2019届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末数学试题

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2019 届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末数

学试题

试卷副标题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第 I 卷的文字说明

○_班○x2

2．双曲线x

4

A ．第一象

限

B ．第二象

限

C．第三象

限

D．第四象

限

评卷人得分

、单选

题

1．已知全集

A

1,2,3,4,5 ， B

2,4.,6

，

则

AI B

A．C

．

2,

4

D

．

2,4,

6

A．2x y 0 B ．x 2y 0 C

．

4x y

3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）则该几

何体的体积

A．3 B．6 C．9

D

．

单

位：

x 4y 0

cm

3）是（）

D．18

4．复数5

2i

i 为虚数单位）在复平面内对应

的点在（

5．函数y

ln

A．

1 sin2x 的图象可能

是（

线线

题号

一

二三总分

得分

1的渐近线方程

是（

考试范围： xxx ；考试时间： 100 分钟；命题

人： xxx

B ．

A ．充分不必要

条件

B．必要不充分条

件

D．即不充分也不必要条件

7．设 0 p 1 ，随机变量的分布列是

1 2

※

※

答P

p1p 1 订

※

※

内

※

2 2 2

14 B．

2

10．已知不等式 xe x a x 1 ln x 对任意

正数x恒成立，则实数a 的最大值是（

C．

D．

6．已知平面，，直线l 满足

l

，则“l ”是

“

”的（）

C．充要条件

则当p 在0,1 内增大时（）

A．E 减小，D 减小B．E 减小，D 增大

C．E 增大，D 减小D．E 增大，D 增大

8．已知ABC中，AC?BC ，D 、E 分别是AC 、BC的中点，沿直线DE 将C DE

反折成△C DE ，设C DA

1，

C EB

2，

面角C DE A 的平面角为

3，

C．2厖 1 D ．3厖 1

b

满足a 1，b v 2 ，若对于长度为2的任意向量c都有a

v

c

v

b

v

c

v

26 ，则

a v

b v的最小值为（）

※

线

※

※

订

※

※

装

※

※

在

※

※

要

※

※

不

※

※

请

※

※

C．26

2

A．

则

（

A

9

B ．1厖

已知向量a ，

第 II 卷（非选择题 ）

请点击修改第 II 卷的文字说明

11 ．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题： “今有女善织，日自倍，

五日织五

尺，问日织几何？ ”意思是：一名纺织女工，在五天时间内共织了五尺布，后一天的织 布量是前天的 2 倍，问每天的织布量分别是多少？若设第一天的织布量为

a 1 第五天织布

量为 a 5，则 a 1 __ ， a5 ____

yx

12．若 x, y 满足约束条件 x y 4，则z 2x y 的最小值为 __ ，最大值为 _

y2

13．已知 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a,b,c ，若a 4，c 2，B 60o

，

则 b ___， C ____

9

14．二项式 x 1

展开式中 x 3 项的系数是

x

f c

且 a b c ，则 a 2b c 的取值范围是

16．有 2 个不同的红球和 3 个不同的黄球，将这 5个球放入 4 个不同的盒子中，要求每 个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中， 则不同的放置方法有 ___________________________________________________________ 种.（用数字作答）

点，直线

F 2M

垂直于

OP

且交线段

F 1

P

于点 M ，若 F 1M 2 MP ，则该椭圆的离心 率的取值范围是

_________________ .

○○

B ．1

C

． 2

线线

15 ．已知函数 f x

x

e x

,x 0

，则不等式

x ≤ 1的解集为 _____

，若实数 a ， b ， c 满足 f a

2

x

17 ．已知椭圆

2

2

b y

2

1 a b 0 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，P 是椭圆上任意

外内 ○○

18．在ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，若a 4，c 2，B 60 ，则b ，C ．

2）求AD 与平面ABC所成的角的正切值

21．已知公差不为零的等差数列a n 中，a1 1，a1 , a2 ,a4成等比数列

1）求数列a n 的通项公式；

（ 2）若数列b n满足b1 1 ，b n 1 a，求证： 1 1 1 2 n 1.

n b

n b1 b2 b n ○○

评卷人得分

19．已知sin2 cos2 1）求tan 的值；

2）若角满足sin 2

12

13，求cos

的值.

20．已知四面体ABCD中，AB B C AC CD 2，AD 10 ，BCD 120 ，E ※ ※ 题※ ※ 答※ ※ 内※ ※ 线※ ※ 订※ ※ 装※ ※ 在※ ※ 要※ ※ 不※ ※ 请※ ※

为BC 中

1）求证：AE⊥平面BCD

22．已知F 是抛物线C:x22py p 0 的焦点，A是C上异于原点的点，过A 作C

的切线与C的准线l相交于点P，点B满足BP l，ABPl.

○○线线○○订

号

_考

订○

级

_班

○装

名

_姓

装

○校

学○

外内○○

1）求证：

FB∥AP ；

2）设直线FB 与抛物线C 相交于M ，N 两点，求VAMN 面积的取值范围

23 ．已知函数 f x x ae x 1 a R

1）讨论函数

y

2）试求函数

y

x 的单调性；

x 零点的个数，并证明你的

结论

参考答案

1．C

【解析】

【分析】由A与B ，求出两集合的交集即可．

【详解】

解：Q A {1，2，3，4，5}， B {2 ，4，6} ，

A B {2 ， 4} ．

故选： C．

【点睛】

本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．B

【解析】

【分析】

2

渐近线方程是x y2 0，整理后就得到双曲线的渐近线．

4

【详解】

2

解：双曲线x y2 1 ，

4

2

其渐近线方程是x y2 0 ，4

整理得x 2y 0 ．

故选： B．

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程，把双曲线的标准方程中的“ 1”转化成“ 0”即可求出渐近线方程．

3．D

【解析】

分析】首先由三视图还原出几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【详解】

解：根据几何体的三视图，该几何体为底面为等腰梯形，高为 3 的直四棱柱，故：V (1 3)?3?3 18．

1

2 故选： D．

【点睛】本题考查的知识要点：由三视图还原出几何体的直观图，棱柱的体积公式的应用，主要考查想象能力．

4．A

【解析】

【分析】

5

利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出在复平面上对应的点的坐标，则可求出

答

2i 案．

【详解】

5 5(2 i)

解：Q 2 i ，

2 i (2 i)(2 i)

5

复数在复平面内对应的点的坐标为：(2,1) ，在第一象限．

2i 故选： A ．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义．5．D

【解析】

【分析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用代入特殊值判断在的右侧函数值的符号，进行排除即可．【详解】

22

解：f ( x) ln(x2 1)sin( 2x) ln(x2 1)?sin2x f (x) ，

即函数 f (x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，

当x 时，则的右侧， sin2x 0，则f (x) 0，排除C，

故选： D．

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及特殊值法是解决本题的关键．

6．A

【解析】

【分析】

，是相交平面，直线l 平面，则

“ l ”，反之，直线

l 满足l ，则l 或l // 或l 平面

，即可判断出结

论．

【详解】

解：已知直线l 平面，则“ l

反之，直线l 满足l ，则l 或l // 或l 平面，

“ l”是“ ”的充分不必要条件．

故选： A.

【点睛】

本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理

能力与计算能力．

7．B

【解析】

【分析】

调性即可．

【详解】

根据题意计算随机变量的分布列和方差，再判断p在(0,1)内增大时，E( )、D( )的单

E( ) 0 p 1 1p 2 1 3 1

p，

2 2 2 2 2

方差是D( ) (0 31

p)

2p(

1

31

p

22 2 22

(2 3212 p)2

22

解：设 0 p 1 ，随机变量的分布列

是

1p

2

12 1 p p

4 4 1 2

5 (p 2)24 4

故选： B ． 【点睛】

本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力． 8．A 【解析】

【分析】 过C 作AB （或其延长线）的垂线，垂足为 H ，交 DE （或其延长线于

G ） ，找出二面角 C DE A 的平面角 3 ，连接C C ，在△ C GC ，△ C DC ，△ C EC 中，由已知结合 三角形的边角关系可得 C DC 剟 C EC CGC ，从而得到 1厖 2 3．

【详解】

解：过 C 作AB （或其延长线）的垂线，垂足为 H ，交 DE （或其延长线于 G ）， 则 CGH 为二面角 C DE A 的平面角为 3 ， 又 C DA 1 ， C EB 2 ，

连接 CC ，在△ CGC ，△ C DC ，△ C EC 中， QCC CC ，CD 厖CE CG ，C D 厖

CE CG ， 则 C DC 剟 C EC C GC ，

1

厖

2 3 ，

故选： A ．

当 p 在 （0,1） 内增大时， E （ ）减小， D （ ） 增大

点睛】

本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用．

本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力与思维能力． 9．B 解析】 分析】

由

(a

r

b)?c

r 剟a r ·c r

b ·

c 26 ，可求 a

r

26

，结合向量数量积的性质可求 a r

gb r

的

2

范围，然后由 |a |2 a

r 2

2

2a r

?b 即可求解．

详解】

解：

Q

(a r b)?c r 剟a r ·c r

26，|c r

| 2，

b,

26

，

a 2

2a?b

13 2

Q|a| ，|b| 2，

则

|a

故选： 3

，

4

|2 a

r 2

2a?b

5 2a r ?b

r ? 7 ，

2

的最小值为 14

，

2

B ．

点

10．B 【解析】 【分析】 分类参数，构造新的函数 g(x) ，求出零点，判断 g(x) 的单调性，求出 f (x)

的最小值，即 可求出 a ． x 0 时，不等式 xe x

a(x 1)

?lnx 可化为

a(x

x xe lnx ，

a,

x 1

f (x) x xe lnx ，其中 x 0 ，

x 1

(x 2 x 1)e x 1 1 lnx

f

2 x

(x 1)2

g(x ) (x

2 x 1)e x 1 1 lnx ，其中 x

0，

x

g (x) (x 1)[(x 2)e x x 1

2] 0恒成立，

x

gx 在 (0, ) 上单调递增，

详解】 1), 设 则 设 则 则 x 1)e x 1 解 (x 1)2e x 1 xe x

lnx ，

g(x) ) (x 2

1 lnx x xe x

lnx ，

令 g(x o

)

， 得 e xo x 1

， x

o 所以 f(x)在 (0,x o ) 单调递减，

(x o

，

) 单调递

增，

f min

f(x o )

x o e

x xo o

l 1nx o 1 x o 1 x o

1，

对任意正数 x

恒成立，即 a,

f (

x )

min

1，

故选： B ． 【点睛】 考查导数在求参数问题中的应用，判断函数的单调性，恒成立问题，参数分离法的应用等．

5

11． 31

【解析】 80 31

分析】

设这名女子第 n 天织布的尺数为 a n ，则{a n } 是公比 q= 2的等比数列， 由此利用等比

数列

的前 n

项和公式能求出结果． 【详解】 解：设这名女子第 n 天织布的尺数为

a n ， 则{a n } 是公比 q= 2的等比

数列，

5

由题意得 S5 a 1(1 2 )

5 ，

5 1 2

31 5 4 80 a

5 24

5

31

31

5 80

故答案

31 31

【点睛】

5 本题考查等比数列的首项的求法， 考查等比数列的性质等基础知识， 12． -

6 10 【解析】 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可． 【详解】 考查运算求解能力．

y, x

解：画出 x ， y 满足约束条件 x y, 4可行域， y ? 2 如图所示， A( 2, 2) ， B(6, 2) ， C(2,2) ，

可知目标函数过点 A( 2, 2) 时取得最小值，

z min 2 ( 2) ( 2) 6 ，

目标函数经过 B 时，取得最大值： 2 6 2

10 ，

本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及计算能力． 13． 2 3 30o

【解析】 【分析】

1

在 ABC 中，由余弦定理，可求得 b 2 3 ，再由正弦定理，求得 sinC ，根据 c

b ，

2

即 C B ，即可求解．

【详解】

在 ABC 中，因为 a 4，c 2， B 60o

，

点睛】

算与求解能力，属于基础题． 14． 9 解析】

由余弦定理可得 b 2

2 2 2

c 2 2ac cos B 42 22

2 4 2cos60 o

12 ，所以 b 2 3 ， 又由正弦定理可得

sin B

c

，即 sin C sin C

c sin B b

2sin 60o 23

1

，

2

又由 c b ，所以 C B ， 所以 C 30o

． 本题主要考查了正弦定理、 余弦定理的应用， 其中在解有关三角形的题目时， 要抓住题设条 件和利用某个定理的信息， 合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键， 着重考查了运

分析】

点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质． 15．

,2 ,2

【解析】 【分析】

分类讨论，即可求出不等式的解集，画出函数 f ( x) 的图象，如图所示，结合图象即可求出 答案． 【详解】

解：当 x, 0时， f (x) e x

, 1 e 0

，解得 x, 0， 当 x 0时， f ( x) x 1, 1，解得 0 x, 2 ， 综上所述，不等式 f (x), 1的解集为 ( ， 2］， 画出函数 f ( x) 的图象，如图所示，

Q f a f b f c ，且a b c ，

由图象

知，

a 0， 0

b 1，

由于 f a

e a

， f b 1

b ， 且 f a fb ，

a

e1 b ，即 b 1 e a

，

则有 a b 1 a e a

，

由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中 x 3项的系数． 详解】

19

解：二项式 ( x )9 展开式的通项公式为： x T

r 1

rr

C 9r ·( 1)r 令

9 3r

2 可得 r

3， 展开式中 1

x 3项的系数是 C 91

故答案为： 9．

由于x 0时，e x x 1，可知1 x e x 0 ，

而a 0 ，所

以a b 1 a e a 0，

即

：

a b 0，而b c 2 ，所

以ab

b c 2，

a 2

b

c 2.

故答案为： ( 2］

，

( ,2) .

点睛】

本题考查了分段函数，以及函数图象的应用，考查数形结合思想

16．144

【解析】

【分析】

由题意可得一个盒子里有 2个球，一定为 1红 1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得．

【详解】

解：这 5 个球放入 4 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，

则一个盒子里有 2个球，一定为 1红 1黄，其余盒子每个盒子放一个，

故有C14C21C31A33 144 种，

故答案为： 144.

【点睛】

本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键

可得 m(2c m) b 2

(1 2

m

2 a

)， 化为 2

c 2

2

m

2

2mc a

0，

17． 1

2,1 解析】

分析】 设 P(m,n)，|m| a ，又F 1( c,0) ，F 2(c,0) ，运用向量共线的坐标表示， 可得M 的坐标，

再由向量垂直的条件： 数量积为 0，由P 的坐标满足椭圆方程， 化简整理可得 m 的方程， 求

详解】

uuuuvuuuv 由

MF 2·OP 0 ，

化为 n 2

m(2c m) ， 由 P 在椭圆上，

uuuu uuuu MF 1 2PM

，

可得 ( c

x

M ，

y M ) 2( x M m ， y M n)

，

2 m c

，

2n

可得 M

)

3 3

uuur

uuuuv 2m c 2n 又 OP ( m,n) MF 2 (c ， )， 又

F 1( c,0) ，

F 2(c,0) ， |F 1M | 2|MP |， 得 m ，由 | m | a ，解不等式结合离心率公式即可得到范围．

解：设 P(m,n) ， | m| a ，

可得 m(c 2m c ) 2n 2

33

0，

可得 2

m 2 a

2

n b 2

1， 即有

b 2

(1 2 m

2

)，

a

22

解得m a a ，或m a a (舍去)，cc

2

由a a a ，

c

可得2c a ，

c1

即有e ，又0 e 1，

a2

1

可得1 e 1 ，

2

1 该椭圆的离心率的取值范围是( ,1)，

【点睛】

本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用向量的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为 0，考查椭圆的范围，以及化简整理的运算能力．

18．2 3 ，

6

【解析】

【分析】

由余弦定理直接进行计算即可得b 的值，根据正弦定理可求sin C ，结合大边对大角可求C 的值．

【详解】

解：Qa 4，c 2，B 60 ，

由余弦定理得：

2 2 2 1

b2 a2 c2 2ac cos B 16 4 2 4 2 20 8 12 ，

2