高考解析几何压轴题精选

1.设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为

_____________。（3分）

2 .已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.（6分）

3已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。

（I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（II）如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。（8分）

4.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（7分）

5.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M 、，其中m>0,。 （1）设动点P 满足,求点P 的轨迹； （2）设，求点T 的坐标；

（3）设,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。（6分）

6．如图，设抛物线2

:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.

（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.（6分）

7．设A 、B 是椭圆λ=+2

2

3y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）（6分）

8．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．（6分）

9．设F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形PF 1F 2的面积等于______________．（3分） 10．在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当取最大值时，点P 的横坐标为___________________。（3分） 11．若正方形ABCD 的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为 .（3分） 12．已知：和：。试问：当且仅当a ,b 满足什么条件时，对任意一点P ，均存在以P 为顶点、与外切、与内接的平行四边形？并证明你的结论。（4分）

13． 设曲线C 1:(a 为正常数)与C 2:y 2

=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P 。 （1）实数m 的取值范围（用a 表示）；

（2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0

14．已知点和抛物线上两点使得，求点的纵坐标的取值范围．（4分）

15．一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．（6分）

16．（04，14）在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k 的取值范围。（5分）

17．过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.（6分）

18．参数方程练习题（13分）

1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）。

A.???

+==1

22

2

t y t x B. ???+=-=1412t y t x C. ???-=-=121t y t x D. ???+==1sin 2sin θθy x 2.方程?????

=+=2

1y t t x 表示的曲线是（ ）。 A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分

3.参数方程???+-=+=θ

θ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。

A.042=+-y x

B. 042=-+y x

C. 042=+-y x ]3,2[∈x

D. 042=-+y x ]3,2[∈x 4.直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。 A.43-

≤k B. 4

3

-≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k

5.圆的方程为???+=+-=θθsin 23cos 21y x ，直线的方程为?

??-=-=161

2t y t x ，则直线与圆的位置关系是

（ ）。

A.过圆心

B.相交而不过圆心

C.相切

D.相离

6.参数方程??

???

-==1

112

t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。

7.曲线C ：??

?+-==θ

θ

sin 1cos y x （θ为参数）的普通方程为 ；如果曲线C 与直线0=++a y x 有公共点，那么实数a 的取值范围为 。

8．（2011广东）已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ?=?≤

??==t

y t x 245(t R ∈)，

它们的交点坐标为 。

9．已知x 、y 满足4)2()1(2

2

=++-y x ，求y x S -=3的最大值和最小值。

答案：1. 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为，B 点坐标为（）

所以点B 到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题 2.（Ⅰ）解：因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。 （Ⅱ）解：设。 由，消去得 则由，知，且有。

由于，故为的中点，由，可知设是的中点，则，由题意可知即而 所以 即又因为且所以。所以的取值范围是。

3．【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。

4．5.（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。

由，得 化简得。

故所求点P 的轨迹为直线。

（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M （2，）、N （，）

直线MTA 方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：， 所以点T 的坐标为。 （3）点T 的坐标为

直线MTA 方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，

解得：、。（方法一）当时，直线MN 方程为： 令，解得：。此时必过点D （1，0）；当时，直线MN 方程为：，与x 轴交点为D （1，0）。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

6．（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，

∴切线AP 的方程为：;022

00=--x y x x

切线BP 的方程为：;022

11=--x y x x 解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10，

,3

43)(332

1021010212

010p

P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

).24(3

1

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即

（2）方法1：因为).4

1,(),41,2(

),41,(2

1110102

00-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在抛物线外，则.0||≠

∴||41)1)(1(||||cos 102

010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +

=--+?+==

∠

同理有41)1)(1(cos 102

110110x x x x x x x x BFP +

=--+?+==

∠ ∴∠AFP=∠PFB.

7．（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，

整理得 .0)3()3(2)3(2

2

2

=--+--+λk x k k x k ①

设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([42

2

>--+=?k k λ ② 且,3

)

3(22

21+-=

+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得

.3)3(,12

22

1+=-∴=+k k k x x

解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有

.0))(())((33212121212

2222121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λ

λ 依题意，.)

(3,2

12121y y x x k x x AB ++-

=∴≠

∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,123132

2

=+?>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）.

直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.

（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，

代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x

又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).2

3

,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=

-=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1

(1||432

-=

-?-+=λx x k

CD ④

将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842

=-+-λx x ⑤

同理可得 .)12(2||1||212-=-?+=λx x k AB ⑥

∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->

-λλ

假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.

点M 到直线AB 的距离为 .22

32

|

42321|2|4|00

=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

.|2

|2321229|2|

||||2

2222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2|

|CD 为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）

A 、

B 、

C 、

D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角?|AN|2

=|CN|·|DN|，

即 ).2

|

|)(2||()2||(

2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,2

12

-=λ

由④和⑦知，⑧式右边,2

12

2923)2232)3(2)(2232)3(2(

-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,

∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得

.04442=-++λx x ③

将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得

.016842=-+-λx x ⑤

解③和⑤式可得 .2

3

1,21224,32,1-±-=-±=

λλx x

不妨设)2

33,2

31(),2

33,2

31(),122

13,122

11(-+-+---------+λλλλλλD C A

∴)2

1233,23123(

---+-+-+=λλλλCA

)2

12

33,23123(

-------+=λλλλ

计算可得0=?，∴A 在以CD 为直径的圆上.

又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）

8．解：(Ⅰ)设椭圆方程为()22

2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则

(

)2

1112

222

22

,224

2,1 1.

43

a MA a A F a c

c

a a a c c a a

b

c a b c x y =-=-?-=-???

=??=+???∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设

00112212110211221200012121235

0,

2

2tan 115tan y y

PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π

=-

=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠Q 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。

当=取到最大值，此时最大，故的最大值为

o 9.

10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a 、2b 、2c ，则由其方程知a ＝3，b ＝2，c ＝，故，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又已知[PF 1|：|PF 2|＝2：1，故可得|PF l |＝4，|PF 2|＝2．在△

PF l F 2中，三边之长分别为2，4，2，而22＋42＝(2)2，可见△PF l F 2是直角三角形，且两直角

边的长为2和4，故△PF l F 2的面积＝4．

11. 解：经过M 、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3－x 上，设圆心为 S （a ，3－a ），则圆S 的方程为：

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M ，N ，P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足解得 a=1或a=－7。

即对应的切点分别为，而过点M ，N ，的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以，故点P （1，0）为所求，所以点P 的横坐标为1。

12.解：设正方形的边AB 在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD 所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得

令正方形边长为则①

在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.

①、②联立解得或

13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为------（1）

显知此平行四边形ABCD必为菱形，设A，则B

代入（1）式相加：

由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1，

∴，从而，∴

14. 解：(1)由消去y得：①

设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．

只需讨论以下三种情况：

1°△＝0得：，此时x p＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；

2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；

3°f (－a)＝0得m＝a，此时x p＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．

f (a)＝0得m＝－a，此时x p＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．

综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a；

当a≥1时，－a＜m＜a．

(2)△OAP的面积

∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a，

由唯一性得

显然当m＝a时，x p取值最小．由于x p＞0，从而y p＝取值最大，此时，∴．

当时，x p＝－a2，y p＝，此时．

下面比较与的大小：

令，得

故当0＜a≤时，≤，此时．

当时，，此时．

15.解：设点坐标为，点坐标为．

显然，故

由于，所以

从而，消去，注意到得：

由解得：或．

当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足是题意．故点的纵坐标的取值范围是或．16.解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，⊙O上点A/()与点A重合，而折痕为直线MN，则MN为线段AA/的中垂线．设P(x，y)为MN 上任一点，则｜PA/｜＝｜PA｜5分

∴

即10分

∴

可得：

∴≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分

平方后可化为≥1，

即所求点的集合为椭圆圆＝1外(含边界)的部分．20分

17. 解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为

圆S：

（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分

圆S：①

与双曲线T：②

因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为

③

（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分

（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。

故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。

情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得

该方程有唯一实数解的充要条件是④

或⑤

解方程④得，解方程⑤得。

综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。

18.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点.

设、、、，则由知，

得

∴EF所在直线方程为：

化简得…①

当时，直线CD的方程为：…②

联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为：

当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴

∴所求轨迹方程为

解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点.

令则因为CD为的中线，

而是的重心.

设因点C异于A，则故重心P的坐标为

消去得

故所求轨迹方程为

（编号有误）

18.参数方程1-6：CBDABD

7．1)1(2

2=++y x ； 2121+≤≤-a 。8. (1,

9．解：由4)2()1(2

2

=++-y x 可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。令

θcos 21+=x θsin 22+-=y ，则

)sin(1025sin 2cos 65)sin 22()cos 21(33?θθθθθ++=-+=+--+=-=y x S

其中32

6

tan -=-=

?∴当1)sin(=+?θ时，S 有最大值，为1025max +=S 当1)sin(-=+?θ时，S 有最小值，为1025min -=S ∴S 最大值为1025max +=S ；S 最小值为1025min -=S 。