数学实验作业七

数学实验作业七

题目：P200. 2)；6) 日期：2003-4-9

【实验目的】：

1、掌握MATLAB 优化工具箱的基本用法，对不同算法进行初步分析、比较。

2、练习实际问题的非线性最小二乘拟合。

【实验内容】：

二：求解()1

2212122min 42421x e x x x x x ++++，初值（－1，1），对不同算法的结果进行分析、

比较。

【模型分析】：

首先画出函数f=1

2212122(42421)x e x x x x x ++++的图像和等高线：

可以看到：在[0.5,-1]附近为一个“凹地”，最小值应在该凹地中取得。另外，从（-1,1）到此凹地为一与Rosenbrock 函数类似的狭长通道，不利于沿负梯度方向下降。可以想象，该函数具有与Rosenbrock 函数类似的性质。

【MATLAB 源程序】

比较程序如下：

%数学实验作业二.1-d

function f=ch72fun(x);

%第7章第2题的函数

f=exp(x(1)).*(4*x(1).^2+2*x(2).^2+4*x(1).*x(2)+2.*x(2)+1);

%ch72.m

%第7章第2题

X0=[-1,1];

%赋初值

%BFGS,混合二三次插值

opt1=optimset('TolX',1e-6,'TolFun',1e-6,'MaxIter',1000);

[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt1)

%BFGS,三次插值

opt2=optimset(opt1,'LineSearchType','cubicpoly');

[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt2)

%DFP,混合二三次插值

opt3=optimset(opt1,'HessUpdate','dfp');

[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt3)

%DFP,三次插值

opt4=optimset(opt3,'LineSearchType','cubicpoly');

[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt4)

%最速下降,混合二三次插值

opt5=optimset(opt1,'HessUpdate','steepdesc');

[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt5)

【MATLAB 运行结果】：

结果为：

所以可以得到本题的解析解：x=(0.5,-1)，f=0。

【结果分析】：

观察上面的运算结果可以看出：BFGS和混合二三次插值（Matlab默认值）的

性能是最好的，其精度较高，迭代次数少；DFP 和三次插值的精度最高，但是其迭代次数相对较多。DFP 和混合二三次插值的迭代次数最少，但是其精度是最低的。另外最速下降法也能得出结果，而不是像Rosenbrock 函数那样不收敛。

六：《中国统计年鉴（1995）》给出下表的数据，试据此拟合生产函数中的参数。如何看待用最小二乘法和非线性最小二乘法拟合的结果。

第一问： 模型建立：

本题考虑用非线性拟合最小二乘拟合方法，来求解生产函数的未知系数。生产函数为;Q aK L αβ= 以系数,,a αβ为三个变量，列写函数;y Q aK L αβ=- 再运用leastsq 程序，设立初值0c ，即可求出三个系数的数值解。

模型求解：

用Matlab 作非线性最小二乘拟合，编程语句如下：

％ch7.6-(1)

function f=pp1(c)

q=[0.7171,0.8964,1.0202,1.1962,1.4928,1.6909,1.8531,2.1618,2.6635,3.4515,4.5006]; q1=q/q(6); ％以1989年总产值为基准

k=[0.2469,0.3386,0.3846,0.4322,0.5495,0.6095,0.6444,0.7517,0.9636,1.4998,1.8944]; k1=k/k(6); ％以1989年资金为基准

l=[4.8179,4.9873,5.1282,5.2783,5.4334,5.5329,5.6740,5.8360,5.9432,6.0220,6.1470]; l1=l/l(6); ％以1989年为劳动力基准 f=q1-c(1).*k1.^c(2).*l1.^c(3);

c0=[0.5,0,1];

c=leastsq('pp1',c0)

运行程序可以得到：

c = 0.9858 0.6300 2.4290

结论：

生产函数为;Q aK L αβ=

其中a ＝0.9858 α＝0.6300 β＝2.4290

第二问： 模型建立：

本题考虑用线性拟合最小二乘拟合方法，来求解生产函数的未知系数。对原式两边取对数，即可将非线性函数变化为线性函数ln ln ln ln Q a K L αβ=++，ln ,ln ,ln Q K L 为变量，ln ,,a αβ为所求系数。解超定方程组：

[]ln ln 1ln ln a Q K

L αβ??

??=??????

，其中ln ,1,ln ,ln Q K L 均为列向量。 即可得到所求三个系数的值。

模型求解：

用Matlab 作线性最小二乘拟合，编程语句如下：

％ch7.6-(2)

q=[0.7171,0.8964,1.0202,1.1962,1.4928,1.6909,1.8531,2.1618,2.6635,3.4515,4.5006]; q1=log(q/q(6)); ％以1989年总产值为基准

k=[0.2469,0.3386,0.3846,0.4322,0.5495,0.6095,0.6444,0.7517,0.9636,1.4998,1.8944]; k1=log(k/k(6)); ％以1989年资金为基准

l=[4.8179,4.9873,5.1282,5.2783,5.4334,5.5329,5.6740,5.8360,5.9432,6.0220,6.1470]; l1=log(l/l(6)); ％以1989年为劳动力基准 m=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]; A=[m',k1',l1']; B=q1'; C=A\B;

c=[exp(C(1)),C(2),C(3)]

运行程序可以得到：

c = 0.9906 0.6208 2.3728

结论：

生产函数为;Q aK L αβ=

其中a ＝0.9906 α＝0.6208 β＝2.3728

结果分析：

本题中，线性拟合和非线性拟合两种计算方法的结果相差不大。但是，在有些情况下，二者的差距将会较大，如书上182页例题。非线性拟合是将数据直接代入求解；而线性拟合在拟合前要取一次对数。所以非线性拟合的结果应该更精确一些。 下面给出题目中两个参数的经济学意义：

Q aK L αβ=式分别对

K ，L 求偏导数Q K ，Q L ，可以得到：

K Q Q K

α=

L Q Q

L

β=

可见，它表示α是资本增加一个单位产值增长的相对值，β 是劳动力增加一个单位产值增长的相对值。分别称他们为产值对资本和劳动力的弹性系数。