高中数学中对称性问题

对称性与周期性

函数对称性、周期性的判断

1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如

()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2

a b

x +=

轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称；

2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如

()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =；

3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或；

4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；

5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；

6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且

2()T a b =-是函数的一个周期；

7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且

2()T a b =-是函数的一个周期。

??????

??

??

???

????

????

于的中心（）直于的曲于的于直的（）

直于直的曲于直的点关点对称对称问题点对称问题线关点对称线关点对称对称问题点关线对称轴对称问题线对称问题线关线对称线关线对称

一、 点对称

(1) 点关于点的对称点问题

若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是(

1212

,22

x x y y ++)；据此可以解求点与点的

中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得

00, 22

x x y y

a b ++=

=，解算的'M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。

例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'

M 的坐标是(4,1)--.

① 点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标00(2, 2)

a x

b y --;

② 点M 00(,)x y 关于原点的对称点'

M 的坐标0000(2, 2)=(, ) a x b y x y ----.

(2) 直线关于点对称

① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线

设所求直线上一点为(,)M x y ，则它关于原点的对称点为'

(,)M x y --，因为'

M 点在直线L 上，故

有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；

② 直线1l ：0Ax By C ++=关于某一点(,)P a b 的对称直线2l 它的求法分两种情况：

1)、当(,)P a b 在1l 上时，它的对称直线为过P 点的任一条直线。

2)、当P 点不在1l 上时，对称直线的求法为： 解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)M x y ，则它关于

P 的对称点为'(2,2)M a x b y --，因为'M 点在1l 上，把'M 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程即为

(2)(2)0A a x B b y C -+-+=，简化为：220Ax By C aA bB +---=.

解法（二）：在1l 上取一点11(,)M x y ，求出M 关于P 点的对称点'11(2,2)M a x b y --的坐标。再

由12l l A

K K B

==-

，可求出直线2l 的方程。 解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点(,)P a b 的对称直线为'0Ax By C ++=

=

求设'C 从而可求的及对称直线方程。

(3) 曲线关于点对称

曲线1:(,)0C f x y =关于(,)P a b 的对称曲线的求法：设(,)M x y 是所求曲线的任一点，则M 点关于(,)P a b 的对称点为(2,2)a x b y --在曲线(,)0f x y =上。故对称曲线方程为(2,2)0f a x b y --=。

二、 直线的对称

(1) 点关于直线的对称

1) 点(,)P a b 关于x 轴的对称点为'(,)P a b - 2) 点(,)P a b 关于y 轴的对称点为'(,)P a b - 3) 关于直线x m =的对称点是'(2,)P m a b - 4) 关于直线y n =的对称点是'(,2)P a n b - 5) 点(,)P a b 关于直线y x =的对称点为'(,)P b a 6) 点(,)P a b 关于直线y x =-的对称点为'(,)P b a --

7) 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标

解法（一）：由'PP ⊥L 知，

'PP B K A =?直线'PP 的方程→()B y b x a A -=-，由0

()Ax By C B

y b x a A

++=???-=-??可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。

解法（二）：设对称点为'(,)P x y ，由中点坐标公式求得中点坐标为(

,)22

a x

b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++?

+?+=①；再由'PP B K A =得b y B

a x A

-=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。 解法（三）：设对称点为'(,)P x y

=

①，再

由'PP B K A =

得b y B a x A

-=-②，由①、②可得到'P 点坐标。 (2) 直线1l 关于直线l 的对称直线2l

设直线:0l Ax By C ++=，则l

关于x 轴对称的直线是()0Ax B y C +-+= 关于y 轴对称的直线是()0A x By C -++= 关于y x =对称的直线是0Bx Ay C ++= 关

于

y x

=-对称的直线是

()()A y B x C -+

-+=

1) 当1l 与l 不相交时，则1l ∥l ∥2l

在1l 上取一点00(,)M x y 求出它关于l 的对称点'M 的坐标。再利用12l l K K =可求出2l 的方程。 2) 当1l 与l 相交时，1l 、l 、2l 三线交于一点。 解法（一）：先解1l 与l 组成的方程组，求出交点A

的坐标。则交点必在对称直线2l 上。再在1l 上找一点B ，点B 的对称点'B 也在2l 上，由A 、'B 两点可求出直线

2l 的方程。

解法（二）：在1l 上任取一点11(,)P x y ，则P 点关于直线l 的对称点Q 在直线2l 上，再由PQ ⊥l ，

1PQ L K K =-。又PQ 的中点在l 上，由此解得11(,),(,)x f x y y g x y ==，把点11(,)x y 代入直线1l 的

方程中可求出2l 的方程。

解法（三）：设1l 关于l 的对称直线为2l ，则2l 必过1l 与l 的交点，且2l 到l 的角等于l 到1l 的角，从而求出2l 的斜率，进而求出2l 的方程。

例：求直线1:230l x y -+=关于直线:10l x y +-=对称的直线l ２的方程

解：设(),M x y 为所求直线l ２上任意一点，则其关于l 对称的点()11',M x y 在直线l １上.

()1

'1

111 1 (MM',K =-1) 10 (MM')

22MM l y y l x x x x y y l -??-=-⊥?-?∴?++?+-=??

即K 的中在上?1111x y y x =-??

=-? ()()1123021130x y y x -+=∴---+=又

故所求直线方程为240x y -+= (3) 曲线关于直线对称

曲线1C 关于直线l 的对称曲线2C 的方程，在2C 上任取一点(,)M x y ，可求出它关于l 的对称点坐标，再代入1C 中，就可求得2C 的方程。

例：求圆2

2

1x y +=关于直线l ：10x y +-=的对称圆的方程

解法（一）：设(),M x y 为所求圆上任意一点，则其关于l 对称的点()11',M x y 在2

2

1x y +=上.

()1

'1

111 1 (MM',K =-1) 10 (MM')

22MM l y y l x x x x y y l -??-=-⊥?-?∴?++?+-=??

即K 的中在上?1111x y y x =-??

=-? 22111x y += ()()2

2

111y x ∴-+-=--即为对称圆的方程

解法（二）：求圆心（0，0）关于l 对称点C （1，1）

()()2

2

111y x ∴-+-=所求方程圆为

例：求椭圆2

2

12

y x += 关于直线l ：10x y +-=对称椭圆的方程 解：设(),M x y 为所求椭圆上任意一点，则其关于l 对称的点()11',M x y 在2

2

12

y x +=上. ()()2

21

1

111112x y x y y x ?=--?∴-+=?

=-?? 综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：⑴ 求对称点一般采用，先设对称点(,)P x y ，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出,x y 的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵ 求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点(,)M x y ，再利用求对称点的方程求出M 点的对称点'M 点坐标，将'M 点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于,x y 的关系式，就是所求对称曲线的方程。

通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：

三、 函数图像自身的对称

(1) 一般地，函数()y f x =的图象关于2

a b

x +=

对称?()y f x =满足()()f a x f b x +=- 证明:

1)若()y f x =满足()()f a x f b x +=-,设00(,)P x y 是()y f x =的图象上的任意一点,则00()y f x =,00(,)P x y 关于直线2

a b

x +=

的对称点是00(,)Q a b x y +- 由条件知0000()(())()f a b x f b b x f x y +-=--==

所以00(,)Q a b x y +-在()y f x =的图象上,故函数()y f x =的图象关于2

a b

x +=对称. 2) 若函数()y f x =的图象关于2

a b

x +=

对称. 设00(,)P x y 是()y f x =的图象上的任意一点，则00(,)P x y 关于2

a b

x +=

对称点00(,)Q a b x y +-也在()y f x =的图象上。从而有000()()y f x f a b x ==+-。令0b x x -=则有()()f a x f b x +=-

特例：

① 当b=a 时，函数()y f x =的图象关于x a =对称?()y f x =满足()()f a x f a x +=-

② 当a=0,b=2m 时，函数()y f x =的图象关于x m =对称?()y f x =满足()(2)f x f m x =- ③ 当

a+b=0

时，函数()y f x =的图象关于0x =对称

?()y f x =满足

()()()(f a x f a x f a x f a x

-+=-+=--或 (2) 函数()y f x =关于点(,)a b 对称?()()2f a x f a x b ++-=，或(2)()2f a x f x b ++-=或

(2)()2f a x f x b -+=

简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，

b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得证。

四、 两个函数图像的对称

五、 周期性

1、一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期

2.若T 是周期，则(0,)kT k k Z ≠∈也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数()f x C =；

3、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。 证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--=

∴函数()y f x =的一个周期为2A 。 4、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1

(A)()

f x f x +=

，则函数()y f x =的一个周期为2A 。 证明：1

(2)()()()

f x A f x A A f x f x A +=++=

=+。

5、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1

()()

f x A f x +=-

，则函数()y f x =的一个周期为2A 。 证明：1

(2)()()()

f x A f x A A f x f x A +=++=-

=+。

6、已知函数()f x 的定义域为N ，且对任意正整数x

都有()()()(0)f x f x a f x a a =++-≠则函数的一个周期为6a 证明：()()()f x f x a f x a =++- （1）

()()(2)f x a f x f x a +=++ （2）

两式相加得：()(2)f x a f x a -=-+ ()(3)(6)f x f x a f x a =-+=+

六、 对称性和周期性之间的联系

性质1：函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-()a b ≠，求证：函数()y f x =是周期函数。

证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-

()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-

∴(2)(2)f a x f b x -=- ∴()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。

性质2：函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=()a b ≠时，函数()y f x =是周期函数。（函数()y f x =图象有两个对称中心（a ，2c ）、（b ，2

c

）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）

证明：由()()f a x f a x c ++-=?()(2)f x f a x c +-=

()()f b x f b x c ++-=?()(2)f x f b x c

+-= 得(2)(2)f a x f b x -=- 得()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是以22b a -为周期的函数。

性质3：函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。

证明：()()2()(2)2f a x f a x c f x f a x c ++-=?+-=

()()()(2f b x f b x f x f b x

+=-?=- (4(

))(2(42f b a x f b a b x

-+=--

-

(42)(2(22))2(22f a b x f a b a x c f b a x

--=--+=--+ 2(2(2))2(2)c f b a x c f a x =---=-- 2(2())22()()c c f x c c f x f x =--=-+=

推论：若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，

)(4a b -是它的一个周期

证明：由已知()(2),()(2).f x f a x f x f b x =-=--

()(2)[2(2)][2()][22()][2(2)]

[22(2)][4()],4().

f x f a x f b a x f b a x f a b a x f a b x f b a b x f b a x b a ∴=-=---=--+=----=---=--+=-+-周期为

举例:sin y x =等.

性质4：若函数()f x 对定义域内的任意x 满足：()()f x a f x a +=-,则2a 为函数()f x 的周期。（若

()f x 满足()()f x a f x a +=-则()f x 的图象以x a =为图象的对称轴，应注意二者的区别)

证明：

()()f x a f x a -=+

()(2)f x f x a ∴=+

性质5：已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以2a 为周期的函数

证明：()()f a x b f x +=-

(2)(())()(())()f x a f x a a b f x a b b f x f x +=++=-+=--=