1 2 z 1 z 1
Re s( f (z),1) e ,
Re s( f (z),
1)
e 1 ,
2
2
因此
Re s( f (z), )
(
e
e 1 ) e 1 e .
2 2 2
4. 解：
z 10
11 11z 12
11
1
11z 12
1
z 1 1
2
( z 1)(z 2 2)
z 1 z 2
2
z 2
1
z
z 2
由于 2
z
，从而
1
1,
2 1
z
z 2
因此在
2
z
内有
z 10
11
1 n 11z 1
2 ( 2 ) n
1 2( n 1) [
2 n (11z 12) 11z n 1
]
( z 1)(z 2
2)
( ) z 2
2 ( )
z n 0 z n 0 z
n 0 z 5．解：设 z
x iy , 则 w
z 1 x 1 iy (x 2 y 2 1) 2 yi .
z 1
z 1 iy
( x 1)
2
y
2
Re w
x 2
y 2 1
Im w
2y
2
.
(x
2
y 2
, ( x 1) 2
y
1)
6．解：设 z
e ix , 则 dz
ie ix dx izdx
sin x 1
1
( z
)
2i z
dx
1 2 dx 0
2 sin 2 x 2 0 2 sin 2 x
1
1 2iz
dz
dz
2 z 1 iz z
2
4iz 1 z 1
z
2
4iz 1
1
在 z
1 内
只有 z
( 3 2)i 一个一级极点
4iz 1
z 2
Re s[ f ( z),( 3
2)i]
i
2 3
因此
dx 2 i
i
.
2 sin 2 x
2 3
3
四、证明：
1. 证明：设 f ( z) 15z 7 , g ( z) 5z 6 z 5 6z 3 1,
则在 z
1 上， f ( z) 15, g( z) 13, 即有 f ( z) g(z) .
根据儒歇定理知在
z 1内 f (z) 与 f ( z) g( z) 在单位圆内有相同个数的零点，而在
z 1
内 f (z) 的零点个数为 7，故 15 z 7
5z 6
z 5
6z 3 1 0 在单位圆内的根的个数为
7
2.
证明：因为 f ( z) u(x, y)
iv ( x, y) ，在 D 内连续 , 所以 ( x 0 , y 0 ) D ,
0,
0.
当 x
x 0 , y y 0
时有
f ( x, y) f ( x 0, y 0 )
u(x, y) u(x 0 , y 0 ) i [v(x, y) v( x 0 , y 0 )]
1
{[ u( x, y) u( x 0 , y 0 )]2 [ v( x, y) v( x 0 , y 0 )] 2} 2 ,
从而有 u( x, y)
u(x 0 , y 0 ),
v( x, y) v(x 0 , y 0 ).
即与在连续，由 (x 0 , y 0 ) D 的任意性知 u(x, y) 与 v(x, y) 都在 D 内连续
3. 证明：由于z0是 f ( z) 的 m 阶零点，从而可设
f ( z) ( z z0 )m g( z) ，
其中 g(z) 在 z0的某邻域内解析且 g ( z0 ) 0 ，
于是
1 1 1
f ( z) ( z z0 ) m g( z)
由
g( z0 ) 0 可知存在z0的某邻域 D1，在 D1内恒有 g ( z) 0 ，因此
1 在内
D1 解析，故g( z)
1
的 m 阶极点.
z0为
f ( z)
5 4 } 保形映射为区域 { z: 0 arg}
五、解： 1. 设z4 ，则将区域 { z : 0 arg z
5
2. 设w e i i , 则 w 将上半平面保形变换为单位圆w 1.
i
因此所求的单叶函数为
《复变函数》考试试题（六）
一、判断题（ 40 分）：
1、若函数 f (z) 在 z0解析，则 f (z) 在z0的某个邻域内可导.（）
2、如果z0 是 f (z) 的本性奇点，则lim f (z) 一定不存在.（）
z z0
3、若函数f (z) u( x, y) iv (x, y)在D内连续，则u( x, y)与v( x, y)都在D内连续 . （）
4、cosz与sin z在复平面内有界 . （）
5、若z0是f ( z)的m阶零点，则z0是1/ f ( z) 的 m 阶极点.（）
6、若f ( z)在z0处满足柯西 - 黎曼条件，则 f (z) 在 z0解析.（）
7、若lim f ( z) 存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（）
z z0
8、若f ( z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线 C 都有 f ( x)dz 0.（）
C
9、若函数 f (z) 是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （）
10、若函数 f ( z) 在区域D内解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D 内恒等于常
数.（）
二、填空题（ 20 分）：
1、函数e z的周期为 _________________.
2、幂级数nz n的和函数为_________________.
n 0
3、设
f ( z) 1 ，则 f (z) 的定义域为_________________.
z2 1
4、nz n 的收敛半径为 _________________.
n 0
5、Re (e
z
,0) =_________________.
s
z n
三、计算题（40 分）：
1、
z
dz. z (9 z2 )( z i)
2、求Re s( e iz
2 , i ). z
1
3、1 i n
1 i
n
.
2 2
4、设u(x, y) ln( x2 y2 ). 求 v(x, y) ，使得 f (z) u( x, y) iv ( x, y) 为解析函数，且满足
f (1 i ) ln 2 。其中z D （ D 为复平面内的区域）.
5、求z4 5z 1 0 ，在z 1 内根的个数 .
《复变函数》考试试题（六）参考答案
一、判断题（ 40 分）：
1.√
2. √
3. √
4. ×
5. √
6. ×
7. √
8. √
9. √ 10. √
二、填空题（ 20 分）：
1. 2 i
2.
z
3.z i
4.1
5.
1 (1 z)
2 (n 1)!
三、计算题（40 分）
1. 解： f ( z)
z
2 在 z 2 上解析，由cauchy积分公式，有
9 z
2
z
z
dz
9 z 2 dz 2 i
5
z 2
(9 z 2 )( z i )
z 2
z i
9 z 2
z i
iz
i
2
2. 解：设 f (z)
e ，有 Re s(
f , i) e 2i
i e
1 z
2 2
解：
1
n
n
3. i 1 i (cos
i sin
)n (cos i sin 4 )n
2
2 4 4 4
cos n i sin n n i sin n n
4 4 cos 4 2cos
4 4 4. 解： u
2x
2
，
u
2 y
x
2
y
x 2
2
x
y
y
v( x, y)
(x , y) u y dx u x dy c
( x, y) 2 y 2 dx
2x 2 dy c
(0,0)
(0,0)
2
2
x y x y
y 2x
dy c
2arctan
y
c
x 2 y 2
x
f (1 i ) u(1,1) iv (1,1) ln 2 i (2arctan1 c) ln 2
故 c
， v( x, y)
2arctan
y
2
2
x
5. 解：令 f (x)
5z ， g (z)
z 4
1 则 f (x) ， g(z) 在 z 1内均解析，且当 z 1时
f ( z) 5 z 4 1 z 4
1 g ( z)
由 Rouche 定理知 z 4 5z 1 0 根的个数与 5z 0 根的个数相同 .
故 z 4 5z 1 0 在 z
1内仅有一个根 .
《复变函数》考试试题（七）
一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题
2 分）
1．设复数 z 1 x 1 iy 1 及 z 2
x 2 iy 2 ，若 x 1 x 2 或 y 1 y 2 ，则称 z 1 与 z 2 是相等的复数。
（
）
2．函数 f ( z) Re z 在复平面上处处可微。
（ ） 3． sin 2 z cos 2 z 1且 sin z
1, cos z 1 。
（ ）
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点
复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案
复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准 复变函数与积分变换期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 231i -的幅角是（Λ2,1,0,23 ±±=+-k k ππ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π+ ）；3. 211)(z z f += ， =)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；
(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2 复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和 零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。 ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章复习题 1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（ ） A. -2 B. 1 C. 8 D. 14 2. z=2-2i ，|z 2 |=（ ） A. 2 B. 8 C. 4 D. 8 3. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ） A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（ ） A.x 2-y 2+2xy B.x 2-y 2-2xy C.x 2+y 2+2xy D.x 2+y 2-2xy 5. arg(2-2i)=（ ） A.43π- B.4π- C.4π D.4 3π 6．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3 arg π = w B ．6 arg π = w C ．6 arg π - =w D ．3 arg π - =w 7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z z +=_ ，则a 2+b 2的值（ ） A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1 D ．大于1 8．设1 1z i = -+，则z 为（ ） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（ ） A. e 2+2x B. e |2i+2z| C. e 2+2z D. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（ ） A. e 2x B. e y C. e 2x cosy D. e 2x siny 11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 12. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 13 .下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4 D.π<<π2z arg 2 3 14.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 15.下列集合为有界单连通区域的是（ ） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1 D. π≤<πargz 2 1 16．下列集合为有界闭区域的是（ ） A ．0< arg (z+3)≤ 2 π B ．Re (z-i)<1 C ．1≤Imz ≤2 D ． 1≤||z i -≤4 第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 2 3 ∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A） 1．1 -i 一．填空题（每小题3 分，共计15 分） 的幅角是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1 ）；3.f (z) =1 +z 2 ， z - sin z f (5)(0) =（）； f (z) = 1 ， 4．z = 0 是 z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）； 二．选择题（每小题3 分，共计15 分） 1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）； （A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y； （C） f '(z) =u x +iv y ； （D） f '(z) =u y +iv x. 2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ． 3 ；（B）3(z -1) ；（C） 3(z -1) ；（D） 3 . （A） z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛，则级数在 n=1 （A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛； （C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点一定解析； 得分 e (B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ? C f (z )dz = 0 （C ） 如果 ? C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析； （D ） 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) ∞为sin 1 的可去奇点 z (B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1 z (D) 为 的孤立奇点. sin z 三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分） （1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求 a , b , c , d . z （2）．计算 ? C z (z - 1)2 d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ； 得分 《复变函数》期中试题本试卷共7道大题，满分100分 1.设f(x,y)是(0,0)∈R2=C邻域上关于实变量(x,y)二阶连续可导 的函数。用复变量z=x+iy和ˉz=x?iy及其相关的一阶、二阶偏导给出这一函数在z=0邻域上的Taylor展开。（20分） 2.证明复函数(x2+2y)+i(y?3x)不是复变量z=x+iy的解析函 数。构造一个尽可能简单地二阶多项式函数p(x,y)+iq(x,y)，使得(x2+2y)+i(y?3x)+p(x,y)+iq(x,y)是复变量z=x+iy不为常数的解析函数。（20分） 3.表述Cauchy定理（不证）。利用Cauchy定理证明解析函数的Cauchy 积分公式。（15分） 4.令D={x+iy|y>0}为上半平面，证明D到自身，并且将i∈D 映到i∈D的解析同胚全体构成的群可以用一个实参数来表示，给出群运算（同胚的复合与同胚的逆）与参数的关系。（15分） 5.(a)给出单位圆盘D(0,1)到上半平面D={x+iy|y>0}的所有解 析同胚映射。证明你的结论； (b)证明在这些同胚中，存在唯一的一个同胚f(z)，满足f(0)= i,f′(0)>0。（15分） 6.设D={z|1<|z|<2}为圆环，f(z)是D上的解析函数，证明f(z) 可以分解为f(z)=f1(z)+f2(z)的形式，其中f1(z)和f2(z)分别是圆盘D(0,2)={z||z|<2}和扩充复平面ˉC=C∪{∞}中取区域ˉC?D(0,1)上的解析函数。如果上面分解中要求f (0)=0，问这样 1 的分解是否是唯一的，为什么？（8分） 7.令D={z=x+iy||z|<1,y>0}为单位圆盘的上半部分，设f(z) 是D上解析，D上连续的函数，并且当z=x为实数时，f(z)也是实数。在单位圆盘D(0,1)上定义函数g(z)为：g(z)=f(z)，如果z=x+iy满足y≤0;g(z)=f(ˉz)，如果z=x+iy满足y<0，证明g(z)是单位圆盘D(0,1)上的解析函数（本题的结论如果直接引用定理，请给出定理的证明。证明中用到的其他定理只需表述，不需证明）（7分） (编辑：伏贵荣2017年4月，任课老师：谭小江) 复变函数 第四、五章 练习 一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。 （1）2ln n n i n ∞ =∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径： （1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支） 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达 式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--（3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 第一章习题解答 （一） 1 ．设z ，求z 及Arcz 。 解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 : 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 22 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是内接 于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= ] 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数（A） 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． 二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。 四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。 五．（8分）计算积分。 六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。 七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。 复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。 二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4 .34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ）《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
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