完整word版苏科八年级数学下册第二学期期末考试试题
完整word版苏科八年级数学下册第二学期期末考试试题
一、解答题
1．如图，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF 交BD于O．
（1）求证：EO=FO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．
2．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；
（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DFA的大小；
（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．
3．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．
5．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数
n1001502005008001000
摸到黑球的次数m233160*********
摸到黑球的频率m
n
0.230.210.300.260.253
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率
是；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数．
6．如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,AB// OC,点B,C的坐标分别为（15,8）,（21,0）,动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动;动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动．M,N同时出发,设运动时间为t秒．
（1）在t＝3时,M点坐标,N点坐标;
（2）当t为何值时,四边形OAMN是矩形？
（3）运动过程中,四边形MNCB能否为菱形？若能,求出t的值;若不能,说明理由．
7．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，
PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是
否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P 在DB 的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
8．计算： （1）
2354535
?； （2）()22360,0x y xy x y ≥≥；
（3）
(
)
48274153-+÷．
9．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k 的值；
(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．
10．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在菱形ABCD 的对角线BD 上．
（1）求证：BG =DE ；
（2）若E 为AD 中点，FH =2，求菱形ABCD 的周长．
11．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BC ，AC ＝2，BC ＝3．点E 是BC 延长线上一点，且CE ＝3，连结DE ． （1）求证：四边形ACED 为矩形． （2）连结OE ，求OE 的长．
12．商店把进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，物价局规定该商品的利润率不得超过60%，问商店应将售价定为多少，才能使每天所得利润为640元？商店应进货多少件？ 13．阅读下列材料：
已知：实数x 、y 满足22
320.25
x x
y x x +=++(0.75)x ≠-，求y 的最大值． 解：将原等式转化成x 的方程，得2
1
(3)(2)04
y x y x y -+-+
=①． 若3y =，代入①得0.75x =-，
0.75x ≠-，
3y ∴≠，因此①必为一元二次方程．
21
(2)4(3)404
y y y y ∴?=---?
=-+≥，解得4y ≤，即y 的最大值为4． 根据材料给你的启示，解决下面问题：
已知实数x 、y 满足22
32
21
x x y x x ++=++15x ??≠- ??
?，求y 的最小值．
14．如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且
PB PE =，连接PD ，O 为AC 中点．
（1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，并说明
理由；
（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
15．已知ABC ?是边长为8cm 的等边三角形，动点,P Q 同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，他们的运动时间为()t s ．
()1如图1，若P 点由A 向B 运动，Q 点由C 向A 运动，他们的速度都是1/cm s ，连接
PQ ．则AP =__，AQ = ，（用含t 式子表示）；
()2在(1)的条件下，是否存在某一时刻，使得APQ ?为直角三角形？若存在，请求出t 的
值，若不存在，请说明理由；
()3如图2，若P 点由A 出发，沿射线AB 方向运动，Q 点由C 出发，沿射线AC 方向运
动，P 的速度为3/,cm s Q 的速度为．/acm s 是否存在某个a 的值，使得在运动过程中
BPO ?恒为以BP 为底的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．
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一、解答题
1．（1）见解析；（2）AE ＝3． 【分析】
（1）由平行四边形的性质和AAS 证明△OBE ≌△ODF ，得出对应边相等即可； （2）先证出AE=GE ，再证明DG=DO ，得出OF=FG=1，即可得出结果． 【详解】
（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ， ∴∠OBE =∠ODF ． 在△OBE 与△ODF 中，
OBE ODF BOE DOF BE DF ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△OBE ≌△ODF （AAS ）． ∴EO =FO ；
（2）∵EF ⊥AB ，AB ∥DC ， ∴∠GEA =∠GFD =90°． ∵∠A =45°， ∴∠G =∠A =45°． ∴AE =GE ，
∴∠ADB =∠GDO =90°． ∴∠GOD =∠G =45°． ∴DG =DO ， ∴OF =FG =1，
由（1）可知，OE =OF =1， ∴GE =OE +OF +FG =3， ∴AE =3． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键． 2．（1）10°；（2）135DFA α∠=?-；（3）∠BEA ＝∠FEA ，理由见解析 【分析】
（1）根据正方形的性质和三角形的内角和解答即可； （2）根据正方形的性质和三角形内角和解答即可；
（3）延长CB 至I ，使BI ＝DF ，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠EBA ＝∠BAD ＝90°，
∴∠EAB ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣55°＝35°，
∴∠HAD ＝∠BAD ﹣∠EAF ﹣∠EAB ＝90°﹣45°﹣35°＝10°； （2）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠EBA ＝∠BAD ＝∠ADF ＝90°， ∴∠EAB ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣α，
∴∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ﹣∠EAB ＝()90459045αα?-?-?--?＝， ∴∠DFA ＝90°﹣∠DAF ＝()9045α?--?＝135°﹣α； （3）∠BEA ＝∠FEA ，理由如下：
延长CB 至I ，使BI ＝DF ，连接AI ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABC ＝90°， ∴∠ABI ＝90°，
∴△DAF ≌△BAI （SAS ）， ∴AF ＝AI ，∠DAF ＝∠BAI ，
∴∠EAI ＝∠BAI +∠BAE ＝∠DAF +∠BAE ＝45°＝∠EAF ， 又∵AE 是△EAI 与△EAF 的公共边， ∴△EAI ≌△EAF （SAS ）， ∴∠BEA ＝∠FEA ． 【点睛】
本题主要考查正方形的性质、三角形外角性质及全等三角形，关键是根据正方形的性质及外角和性质得到角之间的关系，然后求解． 3．（1）483
y x =-+；见解析；（2）()6,5D ；见解析；（3）12或69
4，见解析．
【分析】
（1）利用矩形的性质，求出点A 、C 的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝，即可求解； （3）①当EC ＝EO 时，ON ＝
12OC ＝4＝EM ，则△OEA 的面积＝1
2
×OA ×EM ；②当OE ＝OC 时，利用勾股定理得：22222NE EC CN EO ON ＝﹣＝﹣，求出ON ＝23
4
，进而求解． 【详解】
解：（1）∵点B 的坐标为()68，
且四边形OABC 是矩形， ∴点A 、C 的坐标分别为()()6008，、，
， 设AC 的表达式为y kx b +＝，
把A 、C 两点的坐标分别代入上式得608k b b +=??=?，解得438
k b ?
=-
???=?，
∴直线AC 所表示的函数的表达式4
83
y x =-
+； （2）∵点A 的坐标为()60，
，点C 的坐标为()08，， ∴OA ＝6，OC ＝8．
∴Rt △AOC 中，AC
， ∵四边形OABC 是矩形， ∴∠B ＝90°，BC ＝6，AB ＝8， ∵沿CD 折叠，
∴∠CED ＝90°，BD ＝DE ，CE ＝6，AE ＝4， ∴∠AED ＝90°，
设BD ＝DE ＝a ，则AD ＝8﹣a ，
∵Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝， ∴()2
2248a a +-＝，解得a ＝3，
∴点D 的坐标为()65，
； （3）
过点E 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵EN ⊥OC ，EM ⊥OA ，OC ⊥OA ， ∴∠ENO ＝∠NOM ＝∠OME ＝90°， ∴四边形OMEN 是矩形， ∴EM ＝ON ． ①当EC ＝EO 时， ∵EC ＝EO ，NE ⊥OC ， ∴ON ＝
1
2
OC ＝4＝EM ， △OEA 的面积＝
12×OA ×EM ＝1
2
×6×4＝12； ②当OE ＝OC 时， ∵EN ⊥OC ，
∴∠ENC ＝∠ENO ＝90°， 设ON ＝b ，则CN ＝8﹣b ，
在Rt △NEC 中，222NE EC CN -＝， 在Rt △ENO 中，222NE EO ON -＝， 即()2
222688b b ---＝， 解得：b ＝
234， 则EM ＝ON ＝
234
， △OEA 的面积＝
12×OA ×EM ＝1
2×6×234
＝694； 故△OEA 的面积为12或69
4
． 【点睛】
本题主要考查矩形的性质与判定、勾股定理及一次函数，关键是灵活运用知识点及函数的
性质，求线段的长常用勾股定理这个方法． 4．（1）见解析；（2）152
【分析】
（1）由矩形的性质得到AB ∥CD ，再根据平行线的性质得到∠DFO=∠BEO 再证明△DOF ≌△BOE ，根据全等三角形的性质得到DF=BE ，从而得到四边形BEDF 是平行四边形；
（2）先证明四边形BEDF 是菱形，再得到DE=BE ，EF ⊥BD ，OE=OF ，设AE=x ，则DE=BE=8-x 根据勾股定理求解即可． 【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ， ∴∠DFO ＝∠BEO ． 在△DOF 和△BOE 中
DFO BEO DOF BOE OD OB ∠∠??
∠∠???
＝＝＝ ， ∴△DOF ≌△BOE(AAS )． ∴DF ＝BE ．
又∵DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． (2)解：∵DE ＝DF ，四边形BEDF 是平行四边形， ∴四边形BEDF 是菱形． ∴DE ＝BE ，EF ⊥BD ，OE ＝OF ． 设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝8－x ，
在Rt △ADE 中，根据勾股定理，有AE 2＋AD 2＝DE 2， ∴x 2＋62＝(8－x)2．解得x ＝74
． ∴DE ＝8－
74
＝254． 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，有AB 2＋AD 2＝BD 2， ∴BD
＝10． ∴OD ＝
1
2
BD ＝5． 在Rt △DOE 中，根据勾股定理，有DE 2－OD 2＝OE 2，
∴OE
＝154． ∴EF ＝2OE ＝
15
2
．
【点睛】
考查了菱形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质．
5．（1）0.25；（2）3个．
【分析】
（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；（2）列用概率公式列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）251÷1000＝0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
（2）设袋中白球为x个，
1
＝0.25，解得x＝3．
1x
答：估计袋中有3个白球，
故答案为：（1）0.25；（2）3个．
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
6．（1）（3,8）;（15,0）;（2）t＝7;（3）能,t＝5．
【分析】
（1）根据点B、C的坐标求出AB、OA、OC,然后根据路程＝速度×时间求出AM、CN,再求出ON,然后写出点M、N的坐标即可;
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,当AM＝ON时,四边形OAMN是矩形,然后列出方程求解即可;
（3）先求出四边形MNCB是平行四边形的t值,并求出CN的长度,然后过点B作BC⊥OC于D,得到四边形OABD是矩形,根据矩形的对边相等可得OD＝AB,BD＝OA,然后求出CD,再利用勾股定理列式求出BC,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行验证．
【详解】
解：（1）∵B（15,8）,C（21,0）,
∴AB＝15,OA＝8,
OC＝21,
当t＝3时,AM＝1×3＝3,
CN＝2×3＝6,
∴ON＝OC-CN＝21﹣6＝15,
∴点M（3,8）,N（15,0）;
故答案为：（3,8）;（15,0）;
（2）当四边形OAMN是矩形时,AM＝ON,
∴t＝21-2t,
解得t＝7秒,
故t＝7秒时,四边形OAMN是矩形;
（3）存在t＝5秒时,四边形MNCB能否为菱形．
理由如下：四边形MNCB是平行四边形时,BM＝CN,
∴15-t＝2t,
解得：t＝5秒,
此时CN＝5×2＝10,
过点B作BD⊥OC于D,则四边形OABD是矩形,
∴OD＝AB＝15,BD＝OA＝8,
CD＝OC-OD＝21-15＝6,
在Rt△BCD中,BC＝22
BD CD
＝10,
∴BC＝CN,
∴平行四边形MNCB是菱形,
故,存在t＝5秒时,四边形MNCB为菱形．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合以及矩形的性质,平行四边形与菱形的关系,梯形的问题、勾股定理等知识,根据矩形、菱形与平行四边形的联系列出方程是解题的关键．
7．（1）AP=EF，AP⊥EF，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）正方形中容易证明∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，利用AAS证明
△AMO≌△FOE.(2) （3）按照（1）中的证明方法证明△AMP≌△FPE（SAS），结论依然成立.
【详解】
解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF,
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB 交PF 于H ，证法与（2）完全相同．
【点睛】
利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的特殊图形，不管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键. 8．（1）6；（2）32xy ；（3）5 【分析】
（1）利用二次根式的乘法法则运算； （2）利用二次根式的乘法法则运算； （3）利用二次根式的除法法则运算． 【详解】 （12354535
＝
23×3
5545?＝6；
（2()22360,0x y
xy x y ≥≥
2*236x y xy ＝32xy （3）
48274153
4832734153÷÷÷ ＝4﹣5＝5 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根
式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 9．(1)k ＝1；(2)证明见解析. 【分析】
（1）把x ＝1代入方程，即可求得k 的值； （2）求出根的判别式是非负数即可. 【详解】
(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0， 1﹣k ﹣3+3k ＝0 解得k ＝1； (2)证明：
1,(3),3a b k c k ==-+= 24b ac ?=-
∴ △＝(k +3)2﹣4?3k ＝(k ﹣3)2≥0，
所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键. 10．(1)详见解析；(2)8 【分析】
（1）先根据矩形的性质、平行线的性质得出,FG HE GFH EHF =∠=∠，再根据邻补角的定义可得BFG DHE ∠=∠，又根据菱形的性质、平行线的性质可得
GBF EDH ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图，连接EG ，先根据矩形的性质可得EG 的长，再根据中点的性质、菱形的性质、题（1）的结论可得四边形ABGE 是平行四边形，从而可得AB 的长，然后根据菱形的周长公式即可得． 【详解】
（1）∵四边形EFGH 是矩形
,//FG HE EH FG ∴=
GFH EHF ∴∠=∠
180,180BFG GFH DHE EHF ∠=?-∠∠=?-∠
BFG DHE ∴∠=∠
∵四边形ABCD 是菱形
//AD BC ∴
GBF EDH ∴∠=∠
在BGF ?和DEH ?中，BFG DHE GBF EDH FG HE ∠=∠??
∠=∠??=?
()
BGF DEH AAS
∴???
BG DE
∴=；
（2）如图，连接EG
∵四边形EFGH是矩形，2
FH=
2
EG FH
∴==
∵四边形ABCD是菱形
,//
AD BC AD BC
∴=
∵E为AD中点
AE DE
∴=
BG DE
=
,//
AE BG AE BG
∴=
∴四边形ABGE是平行四边形
2
AB EG
∴==
∴菱形ABCD的周长为248
?=
故菱形ABCD的周长为8．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
11．（1）见解析（210
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝3，AD∥BC，得到AD＝CE，推出四边形ACED 是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE＝90°，于是得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理得到OC＝1
2
DE＝
1
2
AC＝1，由勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，∵CE＝3，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED 为矩形； （2）解：连接OE ，如图，
∵BO ＝DO ，BC ＝CE ， ∴OC ＝
12DE ＝1
2
AC ＝1， ∵∠ACE ＝90°， ∴OE 22221310OC CE +=+=
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理和勾股定理进行求解． 12．商店应将售价定为12元，才能使每天利润为640元，商店应进货160件． 【分析】
设售价为x 元，则销售量为10200100.5x -?
?-? ???
件，根据利润=数量?每件的利润，每天所得利润为640元列出方程，再根据利润率不得超过60%，即可得出结果． 【详解】
解；设售价为x 元，据题意得10(8)200106400.5x x -?
?
--?= ???
化简得2281920x x -+=， 解得112x =，216x =
又
8860%x -
16x ∴=不合题意，舍去
12x ∴=，
∴1210
200101600.5
--?
=（件）． 答：商店应将售价定为12元，才能使每天利润为640元，商店应进货160件． 【点睛】
本题考查了销售问题的数量关系的运用，不等式的性质的运用，熟悉相关性质是解题的关键．
13．
2316
【分析】
类比阅读材料给出的方法，分类探讨得出函数的最小值即可．
【详解】
解：将原等式转化成关于x 的方程，得：
2(3)(21)(2)0y x y x y -+-+-=①，
若3y =，代入①得15
x =-， ∵15
x ≠-
， ∴3y ≠，因此①必为一元二次方程． ∵3a y =-，21b y =-，2c y =+，
∴2
2
4(21)4(3)(2)0b ac y y y ?=-=----≥， 解得：23
16
y ≥
且3y ≠． ∴y 的最小值为2316
． 【点睛】
本题考查了根的判别式的运用，把函数转化为关于x 的方程，根据系数的取值范围，结合根的判别式，分类探讨得出答案即可．
14．（1）PE PD =且PE PD ⊥，详见解析；（2）猜想成立，详见解析；（3）猜想成立 【分析】
（1）根据点P 在线段AO 上时，利用三角形的全等判定和性质以及四边形内角和定理可以得出PE ⊥PD ，PE=PD ；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD ，由PB=PE ，得出PE=PD ，要证PE ⊥PD ；从三方面分析，当点E 在线段BC 上（E 与B 、C 不重合）时，当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，当点E 在BC 的延长线上时，分别分析即可得出； （3）根据题意作出图形，利用（2）中证明思路即可得出答案． 【详解】
（1）当点P 在线段AO 上时，PE PD =且PE PD ⊥，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴BA DA =，45BAP DAP ∠=∠=?， 在△ABP 和△ADP 中，
45AB AD BAP DAP AP AP =??
∠∠????
＝＝＝， ∴△ABP ≌△ADP ，
∴PB PD =，ABP ADP ∠=∠，CDP CBP ∠=∠， 又∵PB PE =，
∴CBP BEP ∠=∠，PE PD =，
∴BEP CDP ∠=∠， ∵180BEP CEP ∠+∠=?， ∴180CDP CEP ∠+∠=?， ∵正方形ABCD 中，90BCD ∠=?，
∴36090DPE CEP CDP BCD ∠=?-∠-∠-∠=?， ∴PE PD ⊥；
（2）当点P 在线段OC 上时，PE PD =且PE PD ⊥，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴BA DA =，45BAP DAP ∠=∠=?， 又PA PA =，
∴BAP DAP ???(SAS)， ∴PB PD =， 又∵PB PE =， ∴PE PD =，
①当点E 与点C 重合时，PE PD ⊥； ②当点E 在BC 的延长线上时，如图所示， ∵BAP DAP ???， ∴ABP ADP ∠=∠， ∴CDP CBP ∠=∠，
PB PE =，
∴CBP PEC ∠=∠，
∴PEC PDC ∠=∠， ∵12∠=∠，
∴90DPE DCE ∠=∠=?， ∴PE PD ⊥， 综上所述：PE PD ⊥．
∴当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想成立；
（3）当点P 在线段OC 的延长线上时，如图所示，（1）中的猜想成立．
∵四边形ABCD 是正方形，点P 在AC 的延长线上， ∴BA DA =，45BAP DAP ∠=∠=?， 又PA PA =，
∴BAP DAP ???(SAS)， ∴PB PD =， 又∵PB PE =， ∴PE PD =， ∵BAP DAP ???， ∴ABP ADP ∠=∠， ∴CDP CBP ∠=∠，
PB PE =，
∴CBP PEC ∠=∠，
∴PEC PDC ∠=∠， ∵DGC EGP ∠=∠， ∴90DPE DCE ∠=∠=?， ∴PE PD ⊥． 【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线的证明方法，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．．
15．（1）(),6AP tcm AQ t cm ==-；（2）存在，816
3t s s
=
或；（3）存在， 3/a cm s =．
【分析】
（1）根据路程=时间×速度，即可表示出来
（2）要讨论PA AB ⊥，PQ AC ⊥两种情况，即可求出对应的时间
（3）根据BPQ ?以BP 为底的等腰三角形，作QM BP ⊥于M ，用a ，t 的代数式表示出
AP ，CQ ，AQ ，BP 等边长，再根据ABC ?是等边三角形，求出30AQM ?∠＝，从而
得出2AQ AM ＝，讨论P 在线段AB 内运动和P 在AB 外运动两种情况，即可求出结果．