四边形全章知识点与常见题型总结(讲解)

知识点总结

1．平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

这个定义包含两层意义：①四边形；②两组对边分别平行

2．对角线的定义

平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线

3．平行四边形的性质

①从边看：平行四边形的对边平行且相等

②从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补

③从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点4．平行四边形的面积

平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．

5.平行四边形的判别方法

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形

④对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形

6.平行四边形的性质与判定的区别

平行四边形的性质是指平行四边形的边,角,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形

7.矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形是矩形

8.矩形的性质

①具有平行四边形的一切性质

②矩形的四个角都是直角

③矩形的对角线相等

④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴

9.矩形的判定

①有一个内角是直角的平行四边形是矩形

②对角线相等的平行四边形是矩形

③有三个角是直角的四边形是矩形

另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形

10.直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

11.矩形对角线产生的三角形的特点

矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形

12.有关矩形面积的计算

①面积公式:矩形面积=长?宽

②如图.矩形ABCD的两条对角线相交于O,则

1

4 ABO BCO CDO ADO

S S S S S

????

====

矩形ABCD

O

A

B C

D

13.菱形的定义

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

14.菱形的性质

①具有平行四边形的一切性质

②菱形的四条边都相等

③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴

15.菱形的判定方法

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形

③四条边都相等四边形是菱形

16.有关菱形的面积计算

由于菱形的对角线互相垂直平分,

11

()

22

ABD CBD

S S S BD OA OC BD AC ?

=+=+=?

A

B

C D

O

也可以用平行四边形的面积计算公式=底?高

17.正方形的定义

一组邻边相等的矩形叫做正方形

正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形

18.正方形的性质

正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质

①边:四边相等,对边平行

②角:四个角都是直角

③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45?

④正方形是轴对称图形,有四条对称轴

19.正方形的判定

①菱形+矩形的一条特征

②菱形+矩形的一条特征

③平行四边形+一个直角+一组邻边相等

说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判

断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形

20.正方形对角线产生的三角形特点

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形

21.正方形常用的辅助线添加方法

①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题

②有垂直时做垂线构造正方形

③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用

④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件

22.平行四边形,菱形,矩形,和正方形四者之间的关系

一个内角为直角

正方形

菱形

平行四边形

矩形

23.梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形

梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰

梯形的高:梯形两底之间的距离叫做梯形的高

等腰梯形:两腰相等的梯形

直角梯形:一腰垂直于底的梯形

24.梯形的判定

①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行

②一组对边平行但不相等的四边形是梯形

25.等腰梯形的性质

①两底平行,两腰相等

②等腰梯形在同一底上的两个角相等

③等腰梯形的两条对角线相等

④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴

26.等腰梯形的判定

①两腰相等的梯形是等腰梯形

②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

(以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)

27.梯形的面积

面积=（上底+下底）×高÷2

28．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线．梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

梯形辅助线的添法

（

图

一）

（图

二） （图三）

（图四） （图五） （图六）

（图七） （图八）

基础题型

1．如图在平行四边形ABCD 中，:5:3A B ∠∠=，求这个平行四边形各内角的度数

A

B

C

D

解： 四边形ABCD 是平行四边形

∴AD BC ∥，180A B ∠+∠=? 由于:5:3A B ∠∠=

故设5A x ∠=，则3B x ∠= 即53180x x +=?

解得22.5x =? 因此522.5112.5A ∠=??=?，322.567.5B ∠=??=? ∴平行四边形各内角度数分别是112.5?，67.5?，112.5?，67.5? ２．已知平行四边形ABCD 的周长为38cm ，AC ，BD 相交于O ，且A O B ?的周长比BOC ?的周长小于3cm ，如图，求平行四边形ABCD 各边的长 解： 四边形ABCD 为平行四边形 ∴O A O C =，AB CD =，BC AD =

AOB ?的周长＝OA OB AB ++ BOC ?的周长＝OC OB BC ++

且AOB ?的周长比BOC ?的周长小于3cm ∴()()3OC OB BC OA OB BC ++-++= 3B C A B ∴-=

又 平行四边形ABCD 的周长为38cm ∴19BC AB +=

∴8AB =cm ，11BC =cm ∴8CD =cm ，11AD =cm

３．如图，已知：在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于E ，CF BD ⊥于F 求证：AE CF =

D

C

B

A

E

F

证明：方法一： 四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB CD ∥，AB CD = ∴ABE CDF ∠=∠ AE BD ⊥，CF BD ⊥ ∴AEB CFD ∠=∠

∴()ABE CDF AAS ??? ∴AE CF =

O D

C

B

A

E

F

方法二：连接AC ，交BD 于O 四边形ABCD 是平行四边形

∴OA OC =，又AE BD ⊥，CF BD ⊥ ∴AEO CFO ∠=∠，而AOE COF ∠=∠ ∴AEO CFO ???（AAS ）∴AE CF = ４．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AC ，CA 延长线上的点，且CE AF =，则BF 与DE 具有怎么样的位置关系？试说明理由

E

F A

B

C

D

解：BF DE ∥

证明：方法一：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD =， ∴BAC DCA ∠=∠

180BAC BAF ∠+∠=?，180ACD DCE ∠+∠=? ∴BAF DCE ∠=∠

又 AF CE = ∴AFB CED ???()SAS 方法二．连接BD ，交AC 于O

在平行四边形ABCD 中，AO CO =，BO DO = AF CE = ∴OF OE =

FOB EOD ∠=∠ ∴BOF DOE ???（SAS ） ∴F E ∠=∠ ∴BF DE ∥

O

E

F A

B

C D

O

E

F A

B

C

D

方法三．连接BD ，交AC 于O ，连接DF ，BE 由方法二知．OF OE =，OB OD = ∴四边形BEDF 为平行四边形 ∴BF DE ∥

５．如图，已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，38AC =cm ，24BD =cm ，14AD =cm ，那么OBC ?的周长为＿＿＿＿＿

O

D

C

B

A

解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知

14BC AD ==cm ，11241222OB BD ==?=cm ，11

381922

OC AC ==?=cm

∴OBC ?的周长为14121945BC OB OC ++=++=cm

６．如图平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，GH AD ∥，EF 与GH 交于O ，则该图形中的平行四边形的个数共有（ ）

Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ． 10

F

E

D C

B A

G

H

O

由题意可知图中的平行四边形分别是：DEOH ，EAGO ，HOFC ，OGBF ，DAGH ，HGBC ，DEFC ，EABC ，DABC 所以共有9个

７.如图，平行四边形ABCD 中，AF 平分DAB ∠交CD 于N ，交BC 的延长线于F ，

DE AF ⊥，交AB 于M ，交CB 延长线于E ，垂足为O ，试证明：BE CF =

O

N M

F E

A

B

C

D

证明： 四边形ABCD 为平行四边形 ∴A D

B C ∥，AB CD ∥，AB CD = ∴D A F F ∠=∠，ADE E ∠=∠，EDC AMD ∠=∠ D E

A F ⊥，∴90AOM AOD ∠=∠=? AF 平分DA

B ∠，∴DAF BAF ∠=∠

O A

O A = ∴AOM AOD ???（ASA ） ∴A D M A M ∠=∠，BAF F ∠=∠，EDC E ∠=∠ ∴A B B F =，CD CE =

B F

C E ∴=∴B E C F

=

８．如图，已知：D ，E ，F 分别在ABC 的各边上，DE AF ∥，DE AF =，延长FD 到G ，使2FG FD =．求证：AG 与DE 互相平分．

A

B

C

D

E

F

G

A

B

C D E

F G

证明：连接AD ，EG D E A F ∥，DE AF =

∴四边形AEDF 是平行四边形 ∴D F A E =，DF AE ∥

又 2FG FD = ∴1

2

DG DF FG ==

∴DG AE =，而DF AE ∥ ∴四边形AEGD 为平行四边形 ∴AG 与DE 互相平分

９．如图，已知D 是ABC ?的边AB 的中点，E 是AC 上的一点DF BE ∥，EF AB ∥试说明：AE 与DF 互相平分

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E F

证明：连接AF ，DE DF BE ∥，EF AB ∥

∴四边形BDFE 为平行四边形，∴EF BD = D 是AB 中点 ∴BD AD =

∴AD EF =，AD EF ∥ ∴四边形ADEF 为平行四边形 ∴AE 与DF 互相平分

10．如图，点M ，N 分别在平行四边形ABCD 的边BC ，AD 上，且BM DN =，ME BD ⊥，NF BD ⊥，垂足分别为E ，F ，求证：MN 与EF 互相平分

M

N

A

B

C

D

E

F M

N

A

B

C

D

E F

证明：连接EN ，MF

四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC AD ∥，∴CBD ADB ∠=∠

90MEF NFE ∠=∠=?，90MEB NFD ∠=∠=? ∴ME NF ∥

BM DN = ∴BME DNF ???()AAS

∴ME NF =

∴四边形EMFN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴MN 与EF 互相平分

11．如图，AF 与BE 互相平分，交点为M ，EC 与DF 互相平分，交点为N ，那么，四边形ABCD 是平行四边形么？你是怎么判定的？

N

M E

F

A

B

C

D

N

M E

F

A

B

C

D

解：四边形ABCD 是平行四边形

证明：连接AE ，BF ，EF ，DE ，CF AF 与BE 互相平分

∴四边形ABFE 是平行四边形 ∴EF AD ∥，EF AD = EC 与DF 互相平分

∴四边形BCEF 是平行四边形 ∴EF BC ∥，EF BC = ∴AD BC =，AD BC ∥

∴四边形ABCD 是平行四边形

12.如图，已知BE ,CF 是ABC ?的高，D 是BC 的中点．求证：DE DF =

A

B

C

D

E

F

证明： BE ，CF 是ABC ?的高，

∴BFC ?，BEC ?均为直角三角形 D 是BC 的中点

∴DF 是Rt BFC ?斜边上的中线，DE 是Rt BEC ?斜边上的中线

∴12D F B C =，1

2DE BC =

∴D E D F

=

13.如图，先将矩形纸片ABCD 对折一次折痕为EF ，展开后又将纸片折叠使点A 落在EF 上，此时折痕为BM ，求NBC ∠度数的大小

M

N

A

B

C

D

E

F G

F

E

D

C

B

A

N M

提示：根据题意得111

222

AE BE DF FC CD AB BN ======

过点N 作NG BC ⊥，垂足为G

则1

2

NG BN =，∴30NBC ∠=?（直角三角形中30?角所对的直角边等于斜边的一半，反

过来也成立）

14.过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF AC ⊥分别交AB ，DC 于E ,F ，点G 为AE 的中点，若30AOG ∠=?，求证：1

3

OG DC =

G

F

E

A

B C

D

O

O

D

C

B

A

E

F

G

证明：连接CE

四边形ABCD 是矩形 ∴OA OC = EF AC ⊥

∴EF 是线段AC 的垂直平分线 ∴EA EC =

30AOG ∠=? ∴60ACB ∠=?，30OCE ∠=?∴30BCE ∠=? ∴1

2

BE EC =

G 是AE 中点

∴11

22

OG AG GE AE CE ====

∴O G A G G E ===

∴1

3

O G D C

= 15.在矩形ABCD ，6AB =,8BC =，将矩形折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，在展开，求折痕EF 的长

F

E

D

C

B

A

O

解： 6AB =,8BC = ∴由勾股定理可得10AC =

根据题意有AF CF =，设AF CF x ==，8BF x =-

由勾股定理222AB BF AF +=，即2226(8)x x +-= 解得254

x =

∴254

FC =

2575642AFCE S CF AB =?=?= ，1

2

AFCE S AC EF =? ∴15

2

EF =

（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） 16．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分BAD ∠，120AOD ∠=?，求AEO ∠的度数

E

O

D

C B

A

答案：提示ABE ?为等腰直角三角形，OAB ?为等边三角形，

OBE ?为等腰三角形 30OBE ∠=?，75OEB ∠=?，754530OEA ∠=?-?=?

17.如图，MN 为过Rt ABC ?的直角顶点A 的直线，且BD MN ⊥于D ，CE MN ⊥于点E ，AB AC =，F 为BC 的中点，求证：DF EF =

A

B

C

D

E

F

N

M

A

B

C

D

E

F

N

M

证明：连接AF

ABC ?为直角三角形，F 为斜边BC 的中点 ∴BF AF CF ==

90BAC ∠=? ∴90BAM NAC ∠+∠=? BD MN ⊥，CE MN ⊥

∴90BAM DBA ∠+∠=?，90BDA AEC ∠=∠=? ∴DBA EAC ∠=∠，又 AB AC = ∴DBA EAC ???（AAS ）

∴DB AE =

AB AC =，90BAC ∠=?，F 为BC 的中点 ∴45ABC FAC ∠=∠=?

∴DBA ABC CAF CAN ∠+∠+∠+∠，即DBF FAE ∠=∠

又 DB AE =，AF BF = ∴DBF EAF ???（SAS ）∴DF EF =

总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线

18．

如图E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分

G

H

A B

C D

E

F

F

E

D

C

B

A

H

G

证明： 四边形ABCD 是菱形 ∴B A C D A ∠=∠ AC EG ⊥，AH AH = ∴AHE AHG ???（ASA ）∴AE AG =

12AE AD = ∴1

2

AG AB =

AD BC ∥ ∴F A E G ∠=∠

BGF AGE ∠=∠ ∴AGE BGF ???（AAS ） ∴EG FG =，AG GB = 即AB 与EF 互相平分

方法二：连接AF ，BE 由12AE AD =

，1

2

AG AB =得AGE AEG BGF BFG ∠=∠=∠=∠，则AE AG BG BF === ∴AE BF ∥且AE BF =∴四边形AFBE 为平行四边形 ∴AB 与EF 互相平分

19．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，AD 是A ∠的平分线，交BC 于点D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ．求证：四边形CDEF 是菱形

A

B

C

D

E

F

H

证明： AD 是A ∠的平分线 ∴C A D E A

∠=∠ 90ACB ∠=?，CH AB ⊥

∴90CAD CDA ∠+∠=?，90FAH AFH ∠+∠=? ∴C D A A F ∠=∠ AFH CFD ∠=∠ ∴C F D C D ∠=∠ ∴CF CD = AD 是A ∠的平分线，CD AC ⊥，DE AB ⊥ ∴C D D E = ∴CF DE = C H A B ⊥，DE AB ⊥

∴C H D

E ∥ ∴四边形CFED 是平行四边形 C D C

F = ∴平行四边形CFED 是菱形

20．菱形ABCD 中，120DAB ∠=?，如果它的一条对角线长为12cm ，求菱形ABCD 的边长 解：

A

B C

D

O

D

C

B

A

若对角线12AC =cm ，

如图 四边形ABCD 为菱形，且120DAB ∠=?∴60DAC BAC ∠=∠=?则ADC ?为等边三角形 ∴菱形ABCD 的边长为12cm 若对角线12BD =cm ，

如图 四边形ABCD 为菱形，且120DAB ∠=?∴60DAC BAC ∠=∠=?则ADC ?为等边三角形 又 OD OB =∴6OD OB ==cm 设OA x =，2AD x =， 由勾股定理可得222(2)6x x =+

，解得x =

∴AD =cm 综上所述：菱形ABCD 的边长为12cm

或cm

22．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，F 是BC 上的一点，且3BF FC = 求证：AE EF ⊥

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

证明：连接AF ，设FC k =，则4BC k =

四边形ABCD 是正方形 ∴90B C D ∠=∠=∠=?，4AB BC CD AD k ==== E 为CD 中点 ∴2DE EC k ==

在Rt ABF ?中，222225AF AB BF k =+= 在Rt ECF ?中，22225EF EC FC k =+= 在Rt ADE ?中，222220AE AD DE k =+= 则222AE EF AF +=，∴AEF ?是直角三角形

∴90AEF ∠=? ∴AE EF ⊥

（到初三的时候此题还有额外的证明方法）

23．如图，过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE BC ⊥于E ，作PF CD ⊥于F ，连接AP ，EF ．求证：AP EF =，AP EF ⊥

F

E

P

A

B

C

D

H D

C

B

A

P

E

F

证明：连接PC ，延长AP 交EF 于点H

四边形ABCD 是正方形

∴45ABP CBP ∠=∠=?，AB BC =

BP BP = ∴ABP CBP ???（SAS ） ∴AP CP =，BAP BCP ∠=∠

PE BC ⊥，PF CD ⊥，BC CD ⊥

∴四边形PECF 为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）

∴PC EF = ∴P A

E F = PF EC =，90EPF PEC ∠=∠=? ∴PEF EPC ???（HL ）

∴PFE PCE ∠=∠ ∴PFE BAP ∠=∠

AB BC ⊥，PE BC ⊥ ∴AB PE ∥ ∴BAP EPH ∠=∠

90PFE PEH ∠+∠=? ∴90EPH PEH ∠+∠=? ∴AP EH ⊥

24．如图正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN DM ⊥，BN 平分CBE ∠，交MN 于N 求证：DM MN =

N

A

B

C

D

E

M

F

M E

D

C

B

A

N

证明：取线段AD 的中点F ，连接FM 四边形ABCD 为正方形 ∴A B A D =，90A ABC ∠=∠=? F 为AD 中点，M 为AB 中点 ∴D F A F A M ===

∴45AFM AMF ∠=∠=? ∴135DFM ∠=? BN 平分CBE ∠ ∴45CBN EBN ∠=∠=? ∴135MBN ∠=? ∴DFM MBN ∠=∠ D M M N ⊥ ∴90DMA NMB ∠+∠=?

90DMB ADM ∠+∠=? ∴ADM MBN ∠=∠

在DMF ?与MNB ?中

MDF NMB DF MB DFM MBN ∠=∠??

=??∠=∠?

∴D M F M N

???()ASA ∴DM MN = 思考：若点M 是线段AB 上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？

M E

D

C

B A

N

F

M E

D

C

B

A

N

请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了

25．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF BC ⊥，求证：梯形ABCD 为等腰梯形

A

B C

D

E

F M N

A

B C

D

E

F

证明：过E 分别作AB ，DC 的平行线交BC 于M ，N ，易知四边形ABME 和四边形DCNE

都是平行四边形 ∴A E B M =，DE NC =，AB EM =，DC EN =

E ，

F 分别是AD ，BC 的中点 ∴AE DE =，BF CF =

∴BM CN = ∴BF BM CF NC -=- ∴MF NF ⊥

EF BC ⊥ ∴EM EN = ∴EF 是线段MN 的垂直平分线 ∴ME NE = ∴AB CD = 故梯形ABCD 是等腰梯形

26．已知等腰梯形ABCD 中，AB CD =，60B ∠=?，15AD =cm ，49BC =cm ，求它的腰长

D

C B A

E

A

B C

D

解：方法一：过点A 作AE DC ∥，交BC 于点E A D B C ∥ ∴四边形AECD 为平行四边形

∴AD EC =，DC AE =

AB DC = ∴AE AB = 60B ∠=? ∴四边形ABCD 为等边三角形

∴BE AB = 15AD =，49BC = ∴491534BE BC CE BC AD =-=-=-= ∴34AB CD ==cm 方法二

M

N

A

B

C

D

过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，过点D 作DN BC ⊥，垂足为N 四边形ABCD 为等腰梯形 ∴AB CD =，B C ∠=∠ 90AMB DNC ∠=∠=?

∴ABM DCN ???（AAS ） ∴BM CN =

90AMN MND ADN ∠=∠=∠=?

∴四边形AMND 为矩形 ∴A D

M N = 49BC = ，15AD =

∴11

()(4915)1722

BM CN BC AD ==-=-=

60B ∠=? ∴30BAM ∠=? ∴234AB BM ==cm

27．如图，在ABC ?中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，点E 是BC 的中点

求证：①DE AB ∥ ②1

()2

DE AB AC =-

A

B

C

D E

F

E D

C

B

A

证明：①延长CD 交AB 于点F A D C D ⊥，∴90ADC ADF ∠=∠=? AD 平分BAC ∠ ∴DAC DAF ∠=∠ A D A D

= ∴ADC ADF ???（ASA ）

（AD 又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”） ∴AC AF =，FD DC = 点E 是BC 的中点

∴DE 是三角形CBF ?的中位线

∴DE BF ∥，1

2

DE BF =

② AB AF BF -=

∴BF AB AC =-

∴1

()2

DE AB AC =-

28．如图，在梯形ABCD 中，DC AB ∥，BC DC AB =+，E 是AD 中点 求证：90CEB ∠=?

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

F

证明：取BC 中点F ，连接EF 由梯形中位线性质可知

EF DC AB ∥∥且1

()2

EF DC AB =+

BC DC AB =+ ∴2EF BC = ∴EF CF FB == ∴90CEB ∠=?

基础知识达标

一、精心选一选（每小题3分，共30分）

1、在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）

A ．1：2：3：4

B ．1：2：2：1

C ．2：2：1：1

D ．2：1：2：1 2、菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）

A ．对角线相等

B ．对角线互相垂直

C ．对角线互相平分

D ．对角线互相平分且相等 3、下列命题中的假命题是（ ）

A ．等腰梯形在同一底边上的两个底角相等

B ．对角线相等的四边形是等腰梯形

C ．等腰梯形是轴对称图形

D ．等腰梯形的对角线相等 4、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（ ）

A ．AO ＝OC ，O

B ＝OD B ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，A

C ⊥B

D C ．AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD D ．AO ＝OC ＝OB ＝OD 5、给出下列四个命题

⑴一组对边平行的四边形是平行四边形 ⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

中点

⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形

⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。

其中正确命题的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（）

A B C D

7. 顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是

A．等腰梯形B．直角梯形C．矩形D．平行四边形

8、如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，

那么图中的全等三角形共有

A ．1对B．2对C．3对 D ．4对

9、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是

A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形

10. 等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8，则该等腰梯形的面积为

A ．16

B ．32

C ．64

D ．512

二、耐心填一填（每小题３分，共30分）

11、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。

12、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周

长等于＿＿＿＿＿。

13、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。

14、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。

15、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为

__________cm。

6、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。

⑴

⑵

⑶

⑷

17

18、如图2矩形ABCD 的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o ,AB ＝8,则矩形对角线的长＿＿。 19、如图3,等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，BC ＝8，AB ＝6，AD ＝5则△CDE 周长＿

＿＿。

20、要从一张长为40cm ，宽为20cm 的矩形纸片中，剪出长为18cm ，宽为12cm 的矩形纸

片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。 三、用心想一想（共40分）

21、（8分）如图：在□ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交DC 于E ，若∠DAE ＝25o ，

求∠C 、∠B 的度数。

23、（8分）已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，∠D ＝120o ,对角线CA 平分∠BCD ，且

梯形的周长20，求AC 。

21、（8分）如图：在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 的延长线上一点，CE ＝

CF ，

⑴△BCE 与△DCF 全等吗？说明理由； ⑵若∠BEC ＝60o ，求∠EFD 。

24、证明题：（8分）

如图，△ABC 中∠ACB ＝90o ，点D 、E 分别是AC ，AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF ＝∠A ，求证：四边形DECF 是平行四边形。

25、（8分）已知：如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥AC ，

DF ∥AB ，要使四边形AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿试证明：这个多边形是菱形。

参考答案

1．D ；2．C 3．B 4．B 5．B 6．B 7． D 8 ．C 9．D 10．C 11．相等 12．45 13．∠A ＝120o ，∠D ＝60o 14．22.5，12.5 15．5 16．28 17．1 18．16 19．15 20 ．3

21．解：∠BAD ＝2∠DAE ＝2×25o ＝50o 又∵□ABCD ∴∠C ＝∠BAD ＝50o ∴AD ∥BC ∴∠B ＝180o －∠BAD ＝180o －50o ＝130o 22．解：∵AD ∥BC ∴∠1＝∠2 又∠2＝∠3∴∠1＝∠3 AD ＝DC 又AB ＝DC 得AB ＝AD ＝DC ＝x

A B

D

C

F

E

A B

C

F

E