石群自动控制原理(第8章部分)

第八章非线性控制系统分析

8-1 非线性控制系统的概述

8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响8-3 相平面法

8-4 描述函数法

8-5 非线性控制的逆系统方法

8-6 非线性控制系统设计

8-4 描述函数法

1940年，达尼尔(P.J.Daniel) 首先提出描述函数法。

基本思想：当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。

此时，非线性系统近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。

描述函数法主要用来分析在无外作用时，非线性系统的稳定性和自振荡问题，并且不受系统阶次限制。描述函数法对系统结构、非线性环节的特性和线性部分的性能都有一定的要求，故描述函数法是近似分析方法，应用该方法有一定的限制条件。

描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。

1. 描述函数的基本概念

⑴描述函数的定义

设非线性环节输入输出描述为，当非线性环节输入为时，可对非线性环节的稳态输出进行谐波分析。一般情况下，为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：

其中，

为直流分量；为第n 次谐波分量，且有：()y f x =()sin x t A t ω=()y t ()y t 0011()(cos sin )sin()

n n n n n n y t A A n t B n t A Y n t ωωω?∞∞

===++=++∑∑0A sin()n n Y n t ω?+22n n n Y A B =+arctan n n n

A B ?=

式中，

，为傅里叶系数，以下式描述：n A n B 201()cos n A y t n td t π

ωωπ=∫201()sin n B y t n td t

π

ωωπ=∫(1,2,)n ="200

1()2A y t d t π

ωπ=∫，直流分量：若且当时，

均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量：

00A =1n >n Y 1111()cos sin sin()

y t A t B t Y t ωωω?≈+=+上式表明，非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。

为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用表示：

()N A

例8-3 设继电特性为试计算该非线性特性的描述函数。

解：1()111()()j j N A Y B jA N A N A e

e A A ?∠+===描述函数为：

, 0() , 0

M x y x M x ??()sin x t A t

ω= , 0(), 2M t y t M t ωππωπ<

1()[]022M A y t d t d t d t π

πππωωωππ==?=∫∫∫

20[sin sin ]0M u u ππππ=?=2210014()sin [cos cos ]M M B y t td t u u π

ππ

πωωπππ

==?+=∫114()B jA M N A A A

π+==()sin x t A t ω= , 0(), 2M t y t M t ωππωπ

<

π==?∫∫∫一般情况下，描述函数N 是输入信号幅值A 和频率的函数。

继电特性描述函数：ω

当非线性环节中不包含储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位与无关，故描述函数只与输入信号幅值A 有关。

情况1/3 ：对于直流分量，若非线性环节的正弦响应为关于t 的奇对称函数，即f(-x)= -f(x)

ω0A ()(sin )()y t f A t y t πωω

==?+2200

011()[()()]22A y t d t y t d t y t d t π

πππωωωππ==+∫∫∫t u ωωπ

=+0001[()()]2A y t d t y u d u πππωωπω

=++∫∫001[()()]02y t d t y u d u ππωωπ=+?=∫∫取变换：

当非线性特性为输入x 的奇函数时，即,则：()()f x f x ?=?()[sin ()][sin()]y t f A t f A t ππωπωωω

+=+=+[sin ]()()()

f A t f x f x y t ω=?=?=?=?()y t 1B 1A 102()sin B y t td t πωωπ=∫10

2()cos A y t td t πωωπ=∫()y t ()()y t y t =??即为t 的奇对称函数，直流分量为0。计算、

：0A 情况2/3 ：若为奇函数，即，计算描

述函数。21011()cos ()cos A y t td t y t td t πππ

ωωωωππ?==∫∫0

01[()cos ()cos ]y t td t y t td t π

π

ωωωωπ?=+∫∫001[()cos()()cos ]0y t t d t y t td t ππωωωωπ=??+=∫∫10A =

情况3/3 ：若为奇函数，且为半周期对称，即

()()y t y t πω=?2

104()sin B y t td t

π

ωωπ=∫()y t ，则10A =例8-4 设某非线性元件的特性为试计算其描述函数。

解：因为为的奇函数，则。

3

11()24y x x x =+()y x x 00A =()sin x t A t

ω=33()sin sin 24A A y t t t ωω=+t 10

A =2104()sin

B y t td t πωωπ=

∫3242

20

04[sin sin ]24A A td t td t ππωωωωπ=+∫∫()y t 为的奇函数，且半周期对称，则：

由定积分重要结论：

20(1)(3)42 21(2)(4)531sin (1)(3)531 2(2)(4)422

n n n n n k n n n I td t n n n k n n n πωωπ??××?=+???×××?==???×××?=???××?∫""""331433[]24482

216A A A B A πππ=+=+2113()216B N A A A ==+3

242

21004[sin sin ]24A A B td t td t π

πωωωωπ=+∫∫得则该非线性元件描述函数为

00A =()()f x f x ?=?()

y x x t ()()y t y t πω+=?⑵非线性系统描述函数法分析的应用条件

①非线性系统简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环连接，典型结构如图8-36所示。

②非线性环节的输

入输出特性是的奇函数。

即，或在正弦输入下的输出为的奇对称函数，即，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即。

③系统线性部分应具有较好的低通滤波性能。输入为正弦信号时，非线性环节输出中的高次谐波分量，经过线性部分后，由于其低通滤波作用而大大削弱。因此闭环通道内近似地只有一次谐波分量流通，从而保证

应用描述函数分析方法所得结果比较准确。

对于实际非线性系统，很容易满足这个条件。线性部分阶次越高，低通滤波性能越好；而欲具有低通滤波性能，线性部分的极点应位于复平面的左半平面。⑶描述函数的物理意义

线性系统频率特性反映正弦信号作用下，系统稳态输出中与输入同频率分量的幅值和相位相对于输入信号的变化。

非线性环节描述函数反映非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化。

因此，忽略高次谐波分量，仅考虑基波分量，非线性环节描述函数表现为复数增益的放大器。

注意：线性系统频率特性是输入正弦信号频率的函数，与正弦信号幅值无关。由描述函数表示的非线性环节的近似频率特性则是输入正弦信号幅值的函数，因而描述函数可表现为输入正弦信号幅值的复变增益放大器，这是线性与非线性频率特性的本质区别。

当非线性环节频率特性由描述函数近似表示后，就可以推广应用频率法分析非线性系统运动性质。

2. 典型非线性特性的描述函数

典型非线性特性具有分段线性特点，描述函数计算重点是确定正弦响应曲线和积分区间，一般采用图解法。

ωA A A ()()()G j A ωω?ω=∠1111()j Y B jA N A e A A

?+==

⑴死区饱和非线性环节

输入：非线性特性：输出：()x t ()y x ()

y t (,())y ΔΔ(,())a y a ()y t t

ω1?2

?

输出的数学表达式：

11220 0()(sin ) () 2t y t K A t t K a t ω?ω?ω??ωπ≤≤??=?Δ<≤???Δ<≤?

1arcsin A

?Δ=2arcsin a A ?=

因奇函数，

；因奇函数且半周期对称：11220 0()(sin ) () 2t y t K A t t K a t ω?ω?ω??ωπ≤≤??=?Δ<≤???Δ<≤?1arcsin A ?Δ=2arcsin a A

?=00A =10A =22100

14()sin ()sin B y t td t y t td t ππωωωωππ==∫∫()y t 212

24[[(sin )]sin ()sin ]K A t td t K a td t ?π??ωωωωωπ=?Δ+?Δ∫∫212224[(sin sin )()sin ]K

A t t d t a td t ?π??ωωωωωπ

=?Δ+?Δ∫∫221122

41[(sin 2)cos ()cos ]

24K t A t t a t ??π???ωωωωπ=?+Δ??Δ()y x

21212124[()sin 2sin 2cos cos ()cos ]2

44K A A A a ???????π=??++Δ?Δ+?Δ24[arcsin arcsin 1()222K A a A A a a A A A A πΔ=???2221()1()1()]2A a a A

A A A ΔΔΔ+?+??Δ?222[arcsin arcsin 1()1()]KA

a a a A A A A A A πΔΔΔ=?+???222()[arcsin arcsin 1()1()], K

a a a N A A a A A A A A A πΔΔΔ=?+???≥续22112241[(sin 2)cos ()cos ]24K t A t t a t ??π???ωωωωπ=?+Δ??Δ快乐的坚持！

取时，得饱和特性的描述函数为：

去掉死区，

留下饱和！

0Δ=22()[arcsin 1()], K a a a N A A a A A A π

=+?≥222()[arcsin arcsin 1()1()], K

a a a N A A a A A A A A A πΔΔΔ=?+???≥

取，即时，得死区特性的描述函数为：去掉饱和，

留下死区！

22π

?=1a A

=22()[arcsin 1()], 2K N A A A A A ππΔΔΔ=???≥Δ222()[arcsin arcsin 1()1()], K

a a a N A A a A A A A A A πΔΔΔ=?+???≥

⑵死区与滞环继电非线性环节注意分析滞

环与输入信号

及其变化率的

关系，通过作

图法，得输出

如图8-38，及

表达式为：

11220 0() 0 t y t M t t ω??ω??ωπ≤

1arcsin h A ?=2arcsin mh A

?π=?