2017年上海市高三数学竞赛解答(供参考)
2017年上海市高三数学竞赛（2017.03.26）
解答（供参考）
一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2
－x )] 的定义域是__________，值域是__________ .
【答案】]121(∪)021-[，，，]2
πlg ∞(，-
【提示】求定义域：]10(∈2(2
，－x)x ，求值域：]2
π
0(∈2arcsin(2
，－x)x .
2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12
＋a n 2
＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ，
n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ .
【答案】a n = (3n －4)2
或者 (3n －2)2
【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。
归纳得：a n = (3n －4)2
或者 (3n －2)2
（数学归纳法证明 / 代入检验略）。
（方法二）严格推导（注意舍去增根）
原方程变形可得：a n +12
－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2
－18a n ＋81 = 0 ； 由求根公式可得：21
+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ；
开方可得：
|3±|=1+n n a a ；
计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49， 由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *
时，3±=1+n n a a ，
进而
3=1+＋n n a a ，（小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）；
可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。
3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ .
【答案】2
2
6＋
【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。
4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4张，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ .
【答案】
1260
253
【提示】分类讨论：第一位是0，第一位是1，第一位是2（2013～2016）。
1260253
=42=4
10
39P P p ＋ .
5、设1
2
11=)(2＋＋＋x x x f ，则)°89(tan )°2(tan )°1(tan f f f ＋＋＋ = __________ .
【答案】2
267
【提示】（方法一）运用数列“逆序求和法” 计算
)]θ°90[tan()θ(tan －＋f f
1
θcot 21θcot 11θtan 21θtan 1=22＋＋＋＋＋＋＋ 3=21=θ
tan 1θtan 2θtan 1θtan 1θtan 21θtan 1=222＋＋＋＋＋＋＋＋ . 记)°89(tan )°2(tan )°1(tan =f f f S ＋＋＋ ， 则)°1(tan )°88(tan )°89(tan =f f f S
＋＋＋ .
两式相加可得：89×3=2S ，可得原式的值为2
267
.
（方法二）严格推导（三角函数＋数列分组求和法）
计算θcos θsin θ
cos 2θcos θsin θcos =1θtan 21θtan 1=)θ(tan 2222＋＋＋＋＋＋f θcos 2θ
cos θsin θcos =θcos θsin θcos 2θcos θsin θcos =22
22＋＋＋＋＋ .
综上，原式
)°89cos 2°89cos °89sin °89cos ()°1cos 2°1cos °1sin °1cos (=22
＋＋＋＋＋＋ )°1sin 2°1sin °1cos °1sin ()°1cos 2°1cos °1sin °1cos (=22＋＋＋＋＋＋ 2
267=
121132=)°45sin 2°45sin °45cos °45sin (44×)21(=2
＋＋＋＋＋＋ .
6、设集合A = {a 1，a 2，a 3}是集合{1，2，……，16}的子集， 满足a 1＋7 ≤ a 2＋4 ≤ a 3，则这样的子集A 共有__________个。 【答案】165
【提示】穷举法。对于a 2的值分类讨论：a 2 = 4，5，……，12，分别有：1×
9，2×8，……，9×1种可能，符合题意的子集A 共有： S = 1×9＋2×8＋3×7＋……＋9×1
9=9
1
=91
=|]6
)
12)(1()1(5[=)10(=)10(=
∑∑n n 2n n n n n n n n n n ＋＋－
＋－－
165=285450=6
19
×10×910×9×5=－－ .
7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3)，B (2，3)，及圆C ：
2
15=)1()(222a
y a x ＋＋＋－，若线段AB （包括端点A ，B ）在圆C 的外部，
则实数a 的取值范围是__________ .
【答案】)∞+64(∪)2∞-(，＋，
【提示】（方法一）数形结合＋分类讨论 1）若a = 0，符合题意；
2）若a < 0，圆心C(a ，-1)在第三象限。此时只需点A 在圆C 外即可符合题意；（恒符合题意）
3）若0 < a < 2，圆心C(a ，-1)在第四象限，而且在线段AB 的正下方。此时只需圆C 的半径r < 4即可符合题意；解得0 < a <
2 ；
4）若a ≥ 2，圆心C(a ，-1)在第四象限。此时只需点B 在圆C 外即可符合题意； 解得a >64＋
.
综上所述，实数a 的取值范围是)∞+64(∪)2∞
-(，＋， .
（方法二）转化成不等式恒成立问题＋分类讨论
在线段AB 上任取一点P (t ，3)，t ∈[0，2]，由题意，点P 恒在圆C 外，因此：
2
15>)13()(2
22a a t ＋＋＋－，即12>)(22
－－a a t 对任意t ∈[0，2] 恒成立。 对实数a 的值分类讨论可得：
1）如果0<122
－a ，即2<<2a -，原不等式恒成立，符合题意； 2）如果0=12
2
－a ，即2=-a 或者2=a ； 2.1）若2=-a ，代入得0>)2(2＋t ，对任意t ∈[0，2]恒成立，符合题意； 2.2）若2=
a ，代入得0>)2(2－t ，当2=t 时该不等式不成立，舍去；
3）如果0>12
2
－a ，即2<-a 或者2>a ； 3.1）若2<-a ，则t －a > 0，因此12>2－－a a t ，可得12>2
－＋a a t ，
分子有理化可得：1
2
12>22
－－＋a a a t ，对任意t ∈[0，2] 恒成立，符合题意；
3.2）若
2<<2a ，则t －a > 0，因此12
>2
－－a a t ，可得 12>2－＋a a t ，2>12
2
－＋a a ，该不等式对任意t ∈[0，2] 不恒成立，
不符合题意，舍去；
3.3）若a ≥ 2，则t －a < 0，因此12>2－－a t a ，可得12<2
－－a a t ，
12
<22
－－a a 对任意t ∈[0，
2]恒成立，a 2－8a ＋10 > 0，解得64>＋a 。 综上所述，实数a 的取值范围是)∞+64(∪)2∞
-(，＋， .
8、一串“＋”、“－”号排成一行，从左向右看，就会产生“变号”。例如，＋＋－＋－－＋，其中有4次“变号”，若有10个“＋”号与6个“－”号 排成一行，产生7次“变号”，则这种排列共有__________种。 【答案】672
【提示】由于是否变号仅看“＋”、“－”号是否从左向右交替出现。 考虑“－”号有几组（连续的“－”号算作一组，用【－】表示）：
要产生7次“变号”，必须出现4组“－”号，与“＋”号组（用【＋】表示）的相对位置有如下两种情况： （1）【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】 （2）【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】
将6个“－”号分成4组，亦有两种情况：（3＋1＋1＋1），（2＋2＋1＋1） 1）－－－【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】 由插杠法可得：84=3
9
C ；
2）－【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】
由插杠法可得：252=3×84=1
33
9C ·
C ；
3）【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】－－－
由插杠法可得：84=3
9
C ；
4）【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】－
由插杠法可得：252=3×84=1
33
9C ·
C ；
综上所述，共有2(84＋252) = 672种。
二、解答题：（本大题满分60分，每题15分）
9、已知数列{}n a 的各项均为正实数，a 1 = 1，而且对于一切正实数n ，均有
)(2=211+n n n a a a a a ＋＋＋ .
（1）证明：数列{}n a 的每一项都是完全平方数； （2）证明：9 | a 100 .
【答案】证明：（1）当n ≥ 2，n ∈N *
时，)(2=1211-n -n n a a a a a ＋＋＋ ；
两式相减可得：n -n n n n a a a a a 2=11+－，进而n -n n a a a 2=11+－ ；
换元法设n n a b =，可得n -n n b b b 2=11+－（n ≥ 2，n ∈N *）；
又1==11
a b ，把n = 2代入原等式计算得a 2 = 4，因此2==22a b ，
由11
+2=-n n n b b b ＋（n ≥ 2，n ∈N *）易知：
对于任意n ≥ 3，n ∈N *
，恒有：数列{b n }单调递增，而且每一项都是正整数。 所以，对于任意n ∈N *
，数列{b n }的每一项都是正整数， 而2
=n n
b a ，所以数列{}n a 的每一项都是完全平方数，得证。
（2）由11
+2=-n n n b b b ＋（n ≥ 2，n ∈N *）可得：
])12()[12(=)12(11+-n n n n b b b b －＋＋－＋，
易证数列})12(
{1-n n b b －＋构成一个以12=)12(12＋－＋b b 为首项，
12＋为公比的等比数列，可得11)12(=)12(-n -n n b b ＋－＋，可得： ])12(42)[12(=)12(4211-n -n n
n b -b ＋－－＋－，易证数列
})12(42{n n b ＋－构成一个以4
22=)12(421
1－＋－b 为首项，
21－为公比的等比数列，可得n -n n b )12(4
2)21(422=1
＋＋－－，
即])21()21[(42=n
n n b －－＋，进而2])21()21[(8
1=n n n a －－＋； 故250502
100100100])223()223[(8
1=])21()21[(81=－－＋－－＋a
225252525]})223()223[(])223()223{[(8
1
=－－＋－＋＋·
×]})22(3)22(33[2{8
1=2241242522322525025C C C ＋＋＋ 2252525322325124125]})22()22(3)22(3[2{C C C ＋＋＋
×]})22()22(33[3{×2=224242522222524025C C C ＋＋＋ ])22()22(3)22(3[252525322325124125C C C ＋＋＋
×]})22()22(33{[2×9=224242522222524025C C C ＋＋＋ ])22()22(3)22(3[252525322325124125C C C ＋＋＋
综上所述，9 | a 100 .
10、给定正实数a ，若复数ti
a z ＋1
=（这里i 是虚数单位，t 是实参数）满足
| z －i | 的最大值是2，求a 的值。
【答案】3
2
=a
【提示】（方法一）数形结合复数（模）的几何意义＋解析几何轨迹方程
由已知，i t
a t
t a a t a ti a ti a z 222＋－＋＋－＋222==1=
；
设复数z 在复平面内对应的点是P (x ，y )，那么)(=)(2222t a t
t a a y x ＋，＋，
消t 可得，0=2
x y a ax 2
－＋，配方可得2241=)21(a
y a x 2
＋－（原点除外）； 由已知 | z －i | 的最大值是2，说明：在复平面内点P 到点Q (0，1) 的距离的
最大值是2，可知：圆2241=)21(a
y a x 2
＋－和圆x 2＋(y －1)2 = 2内切。 列式得a a 212=)10()021(2
2－－＋－，解得3
2=a .
（方法二）复数的四则运算、模公式＋求分式函数值域
由已知，i t a t
t a a t a ti a ti a z 222222==1=
＋－＋＋－＋ ； 所以|)1(|=||2222i t
a t
t a a i z ＋＋－＋－ 4
24222342422222
22222222=
)()(=t a a t
a t a t a t t a t
a t
t a t a a ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋2
222242242223)
()
12)((1=2221=t a t a t t t a a a t a t t ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ 221
21=a
t t ＋＋＋ .
对参数a 的值分类讨论可得：
1）如果2t ＋1 = 0，即21
=-t ，此时1=||i z － ；
2）如果2t ＋1 < 0，即21
<-t ，此时1<||i z － ；
3）如果2t ＋1 > 0，即2
1
>-t ，此时：
41)12(21)12(41121=121=||2
222＋＋＋－＋＋＋＋＋＋－a t t t a t t i z ； 1241214121
1=||2
＋＋＋
－＋＋
－t a t i z ； 由基本不等式可得：1
24
14122
＋＋＋
＋t a t ≥ 4
1
=124141222
2
＋＋＋＋a t a ·t ；
（当且仅当1
24
1
=
4122＋＋＋t a t ，即2
1
14=
2－＋a t 时取等号）
进而1
241
214122
＋＋＋
－＋t a t ≥ 2
1
412
－＋a ；
取倒数可得：0 <
124
1214121
2
＋＋＋－＋t a t ≤
2
1411
2
－
＋a ；
故1 < 1
24121412112＋＋＋
－＋＋t a t ≤ 21411
12－＋＋
a ； 所以1 <
||i z － ≤
2
1411
12
－
＋＋
a ；
综合1）2）3）可知2=2
1411
1=m ax ||2
－
＋＋－a i z ，解得32=a .
11、求满足2n cos20° cos40° …cos(2n
·10°) = 1 的所有正整数n . 【答案】n = 6t －3，t ∈N *
【提示】
1=20sin )
102cos(40cos 20cos 20sin 2°
°·°°° n n ； 1=20sin )102cos(40cos 40sin 21
2°
°·°°· n n
；
1=20sin )
102cos(80cos 80sin )21(22°
°·°°· n n
；
……
1=20sin )
2°102sin()21(2°
··· n n n
； 去分母可得：°·n
20sin =)°202
sin( ；
解三角方程可得：2n
·20° = 20°＋360°·k （k ∈Z ）或者
2n ·20° = 180°－20°＋360°·k （k ∈Z ）；
化简得：2n
= 1＋18k （k ∈Z ）或者2n
= 8＋18k （k ∈Z ）； 前者由于2n 是偶数，1＋18k 是奇数，等号不成立，舍去； 所以2n
= 8＋18k （k ∈Z ），即2
n-1
= 4＋9k （k ∈Z ）；
反表示可得：9
1
644=91
24=9424=942=63
331－－－－-n -n -n -n ·
··k ；
当且仅当6
3－n 是非负整数，即n = 6t －3，t ∈N *
时，k 是整数，n 是正整数；
（其余情况可以用余数定理来判断均不符合题意，过程略） 综上所述，所求正整数n = 6t －3，t ∈N *
.
12、将5×5矩阵的每个元素都取成1，2，3，4，5这5个数之一，要求每行的5个元素互不相等，而对任意相邻两行，恰存在一个k ∈{1，2，3，4，5}，使得这两行在第k 列上的元素相等。
此时，若矩阵中存在某一列上相邻的3个元素相等，则称该矩阵为“有趣的”；否则，若任意一列上都不出现相邻的3个元素相等，则称该矩阵为“无趣的”。试比较有趣的矩阵的个数x 与无趣的矩阵的个数y 的大小。 【答案】x < y （x = 240132600，y = 251942400） 【提示】对于同一列上相邻的相等元素的个数展开分类讨论： 1）同一列上相邻的5个元素相等：
3936600=9=44415151·P C C x ；
2）同一列上相邻的4个元素相等：（分成R 1~4和R 2~5两种情况，种数相等）
31492800=)99(2=1
434415152·C ··P C C ·x ；
3）同一列上相邻的3个元素相等：（分成仅R 1~3、仅R 3~5、R 2~4、 既R 1~3又R 3~5四种情况，前两种情况的种数相等）
125971200=)999(2=1
41424415153·C ··C ··P C C ·x ；
62985600=999=1
42144415154·C ···C ·P C C x ；
15746400=99=21424415155·C ··P C C x ；
4）任意一列上都不出现相邻的3个元素相等：（即“无趣的”矩阵的个数y ） 【求法】用总数减去上述1）、2）、3）的情况数
251942400
=240132600492075000=)()9(=5432141
555－＋＋＋＋－x x x x x ·C ·P y
综合1）2）3）4）可得：x < y （x = 240132600，y = 251942400）.
2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析
2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -=． 7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? ． （1）求证：1()2 A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数． 11．设,,, abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值．
2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷 有答案
2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是． 2．设i为虚数单位，复数，则|z|=． 3．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=． 4．=． 5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是． 6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则=． 7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是． 8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为． 9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是． 10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为． 11．设等差数列{a n}的各项都是正数，前n项和为S n，公差为d．若数列也是公差为d的等差数列，则{a n}的通项公式为a n=． 12．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数（如[2.32]=2，[﹣4.76]=﹣5），对于给定的n∈N*， 定义C=，其中x∈[1，+∞），则当时，函数f（x）=C的值域是． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．命题“若x=1，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（） A．若x≠1，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=1
2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题 时间：2小时，满分：120分 姓名 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 ． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x = ． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则 ABF ?面积的最大值为 ． 4．设集合 111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则 1263p p p +++= ． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -= ． 7．在三棱锥P ABC - 中，已知1,AB AC PB PC ====，则22ABC PBC S S ??+的 取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为 21(1,2,,2018)4k a k =，这里12201812018a a a >>>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017) k =，则1a = ． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =?． （1）求证：1()2A B C A B C ≥++（这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数．
上海市高三数学竞赛解答 供参考
2017年上海市高三数学竞赛（）解答（供参 考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域： ]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 计算可得：
归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2－18a n ＋81 = 0 ； 由求根公式可得：2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得：|3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49，
由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *时，3±= 1+n n a a ， 进而3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9 ，从中任意
2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．
2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)
2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 （2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30） 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞，则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1 2121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2, ,2009}A =，集合L A ?， 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤，都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。 10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P 11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的 子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切
新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开
2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.
2017年上海市高三数学竞赛解答(供参考)
2017年市高三数学竞赛（2017.03.26）解答 （供参考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2 －x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域：]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12 ＋a n 2 ＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 （数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12 －(2a n ＋18)a n +1＋a n 2 －18a n ＋81 = 0 ；
由求根公式可得：21+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得： |3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49， 由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N * 时，3±=1+n n a a ， 进而 3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ . 【答案】1260 253 【提示】分类讨论：第一位是0，第一位是1，第一位是2（2013～2016）。
2016年上海市高中数学竞赛试题及答案
2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数 ()2f x 的解析式为 ． 答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()2 1f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ，得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ． 答案：2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22 1a b +=， ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=，于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 答案：2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=，所以arctan 2arctan 22 x x π -+= ， 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ，则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．
2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷(5月份)(解析版)
2017年市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份） 一.填空题 1．函数f（x）=lnx+的定义域为． 2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为． 4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一记下后放回，再随机抽取一记下，则两次抽取的卡片中至少有一个为偶数的概率为． 6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f （x）在区间上单调递减，则m的最小值为． 7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为． 8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是． 9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则?的值为．
11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ． 12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是． 二.选择题 13．直线（t为参数）的倾角是（） A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2 14．“x＞0，y＞0”是“”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（） A．B．C．2+D．1+ 16．对数列{a n}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣ 2+…+λk a n成立，其中n∈N *，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；
2017年上海市高考数学模拟试卷-Word版含解析
2017年上海市高考数学模拟试卷 、填空题(本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分) 1 ?计算: 2 ?设函数f (x)二五的反函数是fT (X),则fT ( 4) 3. 已知复数二.K：乜(i为虚数单位)，则| z| = ______ . 4. 函数f (x)=sinx+Vs p cosx,若存在锐角B满足f ( 0) =2,贝U 0= _____ . 5. 已知球的半径为R,若球面上两点A, B的球面距离为」，则这两点A, B 间的距离为 6. ________________________________________________________________ 若(2+x) n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256,贝U正整数n= _______ . 7. 设k为常数，且-、-三：——-、「?！*,则用k表示sin2 a勺式子为sin2 a三_ . 2 * —.—. 8. 设椭圆丄「, ?二：的两个焦点为Fi, F2, M是椭圆上任一动点，贝U 11 .-1! -的 取值范围为—. 9. 在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c,若-J- ：;i.. , sinC=2 sinB,则A角大小为—. 10. ____________________________________________________________ 设f (x) =lgx,若f (1 - a)- f (a)> 0,则实数a的取值范围为___________________ . 11. __________________________________________________________ 已知数列｛a n｝满足：a1=1, a n+1+a n= (=) n, n€ N*，贝则二［匸严= __________ . 12. 已知△ ABC的面积为360,点P是三角形所在平面内一点，且则厶PAB的面积为 二、选择题(本大题满分20分) 13. 已知集合A={x| x>- 1}，贝U下列选项正确的是( ) 15.图中曲线的方程可以是( )
2016年上海市高三数学竞赛试卷答案
2016年上海市高三数学竞赛试卷 2016年3月27日上午9：30～11：30 【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上. 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像和函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像和函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的分析式是 ． 2．复数z 满足|z |=1, w=3z 222 z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ． 3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 1 2 - (a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ． 6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示） 7. 在空间，四个不共线的向量OA 、OB 、 OC 、OD ,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ． 8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ． 二、解答题（本大题满分60分） 9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ； A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 E 1
上海市高中数学竞赛
上海市高中数学竞赛 说明：解答本试题不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分） 1.方程组2 71211x x y x y ++?=??+=??的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动（点A 在点B 的左边）,点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 . 3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r = 4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则 AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C 的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x －1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 . 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组. 7.已知圆C 的方程为x 2+y 2－4x －2y +1=0（圆心为C ）,直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 . 二、解答题： 9.（本题满分为14分）对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x , 使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }. 10. （本题满分为14分）如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且
2017年上海市高考数学真题卷
2017年上海市高考数学真题卷
2017年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知集合}{}{1,2,3,4,3,4,5A B ==,则A B = I . 【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题 【答案】}{3,4 2.若排列数6 P 654 m =??,则m = . 【解析】本题考查排列的计算，属于基础题 【答案】3 3.不等式1 1x x ->的解集为 . 【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题 【答案】(),0-∞
4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 . 【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念， 34 3633 R R ππ=?=, 所以2 9S R ππ ==，属于基础题 【答案】9π 5.已知复数z 满足30z z +=，则z = . 【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模， 23 03z z z + =?=-设z a bi =+， 则2 2230,3a b abi a b i -+=-?==, 22 z a b +属于基础题 36.设双曲线()22 2109x y b b -=>的焦点为1 2 F F 、,P 为该双曲线上的 一点.若1 5 PF =,则2 PF = . 【解析】本题考查双曲线的定义和性质，1 226 PF PF a -==（舍），2 122611 PF PF a PF -==?= 【答案】11 7.如图，以长方体11 1 1 ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的 三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若 1 DB u u u u r 的坐标为(4,3,2),则 1 AC u u u u r 的坐标是 .
2007 年新知杯上海市初中数学竞赛
2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.
2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题 时间：2小时，满分：120分 姓名 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 ． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x = ． 3．已知椭圆2222 1(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为 ． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263 ,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++= ． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -= ． 7．在三棱锥P ABC -中，已知3,1,2AB AC PB PC ====则22ABC PBC S S ??+的取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为2 1(,)4k k k A a a ，半径为2 1 (1,2,,2018)4k a k =，这里12201812018a a a >>>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k =，则1 a = ．
2017年上海秋季高考数学试卷(含答案)
A D A 1 D 1 C 1 C B 1 B y z x 2017年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（满分150分，时间120分钟） 一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1 6题每题4分，712题每题5分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分. 1. 已知集合{1A =，2，3，}4，{3B =，4，}5，则A B = . 2. 若排列数6654m P =??，则m = . 3. 不等式 1 1x x ->的解集为 . 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积为 . 5. 已知复数z 满足3 0z z + =，则||z = . 6. 设双曲线22 2 1(0)9x y b b -=>的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF = . 7. 如图所示，以长方体1111ABCD A BC D -的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的 坐标为(4，3，2)，则1AC 的坐标为 . 8. 定义在(0，)+∞的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若函数 31 0()() x x g x f x x ?-≤=? >?为奇函数，则方程1()2f x -=的解为 . 9. 给出四个函数：①y x =-；②1y x =-；③3 y x =；④1 2y x =，从其中任选2个，则 事件A ：“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率是 . 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n N *=∈，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对 于任意n N * ∈，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则 148161234() () lg b b b b lg b b b b = .
奥数-2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
A F P E C B 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ?b=a (a +b ) +b, 已知a ?2.5=28.5，则实数a 的值是 。 【答案】4，132 - 2、在三角形ABC 中，2 2 b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94 4、已知关于x 的方程4 3 2 2(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 5、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 。 【答案】 25 5 6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610 x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a ? d )( b ? d )的值 。 【答案】2772 7、在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx ?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。 【答案】 13 32 k << 8、方程xyz =2009的所有整数解有 组。 【答案】72 9、如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。 【答案】21°
2017年高考数学上海卷含答案
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页） 绝密★启用前 上海市2017年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共150分.考试时长120分钟. 一、填空题：本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分. 1.已知集合{1,2,3,4}A =，{3,4,5}B =，那么A B = . 2.若排列数6654m P =??，则m = . 3.不等式1 1x x -＞的解集为 . 4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 . 5.已知复数z 满足3 0z z +=的定义域为 . 6.设双曲线2221(0)9x y b b -=＞的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF = . 7.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标是 . 8.定义在(0,)+∞上的函数()y f x =反函数为1 ()y f x -=，若31,0 ()(),0 x x g x f x x ?-=??≤＞为奇函 数，则1()2f x -=的解为 . 9.已知四个函数：①y x =-，②1 y x =-，③3y x =，④1 2y x =，从中任选2个，则事件 “所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 10.已知数列 {}n a 和{}n b ，其中2 n a n =，n ∈* N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对 于任意n ∈*N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 14916 1234lg() lg() b b b b b b b b == . 11.设1a 、2a ∈R ，且1211 22sin 2sin(2) a a +=++，则12|10π|a a --的最小值等 于 . 12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合1234{P ,P ,P ,P }Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧．用1D （P l ）和2D （P l ）分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和．若过P 的直线P l 中有且只有一条满足1D （P l ）2D =（P l ） ，则Ω中所有这样的P 为 . 二、选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13.关于x 、y 的二元一次方程组50 234x y x y +=??+=? 的系数行列式D 为 （ ） A .0543 B .1024 C .1523 D . 60 54 14.在数列{}n a 中，12n n a ?? =- ??? ，n ∈*N ，则lim n n a →∞ （ ） A .等于12- B .等于0 C .等于1 2 D .不存在 15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，n ∈*N ，则“存在k ∈*N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是 （ ） A .0a ≥ B .0b ≤ C .0c = D .20a b c -+= 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364 x y C +=和22 2:19y C x + =．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ 的最大值．记{(,)}P Q Ω=，P 在1C 上，Q 在 2C 上，且OP OQ w =，则Ω中元素个数为 （ ） A .2个 B .4个 C .8个 D .无穷个 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------