第9章信号分析与处理及其应用
第九章 信号分析与处理及其应用
§9-1 概述
信号分析通常是指分析信号的类别、构成以及特征参数，主要涉及信号的表示和性质。本书的第三章（信号及其描述）即属于信号分析的内容。信号分析中的一个最基本的方法是：
把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析。信号的处理是指对信号进行某种加工变换或运算，如滤波、变换、调制/解调、增强、压缩、估计、识别等加工处理。广义的信号处理也把信号分析包括在内。
信号分析方法有两大类：模拟量分析法（计算机时代以前用的多） 数字量分析法（计算机时代以来广泛采用）
20世纪信号分析领域最重大的进展：FFT(1965年)；小波分析。 FFT 是1965年由美国人库利和图基提出的DFT 的巧妙的快速算法。
§9-2 离散傅里叶变换（DFT ）
一． 卷积定理
卷积：
τττd t f f t f t f )()()()(2121-=
*?
∞
∞
-
可证明：
)()()()(1221t f t f t f t f *=*
所谓卷积定理，指的是： 设 则有
乘法器
积分器
IFT
FT )(1t f )
(1f F IFT
FT
)(2t f
)(2f F
IFT
FT
)()(21t f t f ?
)
()(21f F f F *
二． 离散傅里叶变换的推导
推导图解见P225图9-2.
参看周期函数的复指数形式的傅里叶级数展开，
dt
e
t x T C t
jn T n 00
)(1ω-?
=
001
1
021000
1()1()122()(2)
s
s
N jn kT s
k s N jn kT k nk N j
N
k s
x k e
T N T x k e
N x k e
f N
T N T ωωπππωπ--=--=--=→
=
=
==
=
∑∑
∑
N
nk
j N k N
nk j
N
nk j
n t jn n e e
k x N
k x e C k x e
C t x πππω21
22)(1)()
()()()(0∑
∑∑∑??
????=
==-=-离散时间表达式
连续时间表达式
有（DFT ）：
)59()()(1
2-=
∑-=-N k N
nk j e
k x n X π
IDFT ：
)69()(1)(1
2-=
∑-=N n N
nk j
e
n X N
k x π
IFT
FT
)()(21t f t f *
)
()(21f F f F ?
T s 为时域采样间隔；f 0为频率分辨力，f 0=1/ T 0 ；T 0为时域截断长度，T 0=NT s 。信号被截断后再延拓为周期函数，周期为T 0。
x(k)表示在离散时间点t=kT s 处的采样值，即x(k)=x(kT s ), k=0,1,2,…(N -1)。k 为时域离散值的序列号。
X(n)表示在离散频率点f=nf 0处的采样值，即X(n)=X(nf 0), n=0,1,2,…(N -1)。n 为频域离散值的序列号。
DFT 对（式（9-5）和（9-6））可写成如下形式：
)109()
1,...,2,1,0()()(1
--==
∑-=N n W
k x n X N k nk
N
)119()
1,...,2,1,0()(1)(1
--==
∑-=-N k W
n X N
k x N n nk N
式中
N
j N e
W /2π-=
式（9-10）的含义是：N 个时域点与N 个频域点相对应，每一频域点都要有N 个时域点来求得。
DFT 对（式（9-10）和（9-11））也可写成矩阵表示式。
三． 离散傅里叶变换的几个重要问题
1.采样定理：对于带宽有限(频谱变化范围为0~f m )的连续信号进行采样，只有当采样频率2s m f f ≥时，才不会在频率域产生混叠现象，才可在采样处理后仍有可能恢复其原信号波形。
2．信号经时域截断相当于乘以“矩形窗”，在频域上产生“泄漏”效应。采用适当的“窗函数”代替简单的“矩形窗”可使“泄漏”减少。
3．时域的采样间隔决定了频域分析的频带宽度，即
m s
s f T f 21≥=
时域截断长度决定了频域分析的谱线间隔——频率分辨力，即
s
NT T f 110
0=
=
4．为了用FFT 法计算DFT,一般N 取2的整数次方。
5．保持其它参数不变，增加采样点数N 可提高频率分辨力。s
NT f 10=
6.由于采样、截断等固有特点，一般信号经DFT 得到的频谱只能是“估计值”。存在着“混叠”、“泄漏”、“栅栏”等效应引起的误差。对随机信号而言，还存在着用“样本”去估
计“总体”而必然存在的统计误差。
*本章的9-3，9-4，9-5节对检测技术、测试技术、信号分析与处理等专业人员来说很重要，是用计算机作数字信号处理和编程的基础，请对本学科感兴趣的同学参照第三章（信号及其描述）的知识和“信号分析与处理”或“数字信号分析与处理”类参考书进一步自学。
§9-3 快速傅里叶变换（FFT ）
DFT 方法计算量太大，限制了应用。直到1965年，美国的Cooly 和Turkey 提出了一种快速计算DFT 的算法。例如：由N 个k x 计算出N 个n X ,当N=1024时，DFT 的复数乘法次数约为105万次，Cooly 和Turkey 的复数乘法次数5120次，仅为DFT 的1/200。人们称这种快速算法为快速傅里叶变换（FFT ）。算法中，规定N 取2的整数次幂，因此也称基2型FFT 。
目前实现FFT 主要有软件和硬件两种方法。FFT 是功率谱、互谱、频率响应函数、相干函数等经典频域分析和许多相关分析方法的基础。
FFT 的参数选择:
对一个连续信号作FFT ，一般按以下步骤选取参数：
（1）估计()x t 的截止频率m f 或按所需的最高频率对()x t 作低通滤波。
（2）估计所需的频率分辨率1f ?。由FFT 得到的是离散频谱， 相邻两谱线间的频率间隔f ?（即上节的频率分辨率0f ）必须小于1f ?，才能分辨出()x t 中相邻的两频率峰值。
（3）由采样定理（2s m f f ≥或12s m
T f ≤
）确定采样频率s f 或采样间隔s T 。
（4）由1s
N f T =??确定()x t 的一个样本的最小采样点数（11s
s
f N N T f T ?=
?=
???，
最小采样长度0s T N T =?）。计算式中，s T 为采样周期，f ?为频率分辨率。
（5）对基2型FFT （关于基2型FFT ，请看参考书），按2的整数次幂(2m >N)圆整采样点数N ，使N=2m 。
（6）选取适当的窗函数。
为了减少或抑制泄漏，需要用各种不同的窗函数（如矩形窗、汉宁（Hanning ）窗、汉明(Hamming)窗、三角窗等）对时域信号进行加权处理。
总结：
1.若难以估计()x t 的截止频率m f 及所需的频率分辨率1f ?，可用较小的采样间隔s T 及较大的采样长度,先作FFT ，按作出的FFT 再修正f ?及N 。
2.若()x t 长度不够采N 点数据，可在k x 后加零补足N 点。
3.有一种细化（Zoom ）FFT 计算方法，可在完成FFT 计算后，再将感兴趣的频段局部放大，增加该局部频段内的谱线数，提高频率分辨率。
复习提纲
9-4 基于FFT 的谱分析方法
实际的测试信号多为实函数。对实时序k x ，其n X 对称于s T 这条谱线（s T 为时间域采样间隔）。若只作谱分析（即不用n X 的结果作FFT 逆变换），仅需取N 条离散谱线的前一半即可。如N=1024个k x ，其各类谱值的谱线数仅为512根，即k=0，1，…，
12N -。
本节将讨论以下几种最常用的谱分析方法：
一、确定性信号的傅里叶谱
由21
nk N j
N
n k
k X x
e
π--==
∑可知确定性信号的傅里叶谱n X 是复数，可以表示为如下几种
形式：
1．实频特性与虚频特性
将n X 写成R e()Im()n n n X X j X =+的形式，有实频谱与虚频谱。 2．幅频特性与相频特性
将n X 写成n
j n n X A e φ=的形式。式中n A 和n φ分别为n X 的幅值与相位。
3. 极坐标形式
将n X 视为极坐标中的一矢量，用该矢量端点随频率f 变化的轨迹来表示n X 。该轨迹上各点综合反映了n X 的实频、虚频和幅频、相频信息。
二、随机信号的自功率谱密度分析
自功率谱密度函数()x G f 是随机信号()x t 在频域统计特性的一种描述。FFT 只能取有限长的k x 来计算 ，因此.x n G 只是()x G f 的估计。对()x t 的一段子样k x ，其功率密度函数的估计值： 2
*
.22,1,2,,
12
x n n n n s
s
N G X X X n NT NT =
=
=???-
——式中*n n X X 为的共轭复数。
由单个子样k x 所得.x n G 估计的随机误差为100%，这是不容许的。为减少估计的随机误差，可用多段采样平滑的方法，该方法在()x t 上取q 个等长子样，分别对每段子样计算，得各..x n q G ，再相加后作平均，
平均后的随机误差1/ε=对某些要求较高的功率谱密度分析，子样数q 需上百个。
三、互谱密度分析和频率特性分析
对采样长度N 和采样间隔s T 都相同的两子样k x 和k y ，它们的互谱
*
.2,
1,2,,1xy n n n s
G X Y n N N T =
=???-
当k x 为输入，k y 为输出时，其频率特性
../,
1,2,,1n xy n x n H G G n N ==???-
若k x 和k y 是随机信号，.x n G 和.xy n G 均应是多段子样平滑后的估计值，因此n H 也是多段子样平滑后的估计值。
.xy n G 和n H 都是复函数，故也可用实频与虚频、幅频与相频来表示。
四、相干函数分析
相干函数亦称凝聚函数。对采样长度N 和采样间隔s T 都相同的两子样k x 和k y ，其中k
x 为输入，k y 为输出，其相干函数
2
.2...,1,2,,
12
xy n
xy n
x n y n
G N n G G γ
=
=???-
2
.xy n γ值表示在f n f =??这一频率上，k y 对k x 的线性相关程度。
在n f ??频率分量上: 若k y 完全由k x 所引起，则2
.1xy n γ= 若k y 与k x 完全线性无关，则2.0xy n γ= 若k y 部分由k x 所致，则2.01xy n γ<<
相干函数必须用多段采样平滑计算，否则，2
.xy n γ将全都为1
(参考：Wuyan)
9-5 相关分析和谱分析的工程应用
相关分析和谱分析是当前工程测试中最广泛使用的工具之一，本节简要介绍它们在机电工程中的一些应用。
一、相关分析及其应用
1．相关函数的数字估计
相关函数的数字估计有两种方法，一种是按样本的时间序列直接计算，另一种是先用FFT 计算出样本函数的功率谱密度函数，再对功率谱密度作FFT 逆变换，间接计算出相关函数。在此，介绍直接计算法。
时序n x （n =0,1,2,…,N -1）在时间位移r t τ=??处的自相关函数
时序
和
（n=0,1,2,…,N -1）在时间位移
处的互相关函数
上两式中--时移数。
相关函数离散值序列长度（m ）要比原离散信号长度N 短的多（一般短1/3）才有估计质量的意义。
2．相关分析的工程应用
相关分析可了解两个信号或同一信号在时移前后的关系。近二、三十年来，相关分析在
力学、光学、声学、电子学、地震学、地质学和神经生理学等领域，都得到广泛的应用。下面介绍一些典型示例。
（1）检测混有周期性确定信号的随机信号
（2）相关测速
利用互相关函数的性质，在间隔L处各放置一只传感器，同时记录某一状态的信号，将所测得的两个信号进行相关分析，确定互相关函数最大值时的
τ值，即可计算出运动物
m
体的速度=L/
τ。在不便直接测定运动物体速度的地方，如飞机、船舶、流体和气体等的运m
动速度，常用此分析方法测定运动速度。
（3）故障诊断
用相关分析确定水管漏水部位。
二、谱分析的工程应用
近年来谱分析技术有了飞速的发展，越来越广泛地应用在各个工程领域中。下面介绍谱分析技术的应用情况.
1.各阶固有频率的识别
通过对结构物激振、冲击或工作状态测得的结构振动信号，经过功率谱或幅值谱分析，由谱图中的尖峰分量鉴别分析，可以求得结构自振频率。例如，通过对桥梁的梁和墩台的振动信号的谱分析，识别其自振频率。
2.振型分析
求结构振型时，首先要在结构上合理地布置测点，然后通过对各测点振动位移的幅值谱，或功率谱和互谱分析，可获得结构振动的各阶振型。幅值谱或功率谱可以给出每个测点在各频率点上相应的幅值大小，而通过互谱则可建立起各测点与某特定参考点间相对的相位关系（也是各测点间的相对相位关系），这样就确定了结构在各阶振动频率下的振型，即各阶振型。
3.机械系统和基础振动传递特性的分析
通过对机械系统或支承基础的幅、相频特性以及输入输出的相关函数分析，可以得到机械系统或支撑基础振动的传递特性，评定它们减振性能，为结构动力学分析提供依据。
旋转机械，如纸浆机，要求其基础必须有较好的减振作用，不使振动传给地面。通过传递函数分析，就可找出纸浆机工作时，由于基础的衰减作用，纸浆机各种频率的振动被基础衰减的程度。
4.结构与设备的振动监测与故障诊断
利用谱分析技术，可以对各种结构和设备的振动进行状态监测与控制，并对设备进行故障诊断。在此，我们主要列举以下几个例子:
a.查找电机噪声源
b.监视机器的工作状态或作故障诊断
通过谱分析，可以对各种结构和设备的振动进行监视和控制，并对设备进行故障诊断。
5.查找各种振动源和噪声源
6.谱分析技术在系统分析和响应计算中的应用
用系统输入与输出的互谱()xy G f 和输入自谱()x G f 之比可得到系统的频率特性。 输入()x t 经FFT 分析可得到输入谱，用系统频率特性与输入谱相乘就得到输出响应谱，再经IFFT 还可求得系统的时间响应。
同样，系统的频率特性()H f 经IFFT 得到脉冲响应函数()h t ，将()h t 与输入信号()x t 作卷积计算，即求得输出函数()y t 。
实测与计算相结合，谱分析技术为结构动力学分析开辟了一条新的途径，为结构动力优化设计提供了有利条件。它在航天、航空、汽车和机床等领域已广泛应用，大大缩短了设计周期和提高了产品的可靠性。
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第二章习题参考解答 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。 (1) 解当激励为时，响应为，即： 由于方程简单，可利用迭代法求解： ，， …， 由此可归纳出的表达式： 利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应： (2) 解 (a)求冲激响应 ，当时，。 特征方程，解得特征根为。所以： …(2.1.2.1) 通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)： …(2.1.2.2) 可验证满足式(2.1.2.2)，所以： (b)求阶跃响应 通解为 特解形式为，，代入原方程有，即 完全解为 通过原方程迭代之，，由此可得 解得，。所以阶跃响应为： (3)
解 (4) 解 当t>0时，原方程变为：。 …(2.1.3.1) …(2.1.3.2) 将(2.1.3.1)、式代入原方程，比较两边的系数得： 阶跃响应： 求下列离散序列的卷积和。 (1) 解用表 格法求 解 (2) 解用表 格法求 解 (3) 和 如题图2.2.3所示 解用表 格法求 解
(4) 解 (5) 解 (6) 解参见右图。 当时： 当时： 当时： 当时： 当时： (7) ， 解参见右图： 当时： 当时： 当时： 当时： 当时： (8) ，解参见右图
当时： 当时： 当时： 当时： (9) ， 解 (10) ， 解 或写作：
求下列连续信号的卷积。 (1) ， 解参见右图： 当时： 当时： 当时： 当时： 当时： 当时： (2) 和如图2.3.2所示 解当时： 当时： 当时： 当时： 当时： (3) ， 解 (4) ， 解 (5) ， 解参见右图。当时：当时： 当时：
信号处理第二章知识点
第二章 连续时间傅里叶变换 1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS (1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限； 信号绝对可积∞
信号分析与处理 杨西侠 第2章习题答案
2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别 1）x 1(t) = sin Ω t ·u(t ) 2）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u(t ) 3）x 3(t) = sin Ω t ·u ( t – t 0 ) -1
4）x2(t) = sin[ ( t – t0) ]·u( t – t0) 2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图 （1）x ( t-2 ) （2）x ( t+2 )
（3）x (2t) （4）x ( t/2 ) （5）x (-t) （6）x (-t-2)
（7）x ( -t/2-2 ) （8）dx/dt 2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值 (1)?+∞ ∞--)(0t t x δ(t) dt = x(-t 0) (2)?+∞ ∞--)(0t t x δ(t) dt = x(t 0) (3)?+∞∞ --)(0t t δ u(t - 20t ) dt = u(2 t ) (4)?+∞ ∞--)(0t t δ u(t – 2t 0) dt = u(-t 0) (5)() ?+∞∞ --+t e t δ(t+2) dt = e 2-2 (6)()?+∞ ∞-+t t sin δ(t-6π ) dt = 6 π + 2 1
(7) ()()[]?+∞ ∞-Ω---dt t t t e t j 0δδ =()?+∞ ∞ -Ω-dt t e t j δ–?+∞∞ -Ω--dt t t e t j )(0δ = 1-0 t j e Ω- = 1 – cos Ωt 0 + jsin Ωt 0 2-4 求下列各函数x 1(t)与x 2(t) 之卷积，x 1(t)* x 2(t) (1) x 1(t) = u(t), x 2(t) = e -at · u(t) ( a>0 ) x 1(t)* x 2(t) =?+∞ ∞---ττττ d t u e u a )()( = ?-t a d e 0 ττ = )1(1at e a -- x 1(t)* x 2(t) =ττδτδτπ d t t u t )]1()1([)]()4 [cos(---+-+Ω?+∞ ∞- = cos[Ω(t+1)+ 4 π ]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+ 4 π ]u(t-1) (3) x 1(t) = u(t) – u(t-1) , x 2(t) = u(t) – u(t-2) x 1(t)* x 2(t) = ? +∞ ∞ -+-----τττττd t u t u u u )]1()()][2()([ 当 t <0时，x 1(t)* x 2(t) = 0 当 0 信号分析与处理 第一章绪论：测试信号分析与处理的主要内容、应用；信号的分类，信号分析与信号处理、测试信号的描述，信号与系统。 测试技术的目的是信息获取、处理和利用。 测试过程是针对被测对象的特点，利用相应传感器，将被测物理量转变为电信号，然后，按一定的目的对信号进行分析和处理，从而探明被测对象内在规律的过程。 信号分析与处理是测试技术的重要研究内容。 信号分析与处理技术可以分成模拟信号分析与处理和数字信号分析与处理技术。 一切物体运动和状态的变化，都是一种信号，传递不同的信息。 信号常常表示为时间的函数，函数表示和图形表示信号。 信号是信息的载体，但信号不是信息，只有对信号进行分析和处理后，才能从信号中提取信息。 信号可以分为确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；能量信号与功率信号；奇异信号； 周期信号无穷的含义，连续信号、模拟信号、量化信号，抽样信号、数字信号 在频域里进行信号的频谱分析是信号分析中一种最基本的方法：将频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析； 信号分析是研究信号本身的特征，信号处理是对信号进行某种运算。 信号处理包括时域处理和频域处理。时域处理中最典型的是波形分析，滤波是信号分析中的重要研究内容； 测试信号是指被测对象的运动或状态信息，表示测试信号可以用数学表达式、图形、图表等进行描述。 常用基本信号（函数）复指数信号、抽样函数、单位阶跃函数单位、冲激函数（抽样特性和偶函数）离散序列用图形、数列表示，常见序列单位抽样序列、单位阶跃序列、斜变序列、正弦序列、复指数序列。 系统是指由一些相互联系、相互制约的事物组成的具有某种功能的整体。被测系统和测试系统统称为系统。输入信号和输出信号统称为测试信号。系统分为连续时间系统和离散时间系统。 第二章：单输入单输出系统的时域分析 2.1.概述 系统分析的主要任务是解决在给定的激励作用下，系统将产生什么样的响应。即如果系统（这里指“线性时不变LTI系统”，以下相同）是确定的，激励是已知的，则响应一定也是确定的。 系统数学模型的时域描述主要有两种形式：“输入输出描述”与“状态变量描述”，本章只涉及“输入输出描述”，即采用微分或差分方程对系统进行描述。 为了确定一个线性时不变系统在时域中对给定激励的响应，首先要建立描述该系统的微分方程（对于连续系统）或差分方程（对于离散系统），并求出满足给定初始状态的解。这里，解就是系统的响应。 LTI连续/离散系统的时域分析，可以归结为：建立并求解线性微分/差分方程。这也称之为系统时域响应求解的“经典法”。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析法”。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 几个重要的概念： 由于对“线性时不变LTI系统”在时域中进行描述的数学模型就是“微分方程/连续系统”和“差分方程/离散系统”，因此这些方程的“解”就是系统的“时域响应”，进而又可以按照“解的形式”分解为“自由响应”和“强制响应”，也可以按照“响应产生的原因”分解为“零输入响应”和“零状态响应”。 1、自由响应 “微分方程/差分方程”的“齐次通解”就是系统的“自由响应/固有响应”，其只取决于系统本身的特性。也就是说，对于同一个系统，在不同的激励作用下，系统“自由响应”的形式是相同的。（但系数仍与“激励形式和系统初始状态”有关） 2、强制响应 “微分方程/差分方程”的“特解”就是系统的“强制响应/受迫响应”，其形式由系统的激励所决定。 3、零输入响应 指激励输入为零时，仅由系统的初始状态所产生的系统响应。 4、零状态响应 指系统的初始状态为零，仅由激励输入所引起的系统响应。 5、全响应 系统全响应 = 自由响应+强制响应 = 零输入响应+零状态响应 2.2.连续系统的时域分析 见书上P24～30，由于该部分内容已在高等数学与电路原理课程中作过较详细的讨论，因此本课程中为“自学内容”。 2.3.离散系统的时域分析 一、差分与差分方程 1、差分 设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，如下式所示： 《信号分析与处理》(第二版)-徐科军、黄云志-课后答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： Chap1. 1.4 ()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()121 2 122 12112 2 121 2 2 2y 11102 y 0.5111 y 0.5 1.513y 0 13 013 y 0.5111 0.5 1.513t t t t t x t x t x x t d x x t x x t d t d t t t x x t d t d t t t t t or t t or t t t t t t t τττ ττττ τττττττττττ+∞ -∞ ----=*=-=-≤≤???=≤≤??=-= -=+-<≤=-= -=-++<<=≤-≥≤-≥??=+-<≤??-++< ()()[] ()()()[]()()()∑∞ =? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= =??? ??<≤<≤-=1002212 2 01cos cos cos 1cos 141cos 1cos 1 5 .0202 20 (a)n n n t n n n t n n n t x n n b n n a a T t t T t T t x πππππ πππ 代入公式得： ()() ()()() ()[] ()()[]()()∑∞ =Ω-? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= ==Ω=Ω-=1002222 2 012 212cos 1cos cos 11411cos 11 5.0cos 2 (b)n n n T jn t n n t n n n t x n b n n a a n n X e n X T t x t x πππππππ得到：根据时移性质： ()() ()()()[]()()[]() ∑?∑∞ =-∞ =Ω-+=-=Ω==Ω+=102232 20 2 0201 00 3cos cos 12 21cos 12cos 41 cos 2 (c)n T n n n t n n n t x n n dt t n t x T a a t n a a t x ππ ππ偶对称， 1.12 ()()dt e t x j X t j ?+∞ ∞ -Ω-=Ω频谱密度函数： Chap1. 1.4 ()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()121 2 122 12112 2 121 2 2 2y 11102 y 0.5111 y 0.5 1.513y 0 13 013 y 0.5111 0.5 1.513t t t t t x t x t x x t d x x t x x t d t d t t t x x t d t d t t t t t or t t or t t t t t t t τττ ττττ τττττττττττ+∞ -∞ ----=*=-=-≤≤???=≤≤??=-= -=+-<≤=-= -=-++<<=≤-≥≤-≥??=+-<≤??-++< ()()[] ()()()[]()()()∑∞ =? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= =??? ??<≤<≤-=1002212 2 01cos cos cos 1cos 141cos 1cos 1 5 .0202 20 (a)n n n t n n n t n n n t x n n b n n a a T t t T t T t x πππππ πππ 代入公式得： ()() ()()() ()[] ()()[]()()∑∞ =Ω-? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= ==Ω=Ω-=1002222 2 012 212cos 1cos cos 11411cos 11 5.0cos 2 (b)n n n T jn t n n t n n n t x n b n n a a n n X e n X T t x t x πππππππ得到：根据时移性质： ()() ()()()[]()()[]() ∑?∑∞ =-∞ =Ω-+=-=Ω==Ω+=102232 20 2 0201 00 3cos cos 12 21cos 12cos 41 cos 2 (c)n T n n n t n n n t x n n dt t n t x T a a t n a a t x ππ ππ偶对称， 1.12 ()()dt e t x j X t j ?+∞ ∞ -Ω-=Ω频谱密度函数： 第一章 时域离散信号与离散系统 1－1 给定信号： ?? ???≤≤-≤≤-+=其它,040,61 4,52)(n n n n x （1） 画出x(n)序列的波形，标上各序列值； （2） 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3） 令x 1(n)=2x(n-2),试画出x 1(n)波形； （4） 令x 2(n)=2x(n+2)，试画出x 2(n)波形； （5） 令x 3(n)=x(2-n)，试画出x 3(n)波形。 1－2 有序列如下图所示 请计算x e (n)=[x(n)+x(-n)]/2，并画出波形。 1－3 试判断 （1）∑-∞ ==n m m x n y )()( （2）y(n)=[x(n)]2 （3）) 792sin()()(π π +=n n x n y 是否线性系统，并判断（2）、（3）是否移不变系统。 1－4设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如图所示，要求画出y(n)的波形。 1－5 已知线性移不变系统的输入为x(n)=δ(n)-δ(n-2),系统的单位抽样响应为 h(n)=0.5n R 3(n)，试求系统的输出y(n) 1－6 设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定： y(n)-0.5y(n-1)=x(n)+0.5x(n-1) 设系统是因果性的。利用递推法求系统的单位抽样响应； （1） 由（1）的结果，利用卷积和求输入x(n)=e jwn u(n)的响应。 第二章 时域离散信号与系统的频域分析 2－1 试求如下序列的傅立叶变换： （1）x 1(n)=R 5(n) （2）x 2(n)=u(n+3)-u(n-4) 2－2 设???==其它 ,01,0,1)(n n x ，将 x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列~)(n x ，画出x(n)和~)(n x 的波形，求出~)(n x 的离散傅立叶级数~)(k X 和傅立叶变换。 2－3 设如图所示的序列x(n)的FT 用X(e jw )表示，不直接求出X(e jw )，确定并画出傅立叶变换实部Re[X(e jw )]的时间序列x e (n) 2－4 求序列-2-n u(-n-1)的Z 变换及收敛域： 2－5 已知)(2||5.02523)(211n x z z z z z X 对应的原序列，求收敛<<+--=--- 2－6 分别用长除法、部分分式法求以下X(z)的反变换： 21||,41 1311)(21>-- = --z z z z X 2－7 用Z 变换法解下列差分方程： y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),y(-1)=1,y(n)=0,n<-1 2－8 研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满足)()1()(310 )1(n x n y n y n y =++--，并已知系统是稳定的，试求其单位抽样响 应。 第三章 离散傅立叶变换（DFT ） 3－1 计算以下序列的N 点DFT ，在变换区间0≤n ≤N-1内，序列的定义为x(n)=sin(w 0n)·R N (n) 山东建筑大学 课程设计说明书题目：基于MATLAB的信号分析与处理课程：数字信号处理课程设计 院（部）：信息与电气工程学院 专业：通信工程 班级：通信111班 学生姓名： 学号： 指导教师： 完成日期：2014年1月 目录 摘要 (Ⅰ) 1 设计目的和要求 (1) 2 设计原理 (2) 3 设计内容 (3) 3.1 程序源代码 (4) 3.2 调试分析与过程描述 (7) 3.3 结果分析 (12) 总结 (13) 致谢 (14) 参考文献 (15) 摘要 这次是基于MATLAB的信号分析与处理。所谓数字滤波器，就是输入、输出都是数字信号的，通过数值计算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。常用的经典滤波器有低通、高通、带通、带阻。 首先产生一个连续信号，包含低频、中频、高频分量；对其进行采样，得到数字信号；对数字信号进行FFT频谱分析，绘制其频谱图；根据信号频谱分析的结果，分别设计高通、低通、带通滤波器，绘制滤波器的幅频及相频特性；用所设计的滤波器对信号滤波，并绘制出滤波后的频谱图。 关键词：MATLAB; FFT;滤波器；信号产生；频谱分析 1设计目的和要求 产生一个连续信号，包含低频，中频，高频分量，对其进行采样，进行频谱分析，分别设计三种高通，低通，带通滤波器对信号进行滤波处理，观察滤波后信号的频谱。 2设计原理 信号的采样要符合奈奎斯特采样定律，一般为被采信号最高频率的2倍，只有这样，才能保证频域不混叠，也就是采样出来数字信号中包含了被采信号的所有信息，而且没有引入干扰。这就是信号的时域采样。 频谱分析是指对信号进行频域谱的分析，观察其频域的各个分量的功率大小，其理论基础是傅立叶变换，现在一般采用数字的方法，也就是将时域信号数字化后做FFT，可以得到频域的波形。 数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。可以设计系统的频率响应，让它满足一定的要求，从而对通过该系统的信号的某些特定的频率成分进行过滤，这就是滤波器的基本原理。 IIR滤波器的设计原理： IIR数字滤波器的设计一般是利用目前已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计，通常采用模拟滤波器原型有butterworth函数、chebyshev函数、bessel函数、椭圆滤波器函数等。 IIR数字滤波器的设计步骤： （1）按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标； （2）根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器； （3）很据脉冲响应不变法和双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器； （4）如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。 本课程设计设计思想：首先利用MATLAB分别产生低频、中频、高频信号，然后进行叠加得到连续时间信号；对所产生的连续时间信号进行采样，得到数字信号；对信号进行FFT频谱分析，绘制其频谱图；根据信号频谱分析的结果，分别设计高通，低通，带通滤波器，得到滤波器的幅频及相频特性。 Answer of Homework 2 1.6 计算下列各式的卷积： （a ）()e (),()e (),at bt x t u t h t u t a b --==≠ Answer: （a ）通过卷积定义()0()()()d e e d ,0t at b t y t x h t t τττττ∞----∞=-=≥??，因此 ()[(e e )/(b )]()at bt y t a u t --=-- 1.7 计算下列各式的卷积，并画出结果曲线。 （b ）21()(2),()(2)2n x n u n h n u n -??=-=+ ??? Answer: 定义信号11()()2n x n u n ??= ??? 和1()()h n u n = ，可以发现1()(2)x n x n =-，1()(2)h n h n =+，因此, 1111()()()(2)(2)(2)(2)k y n x n h n x n h n x k h n k ∞ =-∞=*=-*+=--+∑ 用2m + 代替k 得到: 111011()()()21()22m n n m m y n x m h n m u n +∞=-∞=??????=-==-?? ? ?????????∑∑ 2n 1.9 一因果LTI 系统，其输入输出关系由1()(1)()4 y n y n x n = -+给出，若()(1)x n n δ=-，试求()y n 。 Answer: 由于该系统为一因果系统，因而()0,1y n n =<从而得到 1 1(1)(0)(1)0114 111(2)(1)(2)0444 111(3)(2)(3)0416161()()4 m y y x y y x y y x y m -= +=+==+=+==+=+== 因此， 11()()(1)4 n y n u n -=- 1.12 给定()(2),()e (1)t x t u t h t u t =-=--。试计算卷积()()()y t x t h t =*。 Answer: 数字信号处理第2章习题解答 2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。画出 1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。 解：采样周期为2184 T ππ= = 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下： 1()cos(2)cos()42a n x n n π π=?= 2()cos(6)cos()42a n x n n π π=-?=- 3()cos(10)cos()42 a n x n n π π=?= 输出序列只有一个角频率 2 π ，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。 三个正弦信号波形及采样点位置图示如下： t x a 1(t ) t x a 2(t ) t x a 3(t ) 三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。 2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。求以下信号的最低采样频率。 （1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π 解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω （1）2 ()a x t 的傅里叶变换为 22()[()]B a a B X j X j d ππ ωωω-?Ω-? 因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤ 即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。 （2）(2)a x t 的傅里叶变换为 1 (/2)2 a X j Ω 2/22B B ππ-≤Ω≤，即44B B ππ-≤Ω≤ 即(2)a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。 （3）()771 ()cos(7)()2 j Bt j Bt a a x t Bt x t e e πππ-= + 根据傅里叶变换的频移性质，()cos(7)a x t Bt π的傅里叶变换为 []1 ((7)((7)2 a a X j B X j B ππΩ-+Ω+ 它为一个带宽为2B 的带通信号，其通带范围为59 22 B f B ≤≤。 根据带通模拟信+号的采样定理，最小采样频率为1/4 4(1) 4.52 B B ?+=。 补充知识：带通模拟信号的采样定理 设带通模拟信号的频带限制在L f 和H f 之间，其频谱最低频率大于L f ，最高频率小于H f ，信号带宽H L B f f =-。此带通模拟信号所需最小抽样频率s f 等于 21s k f B n ??=+ ??? 式中，B 为信号带宽；n 为商( H f B )的整数部分，1,2,n = ；为商(H f B )的小数部分，01k <<。 2.5 一带通模拟信号如图所示，现用以下采样频率对其采样。 （1）25 Hz （2）50 Hz （3）100 Hz 信号分析与处理 1.什么是信息？什么是信号？二者之间的区别与联系是什么？信号是如何分类的？ 信息反映了一个物理系统的状态或特性，是自然界、人类社会和人类思维活动中普遍存在的物质和事物的属性。 信号是传载信息的物理量，是信息的表现形式。 信号处理的本质是信息的变换和提取。信息的提取就要借助各种信号获取方法以及信号处理技术。 按照信号随自变量时间的取值特点，信号可分为连续时间信号和离散时间信号： （1、连续时间信号——任意时间都有信号值。2、离散时间信号——在离散的时间点上有信号值。） 按照信号取值随时间变化的特点，信号可以分为确定性信号和随机信号：（1、确定性信号——所有参数都已经确定。 2、随机性信号——在取值时刻以前不可准确预知。） 2.非平稳信号处理方法（列出方法就行） 1.短时傅里叶变换 2.小波变换 3.小波包分析 4.循环平稳信号分析 5经验模式分解和希尔伯特-黄变换。（以及不同特色和功能的小波基函数的应用） 3.信号处理内积的意义，基函数的定义与物理意义。 答：内积的定义： （1）实数序列：),...,,(21n x x x X =，n n R y y y Y ∈=),...,,(21 它们的内积定义是：j n j j y x Y X ∑=>= <1 , （2）复数jy x z +=它的共轭jy x z -=* ，复序列),...,,(21n z z z Z =， n n C w w w W ∈=),...,,(21，它们的内积定义为*=∑>= 试题形式 填空题—10分/10格/5题 问答题—18分/3题 计算题—72分/6题 考试时间：17周(教秘安排) 第一章 信号分析与处理的基本概念 复习考点(题型：填空/问答) 信号的分类(P3) 信号取值是否确定：确定性信号和随机信号 信号自变量取值是否连续：连续信号和离散信号 信号在某一区间是否重复出现：周期信号和非周期信号 信号的能量或功率是否有限：能量信号和功率信号 周期信号的基本周期计算(P4，参考P5例子) ()()x t x t nT =+ (0,1,2,....n =±± 式中nT 为x(t)的周期，而满足关系式的最小T 值称为信号的基本周期。 信号处理的概念、目的(P5) 概念：要把记录在某种媒体上的信号进行处理，以便抽取有用信息的过程，它是对信号进行提取、变换、分析、综合等处理过程的统称。 目的：去伪存真，特征提取，编码和解码（调制与解调） 系统的性质/线性系统的条件(P11-14) 性质：线性（包括齐次性与叠加性），时不变性，因果性，稳定性 线性系统的条件：同时具有齐次性和叠加性的系统称为线性系统。 对于动态系统满足3个条件：可分解性、零状态线性、零输入线性 第二章 连续时间信号的分析 复习考点(题型：填空/问答/计算) 信号分析的方法 (P22) 信号分析的基本方法是信号的分解，即将任意信号分解成有限个或无限个基本信号的线性组合，通过对构成信号的基本单元的分析达到了解原信号的目的。包括时域方法，频域方法，复频域方法。 信号的频谱分类/P47 思考题2-4 (P30-31) 信号的频谱包括幅度频谱和相位频谱 周期信号的频谱特点：离散普，其相邻谱线的间隔是w1，改变信号的周期将改变信号的频谱的疏密程度，当周期趋于无穷大时，频谱将是连续的。 分类： 带宽定义(P31) 通常把()01/02/f τωπτ≤≤≤≤这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽，记做B ，1/2/B B ωτπτ==或 计算题：以作业题为主 第三章 连续时间信号处理 复习考点(题型：填空/问答/计算) 线性时不变LTI 系统定义与描述方式(P52/P61) 第二章 信号分析 2.1 信号定义及其分类 在通信、广播、电视或遥控遥测等系统中进行着信息的传递。信息通常用语言、文字、图像和数据形式来表示。为了便于传输和处理，往往讲信息变换为另一形式的变化着的物理量，如光、声、电等，这些形式通称为信号。因此信号的变化即表现为物理量的变化。作为信号的多种物理量中，电信号是最常见和应用广泛的物理量，因为电信号容易产生和控制，并且与非电量之间的转换也比较容易。电信号通常是随时间变化的电压和电流，某些情况下可以是电荷和磁链。 信号的分类一般是按照信号的波形特征来划分的。从信号描述上可以分为确定性信号和不确定性信号（规则性信号和不规则性信号）；从信号的幅值上分能量信号和功率信号；从分析域上可以分为时域和频域；确定性信号，可以用明确的数学公式描述的信号， 否则为非确定性信号。能量信号，瞬态信号，能量为有限值的信号。满足条件? ∞ ∞ ∞<-2)(dt t x ；功 率信号，时间持续无限值，研究平均功率更有意义。 规则信号是指按一定规则变化 的、可以用确定的数学函数式或波形进行描述的信号。规则信号根据其变化时有无重复性的特点分为周期性信号和非周期信号；按信号的存在时间是 否为连续的特点又可分为连续时间信号和离散时间信号。通常将输入电路的信号称为激励，而把经过电路传输和处理后的输出信号称为响应。 时域信号，在某一时间范围内有定义，其余为0；频域有限信号：在某一频率范围内有定义，其余频率为0 一、基本信号 1、指数信号（at Ee t f =)(） a 为实数 右图为单边指数衰减信号，与单边指数衰减信号相对应的为双边指数衰减信号，其表示式为t a Ee t f -=)(，波形为左右对称。 指数信号的一个重要特征是它对时间的微粉和积分仍然是指数形式 2、复指数信号（指数为复数，可以通过欧拉公式转化为正弦余弦函数） 其表达式为t j Ee t f )()(ωσ+=，可以借助欧拉公式将信号分解为： t jEe t Ee t f t t ωωσσsin cos )(+= σ>0时为增幅振荡，σ＝0时为等幅振荡；w 则表示正弦和余弦振荡的角频率。 复数指数在实际中生产出来，但它概况了多种情况，可以用它来描述上述的各种基本信号。Hia 可以利用复制数信号简化很多运算和分析。 正弦信号的拉普拉斯变换式为 2 2]s i n (ωω ω+= s A t A L 3、单位斜变信号 从某一时刻开始随时间正比增长的信号，且变化率为1。其表达 式为： ? ??≥<=)0() 0(0)(t t t t R 其拉普拉斯变换式 2/1)](1[s t t L =? 大型船闸匀速升降时，主拖动系统发出位置信号、数控机床加工斜面时的进给指令，均可看作斜坡作用。 4、单位阶跃信号（简称阶跃信号，电路中常用来测试系统响应的快慢） 其拉普拉斯变化式为 s t /1)](1[L = 其物理意义是，当u(t)作为电路的电源时，相当于该电路在 t ＝0时刻接入单位直流电源。还有指令的突然转换、负荷的突变均可视为单位阶跃作用。是评价系统动态性能时应用较多的一种典型作用。 阶跃信号可以表示任何矩形脉冲(门信号)。如右图可以表示为： x(t)=u(t-τ)-u(t-3τ) 1.4 1.8 1.12 1.22 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2)cos()cos(cos cos cos cos 1lim cos cos cos cos 1lim cos cos cos cos 1lim 22 2121 2222222112122 222222211112122211122 222111ττττθτθθτθθτθτθθττΩ+Ω=-ΩΩ+-ΩΩ=+-Ω+Ω++-Ω+Ω=+-Ω++-Ω+Ω++Ω=-=????--∞→--∞→-∞→+∞ ∞-* A A dt t A t A t t A T dt t A t A t t A T dt t A t A t A t A T dt t x t x R T T T T T T T T T 2.7 (1)左移 (2)右移 (3)先翻转再右移 (4)先翻转再左移 (5)压缩 2.10 ()()()()()∑+∞-∞=-*= *=k k n h k R n h n R n y Chap3. 3.1 ()()()()()0n k k k n k k n h k x n h n x n y -+∞-∞=-+∞-∞=?= -*= *=∑∑βα 3.2见书P109-112 （1）()()0ωω-j e X （2）()ωd e dX j jw （3）()jw e X - （4）()jw e X -* （5）()jw k j e X e ω- （6） ()()jw jw e X e X --21**π（7）()()() jw jw e X e X --21*- 3.8 注y(1)=0,y(1)=1, y(2)=3…… 3.11 3.14 见书P118 通常待分析的信号是连续信号，为了能应用离散傅立叶变换需要对连续时间信号进行采样，若m s f f 2≤，采样信号的频谱中周期延拓分量互相重叠，这就是混叠现象。解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高，使得m s f f 2≥。 泄漏现象是由数据截断造成的，改善泄漏可以增加采样点数N 或采用其它形式的截断函数，另外泄漏也会引起混叠。 Chap1. ()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()121 2 122 12112 2 121 2 2 2y 11102 y 0.5111 y 0.5 1.513y 0 13 013 y 0.5111 0.5 1.513t t t t t x t x t x x t d x x t x x t d t d t t t x x t d t d t t t t t or t t or t t t t t t t τττ ττττ τττττττττττ+∞ -∞ ----=*=-=-≤≤???=≤≤??=-= -=+-<≤=-= -=-++<<=≤-≥≤-≥??=+-<≤??-++< ()()[] ()()()[]()()()∑∞ =? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= =??? ??<≤<≤-=1002212 2 01cos cos cos 1cos 141cos 1cos 1 5 .0202 20 (a)n n n t n n n t n n n t x n n b n n a a T t t T t T t x πππππ πππ 代入公式得： ()() ()()() ()[] ()()[]()()∑∞ =Ω-? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= ==Ω=Ω-=1002222 2 012 212cos 1cos cos 11411cos 11 5.0cos 2 (b)n n n T jn t n n t n n n t x n b n n a a n n X e n X T t x t x πππππππ得到：根据时移性质： ()() ()()()[]()()[]() ∑?∑∞ =-∞ =Ω-+=-=Ω==Ω+=102232 20 2 0201 00 3cos cos 12 21cos 12cos 41 cos 2 (c)n T n n n t n n n t x n n dt t n t x T a a t n a a t x ππ ππ偶对称， ()()dt e t x j X t j ?+∞ ∞ -Ω-=Ω频谱密度函数： 浅谈信号分析与处理方法及应用论文 作者：魏旺 摘要 今天的人们正生活在分享着信息学科与技术日新月异发展带来的各种成果之中。信息科学与技术的研究对象是信息传输、处理和控制等。信息科学与技术的基础是信号、系统和信号分析与处理的理论与方法。“信号分析与处理”这门课程正是近几年来在适应信息学科迅速发展、相应基础理论教学要求不断更新的情况下，形成的一门新课程。它整合了“信号与系统分析”和“数字信号处理”两门课程体系彼此存在的内存联系，注重了与“自动控制理论”的分工，从电子信息学科的基本任务出发，以信号分析为基础，系统分析为桥梁，处理技术为手段，设计系统为目的，实现原理、方法和应用三结合，把系统分析与设计系统服从于信号交换与处理的需要，从根本上改变了传统的以系统分析为主、信号处理为辅的状况，加强了两门课程之间的联系。 随着信息技术的不断发展和信息技术应用领域的不断扩展，这门课程已经从电子信息工程类专业的专业基础课程扩展成电子信息、自动控制、电子技术、电气工程、计算机技术、生物医学工程等众多电类专业的专业基础课程，甚至在很多非电专业中也设置了这门课程。而其内容也从单一的电系统分析扩展到许多非电系统分析。虽然各个专业开设这门课程时的侧重点会有所不同，应用背景也有差异，但是，本课程所提练的信号与系统的分析与处理的基本理论与基本方法是通用的。 关键词：信号系统与处理信号分析电子信息 第一章、信号系统的线性分析 数字信号处理是一个新的学科领域，它通过计算机或专用处理设备，用数字方式去处理数字或符号所表示的序列，以得到更符合人们要求的信号形式。 传统的超声波检测用手工进行，操作人员凭借经验对探伤仪上显示的波形进行评定，有一定的主观性，缺乏对信号本身的解剖，无法从根本上求证信号与被测对象之间的必然联系。为了能准确地提取出蕴涵于超声波信号中的信息，我们可以利用数字信号处理技术，从时域方面建立超声波信号的有限参数模型，从而将含在大量数据中的信息浓缩在有限个参数上。模型不仅可用于对信号的内在变化规律性与统计特性的描述，还可用于对过程的预测、控制，或对设备的工况监测、故障诊断等等，它比一个具体的时间序列或按数据所估计的特征量，更具有代表性。 信号可定义为一个承载信息的函数，通常表示为时间，的函数。对于幅度和时间都取连续值的信号称为模拟信号或时域连续信号；对于幅度值取连续值，而时间耿离散值的信号成为时域离散信号；而对于幅度和时问均为离散值的信号称为数字信号。我们所研究的超声回波信号就属于幅度和时间均为离散值的信号，亦称为超声回波的数字信号。 数字信号处理是一个新的学科领域，它是把数字或符号表示的序列，通过计算机或专用处理设备，用数字方式去处理这些序列，以达到更符合人们要求的信号形式。例如对信号的滤波、信号有用分量的提取和增强、无用分量的削弱以及对信号某些特征参数的估计。总之，凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、增强、压缩、估计、识别等都是数字信号处理的研究对象。 时域信号到频域信号的转换是进行超声波频谱分析的基础。频谱分析是对信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的相关物理量的谱线或曲线。以模拟信号的数字化处理系统为例，此系统先把模拟信号变换为数字信号，然后用数字技术进行处理，最后再还原成模拟信号。 由于数字信号处理的直接对象是数字信号，处理的方式是数值运算方式，使它相对模拟信号处理具有许多优点，归纳起来有以下几点： (1)灵活性 数字信号处理系统的性能取决于系统参数，这些参数存储在存储器中，很容易改变，因此系统的性能容易改变，甚至通过参数的改变，系统变成了另外完全不同的系统。灵活性还表现在数字系统可以分时复用，用一套数字系统分时处理信号分析与处理
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