有关湖水温度的数学建模报告

前言

一、数学建模介绍

1. 什么是数学模型？

数学模型是指用数学语言描述了的实际事物或现象。它一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

2. 为什么要建立数学模型？

在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言－－因为他们普遍相信，自然是严格地演化着的，尽管控制演化的规律可以很复杂甚至是混沌的。因此，人们常对实际事物建立种种数学模型以期通过对该模型的考察来描述解释，预计或分析出与实际事物相关的规律。

二、数学建模应用

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。

三、数学建模的意义

随着科学技术的飞速发展，人们越来越认识到数学科学的重要性：数学的思考方式具有根本的重要性，数学为组织和构造知识提供了方法，将它用于技术时能使科学家和工程师生产出系统的、能复制的、且可以传播的知识……数学科学对于经济竞争是必不可少的，数学科学是一种关键性的、普遍的、可实行的技术。在当今高科技与计算机技术日新月异且日益普及的社会里，高新技术的发展离不开数学的支持，没有良好的数学素养已无法实现工程技术的创新与突破。

湖水温度变化问题

1 摘要

夏季湖水温度有明显的正温层现象，8月份最高达22．3℃，平均为16℃；水的下层温度较低，平均水温为9．5℃，最低为6℃．秋季因湖区多风而发生湖水搅动，使水温分层温度现象基本消失，冬季湖面结冰，湖水温度出现逆温层现象。特别近几年来全球变暖越来越严重，这对夏季时湖水的温度的变化也照成了一定的影响，使得湖水照成水文变化异常的现象，影响了河中生物的生存与繁衍。使得水层上下循环不畅，造成下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。论文利用数学建模理念和MATLAB软件对水温的变化与分布进行了分析和评论。

关键词：分层，多项式拟合，湖水温度，求导。

2 概述

2.1 问题重述

湖水在夏天会出现分层现象，其特点为接近湖面的水温度较高，越往下温度变低。这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。下面是某个湖的。观测数据

1．湖水在10m处的温度是多少？

2．湖水在什么深度温度变化最大？

2.2 基本假设

针对以上问题，对于湖水温度的模型可以做出如下的假设：

1.取同一时刻不同温度的水温，所以假设湖的温度不随时间变化。

2.水层之间的温度不相互影响。

3.湖水的温度与湖水内部的流动状态无关。

4.湖水地步平坦，无沟壑、无起伏。

5.湖水的深度决定了湖水的温度状况。

2.3 分析与建立模型

这道湖水温度变化模型问题主要研究的是湖水的温度会随这深度的不同而呈现出一定的规律。但模型中只给出了温度与深度相关的有限时间数据，由此想到可能要用到插值和多项拟合的方法来求解该模型。

假设湖水深度是温度的连续函数，其中一组统计数据为表所示：

表3—1为湖水观测数据

2.4 符号说明

h: 湖水深度,单位为m；

T: 在h下的湖水温度,单位为°C；

T=T(h)：湖水深度的函数；

e：温度的相对误差

2.5 模型求解

遇到这种数据表格问题，如果我们仅凭眼睛观察，很难看到其中的规律，也就更难写出有效的数学表达式从而建立数学模型。

将所给数据作图，运用MATLAB软件做出图形，分别用x,h代表湖水的深度，用y代表湖水温度，操作的命令为：

x=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2]

y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1]

A=polyfit(x,y,2)

Z=polyval(A,x)

plot(x,Z)

此时拟合出T=0.0091x2-0.7803x+24.5390 ，图表如下：

h=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2];

y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1];

A=polyfit(h,y,3)

Z=polyval(A,h)

plot(h,Z)

此时拟合出T=0.0027h3-0.1000h2+0.3277h+22.8764 图表如下：

通过比较这时的模拟值与真实值相差不大

1）当h=10时，T=18.8534

2）当导数处在最大值时温度变化最大

h=12.34时温度变化最大

3 结论

3.1 应用与推广

湖泊热量平衡指在一定时段内，湖水收入的热量与支出热量之差等于湖水蓄热变化量。一般可用下列热量平衡方程式表示：

Sc+Sa-Sl±Sk±Sz±S d+Sy-Sy'±Sx±Sz±Su-Su'+Sg±△S=0式中：Sc为湖水吸收的太阳短波辐射；Sa为湖水吸收的大气逆辐射；Sl为湖水长波辐射耗热量；Sk为湖水与大气交换的热量；Sz为蒸发耗热或凝结吸热；Sd为湖底与湖水的热交换量；Sy为支流或从水源带来的热量；S'y为地面径流和地下径流带走的热量；Sx为降雨带来的热量或降雪融化消耗的热量；S'z为被蒸发的水带走的热量或随水汽凝结而带入的热量；Su为湖水结冰放出的热量或融冰吸收的热量；S'u是随水流流进的冰块融化的耗热量；Sg为因机械能消耗而损失的热量；△S为湖水蓄热变量。而由生物化学过程发生的热量；由地球内部传给湖水的热量，以及由湖岸反射的总太阳辐射等由于数值太小，通常不予考虑。式中各项对

不同时期各种类型湖泊所起的作用差别很大，有的完全没有必要计算，根据对湖泊具体情况的分析研究，可使热量平衡方程式进一步简化。热平衡要素的单位，一般热量以卡、千卡计、热通量以卡/厘米22日、或卡/厘米22年计。采用水文气象学有关方法或经验公式可推求热量平衡各要素的数值。

湖温指湖水温度。是湖水和周围地理环境之间热交换的综合反映。太阳辐射、长波有效辐射、水面与大气的热交换、水面蒸发、湖底状况、补给水源、涡动、对流混合作用、湖泊的形态及其测量特征以及湖泊所在地理纬度等都是影响湖温及其变化的重要因素。湖水逆温层指湖温随水深增加而升高的分布形式。即湖水温度的垂直梯度为正值，上层温度低，下层水温高，但不高于4℃，这种分布，称为逆温层。呈逆温分布的湖水，稳定性较差，一旦增温即能引起涡动和混合。其分布多出现在寒带或高山、高原地区的湖泊。温带湖唯冬季时才呈逆温分布。湖水同温层湖温随水深增加而不发生升降的分布形式。即湖水水温垂直梯度等于零，上下层水温完全相同，称为同温层。在温带和寒温带的湖泊，这种分布多发生在春秋时期；寒带和高山地区的湖泊有的春夏两季也可出现短期的同温层。同温层的温度和出现时间，取决于气象条件、湖水下层的温度和水深。如果气象条件相同，湖水下层温度越高、水深越小，同温层就出现得越早，且温度较高。

3.2 模型优缺点

（1）运用统计学方法对湖水温度问题进行了模型的建立和求解，解决了一个实际问题，也是人们对水温有了进一步的了解。

（2）使用 Matlab软件对本问题进行了进一步的解答，使得所得结论方便快捷，又有很高准确度。

（3）由于天气变化早晚温差对水温的变化影响较大，而且各层水温之间也有相互影响，所以我们所得出的结果也有一定的局限性，但由于本人能力见识和知识有限，只能得出这一个结果，有一定的局限性。

3.3 心得体会

这学期学习了数学建模训练，使我感触良多：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。

数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。

通过学习数学建模训练，对我的收益不逊于以前所学的文化知识，使我终生难忘。而且，我觉得数学建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、

不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。

总之，“一份耕耘，一份收获”。作为一名数学专业的学生，我深刻地感到了自己在程序的编制和软件应用以及自学能力，有了很大的提高，并将对我今后的专业学习有很大的帮助。想到这里，我不由得被老师的良苦用心所感动，为我们创造了如此优越的学习条件，处处为学子着想。因此，在今后的学习中，我会保持这种学习的劲头，刻苦努力，争取以更优异的成绩。

4 参考文献

1. 符号计算系统Mathematica教程张韵华编著北京：科学出版社，2001

2. 数学建模实验周义仓，赫孝良编西安：西安交通大学出版社，1999

3. 数学建模案例分析白其峥主编北京：海洋出版社，2000

4.数学建模案例精选朱道元等编著北京：科学出版社，2003

5.数学建模导论陈理荣主编北京：北京邮电大学出版社，1999

6.数学建模：原理与方法蔡锁章主编北京：海洋出版社，2000

7.数学建模的理论与实践吴翊，吴孟达，成礼智编著长沙：国防科技大学出版社，1999

附录：

附录A水深与温度二次拟合程序

x=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2];

y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1] ;

A=polyfit(x,y,2);

A

Z=polyval(A,x);

Z

plot(x,Z) ;

xlabel('x'),ylabel('Z'),title('二次拟合曲线');

e=((abs(y)>1e-3).*abs(Z-y))./(y+eps) ;

e

A =

0.0091 -0.7803 24.5390

Z =

24.5390 22.7924 20.9339 18.1914 15.5558 13.3051 11.4393 10.0431

e =

0.0763 0.0003 0.0818 0.1169 0.1191 0.1372 0.0306 0.0952

附录B水深与温度三次拟合程序

h=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2];

y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1];

A=polyfit(h,y,3) ;

A

Z=polyval(A,h) ;

Z

plot(h,Z) ;

xlabel('h'),ylabel('Z'),title('三次拟合曲线');

e=((abs(y)>1e-3).*abs(Z-y))./(y+eps) ;

e

A =

0.0027 -0.1000 0.3277 22.8764

Z =

22.8764 23.1335 22.3949 19.5891 15.4637 11.7538 10.0204 11.5681

e =

0.0034 0.0146 0.0178 0.0491 0.1125 0.0046 0.0973 0.0422

附录C当h=10时，温度T

A =[0.0027 -0.1000 0.3277 22.8764];

h=10;

T=polyval(A,h);

T

T =

18.8534