高一数学试卷及答案

2019-2020学年高一周周练2

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题)

一、单选题

1．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（ ） A ．

43

B ．

916

C ．

34

D ．

169

2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）

A ．

2

B C

D

3．已知函数21

()44f x x x

=

-，则 ()f x 的大致图象是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知43==m n k ，且20+=≠m n mn ，则k =（ ） A ．18

B ．26

C ．36

D ．42

5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）

A ．

B ．

C

D ．6．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ

D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥

7．函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,∞+单调递增，则()20f x ->的解集为 A ．{}|22x x -<< B ．{|2x x >或 }2x <- C ．{}|04x x <<

D ．{|4x x >或}0x <

8．正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为（ ）

A ．

12

B ．

3 C ．

3 D ．

6 9．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=o ，A D ，分别是BF CE ，上的点，AD BC ∥，且22AB DE BC AF ===（如图①）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接

BE BF CE ，，（如图①）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）

①AC P 平面BEF ；

①B C E F ，，，四点不可能共面；

①若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ①平面BCE 与平面BEF 可能垂直. A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

10．如图，点为正方形的中心，

为正三角形，平面

平面

是线段

的中点，则（ ）

A ．，且直线是相交直线

B ．，且直线是相交直线

C ．

，且直线

是异面直线

D ．，且直线是异面直线

11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为11,,AB BC C D 的中点，点P 在平面ABCD 内，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则线段1D P 长的最小值是( )

A 32

B ．22

C ．23

D 6 12．()122ln

11x

x

x

f x x -+=-++-，若()()12f a f a ++>，则a 的范围（ ）. A ．1,2??

-

+∞ ???

B ．1,12??

-

???

C ．1,02??

-

???

D ．10,2?? ???

第II 卷（非选择题)

请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题

13．已知函数0.5()log (1)f x x =-______．

14．如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径23dm 放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm

15．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，其外接球的表面积为56π，PAB ?是

等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则a =______ .

16．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数且(1)2f =，当12[1,1]x x ∈-、，且120x x +≠时，有

1212

()()

0f x f x x x +>+，若2()25f x m am ≥--对所有[1,1]x ∈-、[1,1]a ∈-恒成立，则实数m 的

取值范围是________. 三、解答题 17．已知函数的定义域为集合，函数

的值域为集合．

（1）求，； （2）设集合

，若

，求实数的取值范围．

18．如图，在四棱锥P ABCD -中，223AB CD ==，2PD =，7PC =//CD

AB ，

PD BC ⊥，E ，F 分别为棱AB ，PB 的中点.

（1）证明：PD ⊥平面ABCD . （2）证明：平面//PAD 平面CEF .

19．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.

（1）把y 表示为x 的函数；

（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）

20．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，过点A 的三条棱PA 、AB 、AD 两两垂直且相等，E ，F 分别是AC ，PB 的中点．

（①）证明：EF//平面PCD ；

（①）求EF 与平面PAC 所成角的大小．

21．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC V 为等边三角形，

AB AC ⊥，D 是BC 的中点.

（1）证明：AC PD ⊥；

（2）若2AB AC ==，求D 到平面PAB 的距离.

22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平形四边形，设ABC θ∠=，PA ⊥平面

ABCD ，点M 为BC 的中点，且1AB =，PA AD ==

（1）若45θ=?，求二面角P BC A --的正切值；

（2）是否存在θ使PM BD ⊥，若存在求出θ，若不存在请说明理由．

高一 数学 周周练2参考答案

1．D 2．B 3．B 4．C

由题意得4log =m k ，3log =n k .又由2+=m n mn ，得

12

1+=m n

，所以log 42log 31k k +=，即log 361k =，解得36k =

5．A 6．B 7．D 8．C

如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与11B C 平行，则直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值即为11B C 与平面11A BC 所成角正弦值.因为11A BC ?为等边三角形，则1B 在平面11A BC 即为11A BC ?的中心，则11B C O ∠为11B C 与平面11A BC 所成角.可设正方体边长为1

，显然

BO

13

B O

，则111

110sin 3B B C O B C ∠==，故答案选C.

9．B 【详解】

①连接AC ，取AC 的中点O ，BE 的中点M ，连接,MO MF ，易证明四边形AOMF 是平行四边形，即AC FM ∥，所以AC P 平面BEF ，所以①正确；

①若B C E F ，，，四点共面，因为BC AD ∥，所以BC ∥平面ADEF ，可推出BC EF ∥，所以

AD EF P ，这与已知相矛盾，故B C E F ，，，四点不可能共面，所以①正确；

①连接CF DF ，，在梯形ADEF 中，易得EF FD ⊥，又EF CF ⊥，所以EF ⊥平面CDF

，

即CD EF ⊥，所以CD ⊥平面ADEF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ，所以①正确； ①延长AF 至G ，使得AF FG =，连接BG EG ，，易得平面BCE ⊥平面ABF ，过F 作

FN BG ⊥于N ，则FN ⊥平面BCE ，若平面BCE ⊥平面BEF ，则过F 作直线与平面BCE

垂直，其垂足在BE 上，前后矛盾，故①错误.综上所述，一共有1个说法错误.故选B. 10．B 如图所示， 作于，连接，过作

于．

连

，

平面

平面． 平面，

平面

，

平面

，

与

均为直角三角形．设正方形边长为2，易知

，

．

，故选B ．

11．D

解法一：如图，连接11,,AC D A D C ，

由,E F 分别为,AB CB 的中点可得EF AC P ， 所以EF P 平面1ACD ． 同理可得EG ∥平面1ACD ， 所以可得平面1ACD P 平面EFG ． 因为1D P 与平面EFG 没有公共点， 所以直线1D P P 平面EFG ， 所以点P 在直线AC 上，

所以当P 为AC 中点时，线段1D P 的长度最小，此时1min ()D P ==．

故选D ．

解法二：如图，连接1,D C AC ，

因为直线1D P 与平面EFG 没有公共点， 所以直线1D P P 平面EFG ．

延长EF ，与DC 的延长线交于点H ，连接GH ， 则1,D C GH AC EF P P ， 所以点P 在直线AC 上，

易得当P 为AC 中点时，线段1D P

的长度最小，此时1min ()D P ==．

故选D ． 12．C 【详解】

设1()22

ln

1x

x

x

g x x -+=-+-，则()()1f x g x =+ 1()22ln ()1x x x

g x g x x ---=-+=-+，()g x 为奇函数

12

()22ln 22ln(1)(11)11x x x x x g x x x x

--+=-+=-+--<<--

易知：2x ，2x --，2

ln(1)1x

--为增函数，故()g x 为增函数 ()()12f a f a ++>

即()()1112,()(1)g a g a g a g a ++++>>-+ 即()(1)g a g a >--

故111111

a a a a >--??-<

解得1

02a -<<

故答案选C 13．(1,2] . 【详解】

由题意，要使得函数()f x =0.5log (1)0

10x x -≥??->?

，

解得12x <≤，故函数定义域为(1,2].

14．

125

π

【详解】

作出相关图形，显然AH =,因此30ACH ∠=o

，因此放球前2

11

=3=33

V π

π??，球O

与边1A C 相切于点M ，故OM r =，则2OC r =，所以13CH r =，11A H ,所以放球后

)

2

321

=3=33

V r r π

π??，而12+=V V V 球，而34=3V r π球，解得12

=5

V π球.

15

．解：根据题意，画出示意图如图所示，

O 为四棱锥P ABCD -的外接球的球心，M 为AC 与BD 交点，过P 作PE AB ⊥交AB 与点

E ，过O 作ON PA ⊥交PA 与点N ，

则||||OA OP R ==， 设||OM h =，

① 外接球的表面积是56π，

2456R ππ∴=

得R =

在Rt OAM ?中，2

AM a =

= 2

2

142

a h ∴+=，

在Rt ONP ?中，

2

2144a h ?+-=????

，

联立以上两式解得a =

故答案为： 16．

【解析】 试题分析：

是定义在

上的奇函数，①当12[1,1]x x ∈-、，且

时，有

＞0等价为，①函数

在上单调递增．①

，①的最小值为

，要使对所有

、

恒成立，即

对所有

恒成立，

，，则满足，即

，①，即实数的取值范围是．

17．(1) 由得，解得，

所以

，

，

又，

，

．

(2)由(1)知

，即

所以实数的取值范围为

18． 证明：（1）因为3CD =

2PD =，7PC =222CD PD PC +=，由

//CD AB

所以PD DC ⊥.

因为PD BC ⊥，DC BC C =I ，所以PD ⊥平面ABCD . （2）因为E 为棱AB 的中点，所以1

2

AE AB =， 因为2AB CD =，所以AE CD =. 因为//CD AB ，所以//AE CD ，

所以四边形AECD 为平行四边形，所以//CE AD ，所以//CE 平面PAD . 因为E ，F 分别为棱AB ，PB 的中点，所以//EF PA ，所以//EF 平面PAD . 因为CE EF E =I ，CE ?平面CEF ，EF ?平面CEF ，所以平面//PAD 平面CEF .

19．（1）()()2140,4060150,60802

x x y x x ?-+≤≤?

=?-+<≤??（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元

时，该专卖店月利润最大

【详解】

（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，

①40606020a b a b +=??

+=?，解得2

140a b =-??=?

，

①当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1

502

y x =-

+． ①所求关系式为()()2140,4060150,6080.2

x x y x x ?-+≤≤?

=?-+<≤??

（2）设该店有职工m 名，

当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -?=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.

所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，

则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802

x x x S x x x ?-+-?-≤≤?

=???

-+-?-<≤ ???

?? ①当4060x ≤≤时，()2

25515000S x =--+， 所以x=55时，S 取最大值15000元； ①当6080x <≤时，()2

170150002

S x =-

-+， 所以x=70时，S 取最大值15000元；

故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元，

即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大． 20．（①）证明：如图，连接BD ，则E 是BD 的中点 又F 是PB 的中点，① EF//PD ，

① EF 不在平面PCD 内，① EF//平面PCD 。 （①）连接PE ，① ABCD 是正方形，①BD AC ⊥ 又PA ⊥平面ABC ，①PA BD ⊥。

①BD ⊥平面PAC ，故EPD ∠是PD 与平面PAC 所成的角， ①EF//PD ，①EF 与平面PAC 所成的角的大小等于EPD ∠ ①PA=AB=AD ，90PAD BAD ∠=∠=?， ①Rt PAD V ①Rt BAD V ，因此PD=BD 在Rt PED V 中，1

sin 2

ED EPD PD ∠=

=，30EPD ∠=?

①EF 与平面PAC 所成角的大小是30°。

21． 【详解】

（1）证明：取AC 中点E ，连接DE ，PE .

Q PAC V 为等边三角形，∴PE AC ⊥.

Q AB AC ⊥，D 是BC 的中点，E 为AC 中点，①ED AC ⊥.

又PE ED E =I ，AC ∴⊥平面PED .

∴AC PD ⊥

（2）方法一：取PA 中点M ，连接CM.

Q PAC V 为等边三角形，∴CM PA ⊥. Q 平面PAC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥， ∴AB ⊥平面PAC .AB CM ∴⊥.

又AB PA A ?=，CM ∴⊥平面PAB .

Q

2AC =，PAC V 为等边三角形，CM ∴= Q D 是BC 的中点，

∴D 到平面PAB 的距离的2倍等于C 到平面PAB 的距离.

∴D 到平面PAB 的距离为2

.

方法二：由平面PAC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥， 可得AB ⊥平面PAC ，则AB PA ⊥.

2AB AC ==，PAC V 为等边三角形，则1

22

PAB S PA AB =??=△.

D Q 是BC 的中点，1122

ABD AC

S AB ∴=??

=△.

点P 到平面ABC 的距离为PE =，设D 到平面PAB 的距离为d ，

由1133D PAB P ABD PAB ABD V V S d S PE --=?

?=?△△，解得d =.. 22． （1）连接AM ，因为ABCD 是平形四边形，

所以122

BM AD =

=

， 又1AB =，45θ=?

，由余弦定理得2

AM =

， 所以222AM BM AB +=所以90AMB ∠=?，即BC AM ⊥，

又因为PA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PA BC ⊥，PA AM ⊥，又

PA AM A ?=，

所以BC ⊥平面PAM ，因为PM ?平面PAM ，所以BC PM ⊥， 所以PMA ∠是二面角P BC A --的平面角，

在Rt PAM V

中，

2

2

PA

tan PMA AM

∠=

==，即二面角P BC A --的正切值为2． （2）假设存在θ，使PM BD ⊥，

因为PA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，故PA BD ⊥，PA PM P ?=，所以BD ⊥平面

PAM ，因为AM ?平面PAM ，所以BD AM ⊥．

设BD AM E ?=在平行四边形ABCD 中，AD BC P ，ADE MBE V V ∽， 所以

2AE DE AD

ME BE BM

===．

设EM x =，则2EA x =，由BD AM ⊥得()2

2

2

2

2

122x BE x ??-==- ?

???

解得216x =，故

6

x =

，

所以32AM x ==

，又1AB =，2

BM =所以有222AM AB BM =+，故90ABC ∠=?， 即存在90θ=?，使PM BD ⊥．