结构力学——结构的整体分析

结构的整体分析
整体分析就是利用结点变形连续条件和
平衡条件，在结构坐标系中将各单元组装 起来，建立结构的结点力和结点位移间的 关系式——结构总刚度方程。
1
F = KΔ
Δ= K F
?1

结点荷载、结点力向量
在矩阵位移法中，荷载是通过结点传递 到结构上的，因此，荷载必须作用于结 点上，作用于结点上的荷载称为结点荷 载。结点荷载向量写成矩阵形式为结点 力向量。 结点力向量各分量的排列次序应与结点 位移向量各分量的排列次序应一一对 应。
2
KΔ = F

结构的整体分析
在结构的整体分析中，根据位移边界 条件在形成结构总刚度方程之前或之后 处理，又分为：
3
前处理法 后处理法

例
图示的平面刚架，分别用后、前处理法分析 结构时，结点位移列阵、结点外力列阵以及 结构刚度方程的异同。
3
4m
4
x
4 2 3 2
x
x
1
1
3m 5m

后处理法
每个结点的位移分量数是相同的，有四个刚 结点，共有12个结点位移分量.
(7,8,9) 3
4m
5
x
x
2 1
?Δ 1 ? ?Δ ? 4 (10,11,12) ? 2? Δ=? ? T Δ = (ui vi θi ) ?Δ 3 ? i 3 x ?Δ 4 ? ? ?
Fi = ( X i Yi Mi )
T
12×1
1(1,2,3)
3m
(4,5,6) 2
5m
结构原始刚度方程
F = KΔ
结构的原始刚度矩阵K为12阶方阵。
? F1 ? ?F ? ? 2? F =? ? ? F3 ? ? F4 ? ? ?
12×1

后处理法
所有单元 均采用自 由式单元 形成结构 的原始刚 度矩阵 根据已知位移 边界条件，进 行边界条件处 理，形成结构 刚度矩阵 K
6
每个结点的位移 分量数是相同
各单元刚度矩阵 的阶数也是相同
原始刚度矩阵的阶数＝结点总数×结点位移分量数
整个分析过程便于编制通用程序。

前处理法
前处理法即为结构边界条件在形 成结构刚度方程之前就进行处理的 方法。
7

前处理法
用前处理法分析结构时，结构的结点位移分量只引 入独立的未知位移分量。
(1,2,3) 3
x x
8
(4,5,6)4 2 3 (0,0,0) 2
x
1
1 (0,0,0)
? Δ 1 ? ? u3 ? ?Δ ? ? v ? ? 2? ? 3 ? ? Δ 3 ? ?θ 3 ? ? ? ? ? Δ= ? ? = ? ? ? Δ 4 ? ? u4 ? ? Δ 5 ? ? v4 ? ? ? ? ? ? Δ 6 ? ?θ 4 ? ? ? ? ?
6×1
? F1 ? ? X 3 ? ?F ? ? Y ? ? 2? ? 3 ? ? F3 ? ? M 3 ? ? ? ? ? F =? ?=? ? ? F4 ? ? X 4 ? ? F5 ? ? Y4 ? ? ? ? ? ? F6 ? ? M 4 ? ? ? ? ?
6×1
由单元刚度矩阵直接形成己考虑边界条件的结构刚度 矩阵 或结构刚度方程。
F = KΔ
（K为6阶方阵）

一.结构原始刚度矩阵的组集
下面以图示的平面刚架为例来说明用后处理 法组集结构的原始刚度矩阵。
(7,8,9) 3
4m
9
x
4 (10,11,12) 2 3
x
x
1
1 (1,2,3)
3m 5m
2 (4,5,6)
所谓“原始”是表示尚未进行支承条件处理。

结构的原始刚度方程
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F
1
10
=
F
2
=
F
3
=
F
4
=
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
X Y M X Y M X Y M X Y M
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ?
1
2
3
4
K
12×12
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Δ1 =
Δ
2
=
Δ
3
=
Δ
4
=
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
u v θ u v θ u v θ u v θ
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

11
现将单元杆端位移按结点i、j划分为两个 结点位移子阵， 则整体坐标单元刚度方程为
? δi ? δ =? ? ?δ j ?
(e)
(e)
? Fi ? ? k ii ? ? =? Fj ? k ji ? ?
(e)
k ij ? ? δi ? ? ?δ ? k jj ? ? j ?
(e)
(e)

12
1
i
? k 11 2 ?k ? 21 j ? k 31 e k =? ? k 41 ? k 51 ? ? k 61 ?
k 12 k 22 k 32 k 42 k 52 k 62
k 13 k 23 k 33 k 43 k 53 k 63
k 14 k 24 k 34 k 44 k 54 k 64
k 15 k 25 k 35 k 45 k 55 k 65
k 16 ? k 26 ? ? k 36 ? ? k 46 ? k 56 ? ? k 66 ? ?
(e)
i
1
k
(e)
j
2
整体结点码
k ii k ij ? k11 k12 ? 1 i =? ? k ji k jj ? k21 k22 ? 2 j ? ?

各单元刚度矩阵的四个子块分别为
k
(1) (1) ?k11 = ? (1) ?k 31
13
1
结点码——各单元 把每个单元刚度矩阵的四个子块按 的始、末两端i、j (1) 其两个下标号码，逐一送到结构原 k13 ? 1 的结点号码。 ? 始刚度矩阵中相应的行和列的位置 (1) k 33 ? 3 上去，得到结构原始刚度矩阵。 3 4
(7,8,9) 3
4m
3
(2) (2) ?k33 k34 ? 3 (2) k = ? (2) (2) ? ?k43 k44 ? 4
x
4 (10,11,12) 2 3 (4,5,6) 2
x
x
1
2
(3) ?k 22 (3) k = ? (3) ?k 42
4
k ?2 ? k ?4
(3) 24 (3) 44
1 (1,2,3)
3m
5m

“对号入座”法 结构原始刚度矩阵K的组集
? 1 2 3 ? (1) ? 11 ? ? ? ? ? ? ? ? (1) ? 31 ? ? ? ? ? ? ?
14
1
4
5
2
6
7
3
8
9
k
k
(1) 13
k
( 3) 22
k
k
(1) 33
k
( 2) 43
( 2) 33
k
( 3) 42
k
?1 ?2 1 ? ?3 ? ?4 ( 3) ? 5 2 k 24 ? ?6 ? ?7 (2 k 34 ) ? 8 3 ? ?9 ? 10 ( 2) ( 3 )? 11 k 44 k 44 ? 4 ? 12 ?
10 11 9
4
结 点 码
结 点 位 移 码

F = KΔ
所谓“原始”是表示尚未 进行支承条件处理。
? K11 K12 K13 ?K K K 22 23 ? 21 主子快Kii K= ? K 31 K 32 K 33 ? 副子快K ? K 41 K 42 ij K 43
x
3 1 1
x
2 3 2
15 4
x
(1 (1 K14 ? ?k11) 0 ? k13) 0 ? ? (3 (3) K 24 ? ? 0 k22) 0 k24 ? ?= (1 (1 (2 (2 K 34 ? ?k31) 0 k33) + k33) k34) ? ? ? (3) ( 2) ( 2) (3) ? K 44 ? ? 0 k42 k43 k44 + k44 ? ? ?
相关单元—同交于一个结点的杆件为该结点的相关单元 相关结点—两个结点之间有杆件直接相连者为相关结点

单刚子块在总刚中的分布规律
16
(1)若i、j 为相关结点, Kij 为连接 i、j 结点 的单元单刚的相应副子块; 若不是相关 结点则Kij ＝0; (2)主子块Kii 为i 结点的相关单元单刚主子 块之和。
3
x x
2 3 2
4
x
K33 = k + k
(1) 33
(2) 33
1 1
K14=0 K34
K23=0
(2) = k34

例题 试求结构原始刚度矩阵中的子块 [ K22 ] 的4个元素。
1 2
17
① ③
4
②
3 y M, θ x
[K 22 ] = [k22 ]
(1)
+ [k 22 ] + [k 22 ]
( 2)
( 3)

18
已知各杆件在整体坐标系中的单元刚度矩阵为：
? 36 ? 100 0 ?100 0 ? ? ? ? k ( 2) ? 48 ? 0 22 0 0 0? ① ② k③ = ? ?, k =k =? ? ? 36 ??100 0 100 0 ? ? (1) ? ? ?? 48 k 22 ? ? ? 0 0 0 0? ?
1 2
48 64 ? 48 ? 64
? 48? ? ? 48 ? 64? ? 36 48 ? ( 3) ? k 22 48 64 ? ?
? 36
① ③
4
②
3 y M, θ x
?236 48? [K 22 ] = ? ? ?48 64?

例题
采用“对号入座”的方法集成K
FP2 FP1 M 2 2(4,5,6) 1 3(7,8,9)
19
(1 (1 ?k22) k23) ? 1 2 (1) k = ? (1) (1) ? ?k32 k33 ? 2 3
2 1
3 2
(2 (2 ?k11 ) k12 ) ? 1 1 k ( 2) = ? ( 2 ) ( 2) ? ?k21 k22 ? 2 2
1 1
2 2
1
(2) ? k11 (2) K = ? k21 ? ? 0 ?
1(1,2,3) 2
(2) k12 (2) (1) k22 k22 K
3
0
(1) k23
22
(1) k32
(1) k33
? 1 ? ? 2 ? 3 ?

20
2 {F1 }? ? k11 ? ? 2 {F2 }? = ? k 21 ? ? ? ?{F }? ? 0 ? 3 ? ?
2 k 12 2 1 k 22 + k 11 1 k 21
0 ? ? {Δ1 }? ? 1 ?? k 12 ? ?{Δ2 }? 1 k 22 ? ?{Δ3 }? ? ??
? K 11 = ? K 21 ? ? K 31 ?
K 12 K 22 K 32
K 13 ? ? {Δ1 }? ? ?{Δ }? K 23 ? ? 2 ? K 33 ? ?{Δ3 }? ?? ?
{F } = [K ]{Δ}
结构原始刚度矩阵