山东省济南市2021届高三上学期期末考试数学试卷
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2021年高中三年级学情诊断考试
数学试题
本试卷共6页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：锥体的体积公式：1
3
V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合2{|60}A x x x =--，{|10}B x x =-<，则A B =
A ．{|3}x x
B ．{|31}x x -<
C ．{|2
1}x x -<-
D ．{|2
1}x x -<
2．已知复数i
1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为
A ．11i 22-+
B ．11i 22--
C ．11i
22+ D ．11
i 22
-
3．已知直线l 过点(22)，，则“直线l 的方程为2y =”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有
A ．12种
B ．16种
C ．20种
D ．24种
5．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点E F ，分别在边BC CD ，上，且满足
BE EC =，2CD CF =，则||AE AF +=
A B ．3 C ．
D ．4
6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ?，空气的温度是0C θ?，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ?）满足公式010()e kt θθθθ-=+-（其中k 为常数）．现有52C ?的物体放在12C ?的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ?．则再经过4min 该物体的温度可冷却到
A ．12C ?
B ．14.5
C ?
C ．17C ?
D ． 22C ?
7．已知双曲线22
22:1(00)x y C a b a b
-=>>，的左、右顶点分别为A B ，，其中一条渐近线与以
线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为
A ．3
B ．2
C
D
8．已知函数()(1)e x f x a x x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取
值范围是 A ．313[)2e 4e -
，
B ．3232[
)4e 3e ，
C ．2
21[
)3e 2e ，
D ．11[
)2e 2
， 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：
下列说法正确的是 A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30 B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72
C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小
D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大
10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ??=+++（()f x 不恒为0），若()06
f π
=，则下列
说法一定正确的是 A ．()12
f x π
-
为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π
C ．()f x 在区间[]1212
π5π
-
，上单调递增
D ．()f x 在区间[02021]π，上有4042个零点
11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，点P 为线段1AD 上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线1
PB 平面1BC D
B ．三棱锥1P B
C
D -的体积为13
C ．三棱锥11
D BC D -外接球的表面积为
32
π
D ．直线1PB 与平面11BCC B 所成角的正弦值的最大值为
5 12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形
状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第1k +次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下
列说法正确的是
B 1
A 1
A
B
D
P
A ．217
32P = B ．117
232n n P P +=+
C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++-=-+
D ．对任意的i j +∈N ，且1i j n <，
11
111
()()(14)(14)22180n n i j
i j n
P P --<--=--∑ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知1
sin()63
απ+=，则5sin()6απ-的值为 _______．
14．若实数x y ，
满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为_______． 15．已知奇函数()f x 在(0)+∞，上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为
_______．
16．已知直线l 与抛物线28C y x =：
相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则PTQ △面积的最小值为_______；若||5TF =，则||PQ 的值为_______．（本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）
在平面四边形ABCD 中，25120AB BC ABC ==∠=，，
，AD =2ADC ACD ∠=∠，求ACD △的面积． 18．（12分）
已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()
n n n n b a a +=
?，②2n n n b a =?，③(1)n
n n b S =-?这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题． 若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，D 为BC 的中点，平面11BB C C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面1AC D 与平
1
A
面111A B C 的交线．
（1）证明：l ⊥平面11BB C C ；
（2）已知四边形11BB C C 为边长为2的菱形，且160B BC ∠=，求二面角1D AC C --的
余弦值．
20．（12分）
习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战．确保到2020年在我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．
经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案： 方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；
方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．
（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 21．（12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若折线|(0)y k x k =-≠与C 相交于A B ，两点(点A 在直线x 的右侧)，设
直线OA OB ，的斜率分别为12k k ，
，且212k k -=，求k 的值． 22．（12分）
已知函数()ln(1)f x a x x =-+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1
()e 1
x f x x --+对任意的(0+)x ∈∞，
恒成立，求实数a 的取值范围．