解一元一次方程(基础)知识讲解

解一元一次方程（基础）知识讲解

【学习目标】

1.了解一元一次方程及其相关概念，熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依

据；

2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；

3.会求解含字母系数的一元一次方程及含绝对值的一元一次方程.

【要点梳理】

要点一、一元一次方程的有关概念

只含有一个未知数（元），并且未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程.

要点诠释：

（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：

①是一个方程．②必须只含有一个未知数．③含有未知数的项的最高次数是1．④分母中不含有未知数．

（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是常数) .

（3）一元一次方程的最简形式是： ax＝b（其中a≠0，a,b是常数）.

要点二、解一元一次方程的一般步骤

要点诠释：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点三、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，然后再分类讨论：

(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-.

2.含字母的一元一次方程

此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a

=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】

类型一、一元一次方程的相关概念

1．已知方程①32x x -=

；②0.4x ＝11；③512

x x =-；④y 2

-4y ＝3；⑤t ＝0；⑥x+2y ＝1．其中是一元一次方程的个数是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 【答案】B

【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为①不是整式方程（分母中含有未知数）④未知数的次数为2，⑥含有两个未知数．所以①、④、⑥都不是一元一次方程． 【总结升华】3x 和2x 是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母，3x

不是整式，

2

x

是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程． 举一反三：

【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④1

51x

-=-． 【答案】 ①②

类型二、解较简单的一元一次方程

2．解下列方程 (1)3

45

m m -

=- (2)-5x+6+7x ＝1+2x-3+8x （3）()221107x x +=+ （4）()()32123x x -+=-

【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程． 【答案与解析】

解：(1)移项，得345

m m -+=-

合并，得

2

45

m =-

系数化为1，得m ＝-10

(2)移项，得-5x+7x-2x-8x ＝1-3-6

合并，得-8x ＝-8 系数化为1，得x ＝1

（3）去括号得：42107x x +=+ 移项合并得：65x -= 解得：56

x =-

（4）去括号得：32226x x --=- 移项合并得：47x -=-

解得： 7

4

x =

【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：

(1)去括号：去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．

（2）移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．

(3)合并：即通过合并将方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．

(4)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a ，即得方程的解b x a

=． 举一反三：

【变式】下列方程变形正确的是( )． A ．由2x-3＝-x-4，得2x+x ＝-4-3 B ．由x+3＝2-4x ，得5x ＝5 C ．由23

32

x -

=，得x ＝-1 D ．由3＝x-2，得-x ＝-2-3

【答案】D ．

类型三、解含分母的一元一次方程

3．解方程：

434343

1623

x x x +++++=． 【答案与解析】

解法1：去分母，得(4x+3)+3(4x+3)+2(4x+3)＝6， 去括号，得 4x+3+12x+9+8x+6＝6． 移项合并，得 24x ＝-12， 系数化为1，得 12

x =-

． 解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6(4x+3)＝6，即4x+3＝1， 移项，得 4x ＝-2， 系数化为1，得12

x =-

． 【总结升华】对于解法l ：(1)去分母时，“1”不要漏乘分母的最小公倍数“6”；(2)注意适时添括号3(4x+3)防止出现3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3”看作一个整体来解，最后

求x ． 举一反三：

【高清课堂：一元一次方程的解法388407 解含分母的一元一次方程】 【变式】

2251

1346

x x x -+--=- 【答案】解：去分母得：4(2)3(25)2(1)12x x x --+=--

去括号得： 486152212x x x ---=-- 合并同类项， 得：49x -= 系数化为1，得 94

x =-

． 类型四、解较复杂的一元一次方程

4．解方程：

0.170.210.70.03

x x --= 【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．

【答案与解析】 解：原方程可以化成：

101720173

x x

--=． 去分母，得： 30x-7(17-20x)＝21．

去括号、移项、合并同类项，得：170x ＝140． 系数化成1，得： 1417

x =

． 【总结升华】解此题的第一步是利用分数的基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，使分母化为整数，注意要与去分母时方程两边都乘以分母的最小公倍数区分开．

5. 解方程：112

[(1)](1)223

x x x -

-=- 【答案与解析】

解法1：先去小括号得：

11122()22233x x x -+=- 再去中括号得： 11122

24433

x x x -+=-

移项，合并得： 511

1212

x -=-

系数化为1，得： 11

5x =

解法2：两边均乘以2，去中括号得：14

(1)(1)23

x x x --=-

去小括号，并移项合并得： 511

66

x -=-，

解得： 11

5

x =

解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223

x x x

-+--=-

去中括号，得1112 (1)(1)(1) 2243

x x x

-+--=-

移项、合并，得

51

(1)

122

x

--=-

解得

11

5 x=

【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．

举一反三：

【变式】32

[(1)2]2 234

x

x

---=

【答案】

解：去中括号得：

3

(1)22 42

x

x

--?-=

去小括号，移项合并得：

3

6 4

x

-=

解得 x＝-8

类型五、解含绝对值的方程

6．解方程|x|-2＝0

【答案与解析】

解：原方程可化为：2

x=

当x≥0时，得x=2，

当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．

所以原方程的解是x＝2或x＝-2．

【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b

=的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意不要漏解．