碰撞中的弹簧问题

卢宗长

1．如图所示，与轻弹簧相连的物体A 停放在光滑的水平面上。物体B 沿水平方向向右运动，跟与A 相连的轻弹簧相碰。在B 跟弹簧相碰后，对于A 、B 和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是（ ABD ） A ．弹簧压缩量最大时，A 、B 的速度相同

B ．弹簧压缩量最大时，A 、B 的动能之和最小

C ．弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减小

D ．物体A 的速度最大时，弹簧的弹性势能为零

2.如图所示,在足够大的光滑水平面上放有质量相等的物

块A 和B,其中A 物块连接一个轻弹簧并处于静止状态,物块B 以速度v0向着物块A 运动.当物块与弹簧作用时,两物块在同一条直线上运动.则在物块A 、B 与弹簧相互作用的过程中,两物块A 和B 的v-t 图象正确的是（ D ）

3．如图所示，光滑水平面上，轻弹簧两端分别拴住质量均为m 的小物块A 和B ，B 物块靠着竖直墙壁。今用水平外力缓慢推A ，使A 、B 间弹簧压缩，当压缩到弹簧的弹性势能为E 时撤去此水平外力，让A 和B 在水平面上运动．求：

（1）当B 离开墙壁时，A 物块的速度大小；

（2）当弹簧达到最大长度时A 、B 的速度大小；

（3）当B 离开墙壁以后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值．

解析（1）当B 离开墙壁时，A 的速度为v0，由机械能守恒有 21mv 02＝E 解得 v 0=2E m

（2）以后运动中，当弹簧弹性势能最大时，弹簧达到最大程度时，A 、B 速度相等，设为v,由动量守恒有 2mv=mv 0 解得 v=

212E m （3）根据机械能守恒，最大弹性势能为

E p =21mv 02－212mv 2=2

1E 【答案】（1）v 0=

2E m （2）v=212E m （3）E p =21E 4．如图所示，光滑水平面上的木板右端，有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M=3.0kg 。质量m=1.0kg 的铁块以水平速度v 0=4.0m/s ，从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端。在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为：（ A ） A ． B ．

m v 0 v F

C ．20J

D ．

5．图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B 相同滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离1l 时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A 恰好返回出发点P 并停止。滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为2l ，求A 从P 出发时的初速度0v 。

解：令A 、B 质量皆为m ，A 刚接触B 时速度为1v （碰前），由功能关系，有 121202

121mgl mv mv μ=- ① A 、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后A 、B 共同运动的速度为.2v 有212mv mv = ②碰后A 、B 先一起向左运动，接着A 、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A 、B 的共同速度为3v ，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，利用功

能关系，有

)2()2()2(2

1)2(2122322l g m v m v m μ=- ③此后A 、B 开始分离，A 单独向右滑到P 点停下，由功能关系有 12321mgl mv μ= ④由以上各式，解得 )1610(210l l g v +=μ

6.质量M=3.0kg 的小车放在光滑的水平面上，物块A 和B 的质量均为m=1.0kg ，且均放在小车的光滑水平底板上，物块A 和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图所示，物块A 和B 并排靠放在一起，现用力向右压B ，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功为W =135J 。撤去外力，当A 和B 分开后，在A 达到小车底板的最左端位置之前，B 从小车左端抛出，求：

（1）B 与A 分离时，小车的速度是多大？

（2）从撤去外力到B 与A 分离时，A 对B 做了多少功？

（3）假设弹簧伸长到最长时B 已离开小车，

A 仍在小车上，求此时弹簧的弹性势能。

解析：（1）当弹簧第一次恢复原长时，B 与A 恰好分离，由：

动量守恒定律：2mv 1=Mv 2 能量守恒定律：22212

1212Mv mv W +?= 解得：v 1=9m/s ，v 2=6m/s

（2）根据动能定理，从撤去外力至B 与A 分离时，A 对B 做的功为：

J mv W BA 5.402

121== （3）B 与A 分离后其水平速度v 1=9m/s 保持不变，弹簧最长时，A 与小车速度相同，设为v 3，由：

动量守恒定律：312)(v M m mv Mv +=- 能量守恒：p E v M m mv W +++=2321)(2

121 解得：E p =

7.如图所示，水平放置的轻质弹簧，左端固定，右端与小物块P 接触而不连接，当P 到A 点时，弹簧为原长，现用水平向左的推力将P 缓慢地从A 推到B 点，需做功6J ，此时在B 点撤去外力后，P 从表此开始沿着水平桌面滑到停放在水平光滑地面上的小车Q 上（小车与桌面等高），已知P 的质量为m=1.0kg ，Q 的质量为M=4.0kg ，AB 的距离为5cm ，AC 的距离为90cm ，P 与桌面和Q 面间

的动摩擦因数均为μ=。试求：

（1）使P 不会从Q 的右端滑出，则小车至少多长？

（2）从推力作用于P 到P 与Q 一起运动的全过程中产生的热量。

答案：（1）0.4m ；（2）

11．（1）2212

1)2(c mv l l mg W =+-μ s m v c /2=（另一解舍去）共c m)v M mv +=（ 2共2)(2121v M m mv mgL +-≥μ })(2

121{122共v M m mv mg L +-≥μ=0.4m (2)产生的热量为 4.0J )2(Q 211=+=l l mg μ

2共2c 2)(2121v M m mv Q +-==J mv m M M c 60.1212=+ Q=Q 1+Q 2=

8．固定在水平面上的竖直轻弹簧，上端与质量为M 的物块B 相连，整个装置处于静止状态时，物块B 位于P 处，如图所示．另有一质量为m 的物块C ，从Q 处自由下落，与B 相碰撞后，立即具有相同的速度，然后B 、C 一起运动，将弹簧进一步压缩后，物块B 、C 被反弹．下列结论中正确的是（ BD ）

A ．

B 、

C 反弹过程中，在P 处物块C 与B 相分离

B ．B 、

C 反弹过程中，在P 处物C 与B 不分离

C ．C 可能回到Q 处

D ．C 不可能回到Q 处

9．如图所示，一轻弹簧与质量为m 的物体组成弹簧振子，物体在一竖直线上的A 、B 两点间做简谐运动，点O 为平衡位置，C 为O 、B 之间的一点．已知振子的周期为T ，某时刻物体恰好经过C 向上运动，则对于从该时刻起的半个周期内，以下说法中正确的是(ABD)

A ．物体动能变化量一定为零

B ．弹簧弹性势能的减小量一定等于物体重力势能的增加量

C ．物体受到回复力冲量的大小为mgT /2

D ．物体受到弹簧弹力冲量的大小一定小于mgT /2

解析：这是弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，某时刻经过C 点向上运动，过半个周期时间应该在C 点大于O 点对称位置，速度的大小相等，所以动能的变化量为零，A 选项正确；由系统机械能守恒得，弹簧弹性势能的减少量一定等于物体重力势能的增加量，B 选项正确；振子在竖直方向上做简谐运动时，是重力和弹簧的弹力的合力提供回复力的，由动量定理I 合=△p ，设向下为正方向，22T I mg I mv =+=合弹

，又因为C 点为BO 之间的某一点，v ≠0，所以，C 选项错误，D 选项正确．

10．（1997年·全国）质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上．平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如图所示．一物块从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连．它们到达最低点后又向上运动．已知物块质量也为m 时，它们恰能回到O 点．若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度．求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离．【答案】0

解析：物块自由下落3x 0的过程中，由机械能守恒定律得 200132mg x mv =

g ① 物块与钢板碰撞，由动量守恒定律得 012mv mv =

② 设刚碰完时弹性势能为p E ，根据机械能守恒定律 2101(2)22

p E m v mgx += ③ 设质量为2m 的物块与钢板碰后一起向下运动的速度为v 2，则 0223mv mv = ④ 由机械能守恒定律得 222011(3)3(3)22p E m v mgx m v '+=+ ⑤

以上两种情况下，弹簧的初始压缩量都为x 0，故有 p p E E '=

⑥ 物体从O 点再向上以初速v 做竖直上抛运动．到达的最高点与O 点的距离

202v l g = ⑦ 由以上各式解得02

x l = 11．如图所示，物体B 和物体C 用劲度系数为k 的轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上，此时弹簧的势能为E 。这时一个物体A 从物体B 的正上方由静止释放，下落后与物体B 碰撞，碰撞后A 与B 立刻一起向下运动，但A 、B 之间并不粘连。已知物体A 、B 、C 的质量均为M ，重力加速度为g ，忽略空气阻力。求当物体A 从距B 多大的高度自由落下时，才

能使物体C 恰好离开水平地面？

解：设物体A 从距B 的高度H 处自由落下，A 与B 碰撞前的速度为v 1，由机械能守恒定律得 v 1=gH 2。

设A 、B 碰撞后共同速度为v 2，则由动量守恒定律得：

Mv 1＝2Mv 2，

解得： v 2＝2gH

。

当C 刚好离开地面时，由胡克定律得弹簧伸长量为x =Mg /k ，由于对称性，所以弹簧的弹性势能仍为E 。当弹簧恢复原长时A 、B 分离，设此时A 、B 的速度为v 3，则对A 、B 一起运动的过程中，由机械能守恒得： E Mv Mgx Mv +=222322

12221＋, 从A 、B 分离后到物体C 刚好离开地面的过程中，物体B 和弹簧组成的系统机械能守恒，即 Mgx E Mv +=232

1。联立以上方程解得：Mg E k Mg H 28+=。